Relações métricas no triângulo qualquer

Introdução:

A maioria dos problemas de trigonometria são resolvidos através da comparação com o triângulo retângulo, visto que algumas propriedades trigonométricas são válidas apenas para este tipo de triângulo. Mas não existe tanta facilidade na vida real, pois muitos problemas do cotidiano envolvem triângulos acutângulos ou obtusângulos.

Nestas situações, é necessário utilizar a lei dos senos e a dos cossenos.
Ambas as leis são válidas para quaisquer tipos de triângulos e são muito importantes para a física, engenharia e trigonometria.

     

Fonte:https://alunosonline.uol.com.br/matematica/tipos-de-triangulos.html

Lei dos senos:

Essa lei determina que existe uma proporcionalidade entre o seno de um ângulo e o lado oposto a esse ângulo.
Como dito antes, ela é válida para qualquer tipo de triângulo.

A lei dos senos demonstra que, em qualquer triângulo, existe uma razão constante entre um lado e o seno do seu ângulo oposto.
Ela é adequada para problemas nos quais conhecemos dois ângulos de um triângulo e um dos seus lados e queremos determinar a medida de um outro lado.

                                                                                                                                                       
                                                                 

Fonte:https://blogdoenem.com.br/relacoes-metricas/

Lei dos cossenos:

Essa lei é utilizada para encontrar a medida de um lado ou ângulo desconhecido de um triângulo qualquer, através de medidas conhecidas do mesmo.
Ela é válida para qualquer tipo de triângulo.

Essa lei tem o seguinte enunciado: "Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."
Esta lei é adequada para problemas nos quais se conhece a medida de dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles e queremos descobrir a medida do terceiro lado.
Ela também é adequada para a resolução de problemas nos quais conhecemos a medidas dos três lados de um triângulo e queremos conhecer um dos seus ângulos.

                      

Fonte:http://www.dinamatica.com.br/2011/03/uma-deducao-grafica-da-lei-dos-cossenos.html

E no triângulo retângulo?

Quando aplicamos a lei dos cossenos ao lado oposto ao ângulo reto, temos a seguinte equação:

   a²= b² + c² - 2 • b • c •  cos 90°

Como cos 90°=0,  a expressão acima fica como:

   
        a²= b² + c²

Podemos concluir que o teorema de Pitágoras é apenas um caso particular da lei dos cossenos.

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) (UF-Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. Calcule a medida do terceiro lado.

Questão 2)(UNICAMP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d'água a 50 m de distância. A casa está a 80 m da caixa d'água e o ângulo formado pelas direções caixa d'água- bomba e caixa d' água-casa é de 60°. Se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários?

          

Fonte:http://professoraveleda.blogspot.com/p/lei-dos-senos-e-lei-dos-cossenos.html

Questão 3) Calcule o valor do segmento AB do triângulo representado pelo desenho a seguir:

      

Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-trigonometria-um-triangulo-qualquer.htm

*√3=1,732
*√2=1,414

Questão 4) ( Unifor-CE) Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, determine a medida do lado AB do triângulo representado
Dado:
Sen 45°= √2 
                  2

Sen 120°= √3 
                    2
               

Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-trigonometria-um-triangulo-qualquer.htm

Questão 5) Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 120°. Calcule a medida do terceiro lado.

Questão 6) Calcular o cosseno do ângulo x, representado no triângulo abaixo:

                            

Fonte:https://sabermatematica.com.br/lei-dos-cossenos.html




Questão 7)  Determine o valor de x no triângulo a seguir:                                                                            

 

          

                                  

 

Resoluções:

Questão 1) Com as medidas que o problema fornece, basta aplicarmos a lei dos cossenos para obtermos a medida do terceiro lado deste triângulo:

*Lei dos cossenos

x²= 8² + 10² - 2 • 8 • 10 • cos 60°

x²= 64 + 100 - 2 • 80 • 0,5

x²= 164 - 160 • 0,5                            

x²= 164 - 80

x²= 84
x= √84

x= 2√21 m

Resposta: O terceiro lado deste triângulo mede 2√21 metros.

Questão 2) Com as medidas que o problema fornece, basta aplicarmos a lei dos cossenos para obtermos quantos metros de encanamento são necessários:

x²=80² + 50² - 2 • 80 • 50 • cos 60°

x²= 2500 + 6400 - 2 • 80 • 50 • 0,5

                                                   

x²=2500 + 6400 - 8000 • 0,5

                                          

x²= 2500 + 6400 - 4000

x²=2500 + 2400

x²= 4900

x= √4900

x=70 metros

Resposta: Serão necessários 70 metros de encanamento para bombear a água do ponto de captação até a casa.

Questão 3)

I) Para resolvermos o problema, basta aplicarmos a lei dos senos:

               100    =     med (AB)      

             sen 45°          sen 120°

             100   = med  (AB)

              √2            √3  

                 2              2

          √3 • 100= √2 • med (AB)

           2                2

Multiplicando os dois lados da equação por dois, temos que:

           

   2 • √3 • 100 =   √2    • med (AB) • 2     

         2                 2  

100 √3= med (AB)√2

med (AB)= 100 √3 

                       √2

med (AB)= 100 √3 • √2  

                          √2 • √2

med (AB)= 100√6 

                        2

med (AB)=50√6 m

Resposta: O segmento AB mede 50√6 metros.

Questão 4)

I) Para resolvermos o problema, basta aplicarmos a lei dos senos utilizando as informações que o problema forneceu:

               12      =  med (AB) 

           sen 120 °        sen 45°

              12  = med (AB)

              √3          √2 

                2            2

    med (AB) √3  =12 •   √2  

                      2                 2

  II) Multiplicando os dois lados da equação por dois, temos:

2 • med (AB)  √3   = 12 •  √2   • 2

                          2                  2

med (AB) √3= 12 √2

med (AB)= 12√2               

                      √3

med (AB)= 12√2 • √3 

                      √3 • √3

med (AB)= 12√6 

                       3

med (AB)= 4√6 metros

Resposta: O lado AB deste triângulo mede 4√6 metros.

Questão 5) Com as medidas que o problema fornece, basta aplicarmos a lei dos cossenos para obtermos a medida do terceiro lado deste triângulo:

x²=10² + 6² - 2 • 80 • 50 • cos 120°

x²= 100 + 36 - 2 • 10 •6 • (-0,5)

                                                   

x²=100 + 36 - 120 • (-0,5)

                                          

x²= 100 + 36 + 60

x²=136 + 60

x²= 196

x= √196

x=14 metros

Resposta: O terceiro lado deste triângulo mede 14 metros.

Questão 6)

I)Com as medidas que o problema fornece, basta aplicarmos a lei dos cossenos para obtermos a medida do ângulo x:

7²= 5² + 6² - 2 • 5 • 6 • cos x

49=25 + 36 - 10 • 6 • cos x

49=61 - 60 • cos x

60 • cos x= 61 - 49

60 • cos x= 12

cos x= 12 

            60

cos x=0,2

Resposta: O cosseno do ângulo x é igual a 0,2.

Questão 7)
I) Primeiramente, iremos aplicar a lei dos Cossenos para relacionar os lados do triângulo em questão.
          7²= 3² + x² - 2 • 3 • x • cos 60°           
           49=  9 + x²  - 2 • 3 • x • 0,5 
           49= 9 + x² - 3x
            x² - 3x + 9= 49
            x² - 3x - 49 + 9= 0
             x² - 3x - 40 =  0
II) Agora, aplicaremos a fórmula de Bhaskara para determinar o valor de x        


∆=b² - 4ac
∆=(-3)² - 4 • 1 • (-40)
∆= 9 + 160                                                   
∆= 169     

x= - b ± √∆                    
         2a    

x=  3 ± √169              
         2 • 1         

x=  3 ± 13   
          2     

x'= 3 + 13  =  16 
         2            2

x '= 8

x"= 3 - 13  = -  10       
          2              2

x"=  -5 (não convém)
 
Resposta: Por se tratar de medidas,  descartamos x"= - 5  e utilizamos x'= 8. O valor de x no triângulo é 8 cm.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/lei-dos-cossenos.htm
2-https://www.todamateria.com.br/lei-dos-cossenos/
3-https://sabermatematica.com.br/lei-dos-cossenos.html
4-http://meteorotica.blogspot.com/2012/01/exercicios-resolvidos-sobre-lei-dos.html
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/a-lei-dos-senoscompreendendo-sua-aplicacao.htm
6-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-qualquer.htm
7-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-trigonometria-um-triangulo-qualquer.htm
8-http://www.dinamatica.com.br/2011/03/uma-deducao-grafica-da-lei-dos-cossenos.html
9-https://www.mistersabido.com/lei-dos-senos/
10-http://hugeexerciselist.com/index.php?ui=lei%20dos%20cossenos
11-https://blogdoenem.com.br/relacoes-metricas/

Função composta

O que é?

Uma função composta é aquela que combina duas ou mais variáveis, ou seja, ela relaciona duas variáveis através da mesma função. Esta função parte de duas funções f e g, onde o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f.

Dada uma função f(f:A=>B) e uma função g(g:B=>C), a função composta  de f com g é representada por fog. Enquanto a função composta de g com f é escrita como g com f é escrita como gof.

fog (x)= f[g(x)]
gof (x)= g[f(x)]

                           

Fonte:https://www.infopedia.pt/$funcao-composta

As operações entre funções compostas não são comutativas, pois fog ≠ gof. Para determinar uma função composta, basta aplicar o domínio de uma função em outra, ou seja, deve-se substituir o x por uma função.

Exemplo:

1) Determine o gof (x)  das funções f(x)= 2^x e g(x)=√x
Pelas definições de funções compostas temos que:
             gof (x)= g[f(x)]
             g[f(x)]=√[f(x)]
              g[f(x)]=√2^x

2) Determine o gof (x) e fog (x) das funções f(x)=2x + 2 e g(x)=5x
Pelas definições de funções compostas temos que:
     
gof (x)= g[f(x)] = g[(f(x)]= 5[f(x)]= 5[(2x+2)]= 10x + 10

fog (x)= f[g(x)]= f[g(x)]= 2x + 2[g(x)]= 2 • 5x + 2= 10x + 2

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Dada as funções f(x)= x^2 - 5x + 6 e g(x)= x + 1, pede-se:

a) Calcular f(g(x))

b) Achar x de modo que f(g(x))=0

Questão 2) (Mackenzie - SP) As funções f(x)= 3 - 4x e g(x)= 3x + m são tais que f(g(x))=g(f(x)), qualquer que seja x real. o valor de m é:

a) 9/4

b) 5/4

c) - 6/5

d) 9/5

e) - 2/3

Questão 3)(PUC- BR)Considere f(x)= x^2 - 1  e g(x)= x - 1. Calcule f(g(x)) para x =4

                                                                x - 2
a) 6
b) 8
c) 2
d) 1
e) 4

Questão 4)Sejam f e g funções reais, sendo que f(x)= 4x - 2 e f(g(x))= 2x + 10. Determine a lei de formação de g(x).

Resoluções:

Questão 1- item a) 

I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e temos a seguinte função:

f(g(x))=(g(x))^2 - 5(g(x)) + 6

f(g(x))= (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6

f(g(x))= x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6

f(g(x))= x^2 - 5x + 2x + 6 + 1 - 5

f(g(x))= x^2 - 3x + 7 - 5        

f(g(x))= x^2 - 3x + 2

Resposta: f(g(x))= x^2 - 3x + 2

Questão 1- item b)

I) Para determinarmos os valores de x para os quais f(g(x))=0, basta solucionarmos a seguinte equação através da fórmula de Bhaskara:

x^2 - 3x + 2=0

∆=b^2 - 4ac
∆= (-3)^2 - 4 • 1• (2)
∆=9 - 8
∆=1

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-3)± √1 
         2 • 1

x=  3 ± 1
         2

x'= 3 + 1
         2
x'= 4 
      2

x'=2

x''=  3 - 1
          2

x''=   2  
         2

x''= 1

Resposta: Os dois valores para os quais f(g(x))=0 são x'=2 e x''= 1.

Questão 2)
I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e para determinar g(f(x)), basta substituir x por f(x) e igualar as duas funções, de modo que obtemos a seguinte igualdade

f(g(x))= g(f(x))
3 - 4(3x + m)= 3(3 - 4x) + m
3- 12x - 4m= 9 - 12x + m
-4m - m + 12x -12x= 9 -3
-5m=6 
m= - 6   
         5

Resposta: -6/5. Item c

Questão 3)     

I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e temos a seguinte função:

f(g(x))= g(x)^2 - 1  
                g(x) - 2

f(g(x))= (x - 1)^2 - 1 
                 x - 1 - 2

f(g(x))= x^2 - 2x + 1 - 1 
                    x - 3

f(g(x))= x^2 - 2x 
                x - 3

II) Como a questão pede f(g(x)) para x=4, então basta substituímos x por 4.

f(g(x))= 4^2 - 2 • 4 
                  4 - 3

f(g(x))= 16 - 8 
                  1

f(g(x))= 8 
              1

f(g(x))= 8

Resposta: Item b- 8.

Questão 4)
I) Sabemos que f(x)= 4x - 2 e que f(g(x))= 2x + 10. Com isso podemos escrever  f(g(x)) apenas substituindo a variável x por g(x), da seguinte forma:
                       f(g(x))= 4g(x) -  2

II) Existem duas igualdades para f(g(x)), podemos afirmar que ambas são idênticas formando a equação:

                  4g(x) - 2= 2x + 10
                   4g(x)= 2x + 10 + 2
                   4g(x)= 2x + 12
                     g(x)=  2x + 12 
                                     4

                     g(x)= 2x  + 12 
                                4       4
                     g(x)= x   + 3
                               2

Resposta: A lei de formação da função g(x) é g(x)=  x  + 3
                                                                                    2

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.todamateria.com.br/funcao-composta/
2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-composta.htm
3-http://www.matematiques.com.br/conteudos.php?t=Q&d=Quest%F5es&idcategorias=25
4-https://www.infopedia.pt/$funcao-composta

5-https://www.infoescola.com/matematica/funcao-composta/

6-https://www.todamateria.com.br/funcao-composta/

7-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcoes/funcoes9.php

8-https://brainly.com.br/tarefa/424223

9-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm

Função afim

O que é?

Uma função afim, também conhecida como função do primeiro grau, é toda função f: R => R escrita na forma f(x)=ax + b, sendo que a,b ∈ R.
Neste tipo de função, a é o coeficiente de x e indica a taxa de crescimento, ou variação, da função.
O número b é conhecido como termo constante ou coeficiente linear.
Exemplos:
y=2x + 1
y=2x

                            

Raiz da função afim:

A raiz da função afim é o ponto no qual o gráfico da função intercepta o eixo x, ou seja, o ponto no qual f(x)=0. Por isso, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir f(x) por 0. Com isso temos a seguinte relação:

f(x)=ax +b

0= ax +b

ax= -b

x= - b/a

                   
Fonte:https://www.stoodi.com.br/blog/2018/06/13/funcao-afim/

Gráfico de uma função afim:

O gráfico descrito por uma função afim é uma reta oblíqua aos eixos x e y. A reta não pode ser perpendicular a nenhum dos eixos. Os fatores que vão determinar a inclinação e direção da reta são os coeficientes angular(a) e linear da função(b). 
Para escrever o gráfico destas funções, basta atribuir valores para x e calcular o valor da imagem.

                ~
Fonte:https://blog.maxieduca.com.br/tipos-funcao-plinomial/imagem-5-2/

Coeficiente angular e linear:

O coeficiente angular a da função afim indica a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas. 

Já o coeficiente b, ou coeficiente linear, representa o ponto onde x=0. Porque sendo x=0, temos que:

y=ax + b

y= a • 0 + b
y=b

O coeficiente linear indica o ponto onde a reta corta o eixo y.

Função linear:

É toda função na qual b=0, com a≠0. Ela sempre passa pelo ponto (0,0). A fórmula da função afim é escrita como:

f(x)= ax

A reta da função linear é a bissetriz entre o primeiro e o terceiro quadrantes do plano cartesiano, isso significa que a reta divide os dois quadrantes em dois ângulos iguais.

               
Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm

Função constante:

É toda função escrita como f(x)=b, pois a= 0. A reta sempre será paralela ao eixo x e ela sempre passará pelo ponto (0, b).

f(x)= b

f(x)=2

               
Fonte:https://www.youtube.com/watch?v=kogxDV_Mhtw

Função linear:

É toda função escrita com b=0 e a≠0. O gráfico desta função é inclinado em relação ao eixo x e sempre passa pelo ponto (0,0).

Esta função tem a seguinte lei de formação:

y=ax

Exemplos
f(x)= -3x

f(x)= 2x

                
Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm

Função crescente:

Uma função linear crescente é aquela na qual a medida que atribuímos valores maiores para  x, o da imagem aumenta também. Para verificar se uma função afim  é crescente, basta verificar se o coeficiente angular da função é maior que 0, ou seja, se a > 0.

Exemplo

2x - 4 é função crescente, pois a=2(a > 0)

Função decrescente:

Uma função linear decrescente é aquela na qual a medida que atribuímos valores maiores para  x, o da imagem diminui. Para verificar se uma função afim é decrescente, basta verificar se o coeficiente angular da função é menor que 0, ou seja, se a < 0.

Exemplo:
f(x)= -2x + 4 é uma função decrescente, pois a= -2 (a <  0)

Dominando o conhecimento: Exercícios:

Questão 1) Em uma determinada cidade, a tarifa cobrada pelos taxistas corresponde a uma parcela fixa chamada de bandeirada e uma parcela referente aos quilômetros rodados. Sabendo que uma pessoa pretende fazer uma viagem de 7 km em que o preço da bandeirada é R$ 4,50 e o custo por quilômetro rodado é igual a R$ 2,75, determine:

a) Uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada pelos quilômetros rodados para essa cidade

b) Quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado?

Questão 2) Cefet - MG - 2015

Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de  R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros rodados e calculado por meio da função R(x)= ax + b, em que a é o preço cobrado por quilômetros e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia.

Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de:

a) 14

b) 16

c) 18

d) 20

Questão 3) Se f(x)= 3x + 2, qual o valor de x para f(x)= 5

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Questão 4) Um atleta ao ser submetido a um determinado treino específico apresenta, ao longo do tempo, ganho de massa muscular. A função P(t)= P0 + 0,19t expressa o peso do atleta em função do tempo ao realizar esse treinamento, sendo P0 o seu peso inicial e t o tempo em dias.

Considere um atleta que antes do treinamento pesava 55 kg e que necessitava chegar aos 60 kg em um mês. Fazendo unicamente esse treinamento, será possível alcançar o resultado esperado

Questão 5) Uma função é dada por f(x)=3x - 6. A raiz dessa função é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Resolução:

Questão 1- item a) 

I) Visto que a bandeirada não depende dos quilômetros, temos que b=4,5.

II) Como cada quilômetro rodado deve ser multiplicado por 2,75. Com isso, temos que este será o valor da taxa de variação, logo a= 2,75

III) Considerando p(x) como o valor da tarifa e os dados do problema, a função será escrita na seguinte forma:

                

 p(x)= 2,75x + 4,5

Resposta:  p(x)= 2,75x + 4,5

Questão 1-item b)

I) Agora que conhecemos a função, basta substituir x por 7.

  p(x)= 2,75x + 4,5

  p= 2,75 • 7 + 4,5

  p=19,25 + 4,50

  p=23,75

Resposta:A pessoa pagará R$ 23,75 por uma viagem de 7 km.

Questão 2)

I) Visto que b depende do produto da taxa fixa com o número de corridas, temos que b= 5 • 10= 50

II) Como cada quilômetro rodado deve ser multiplicado por 2. Com isso, temos que este será o valor da taxa de variação, logo a= 2

III) Considerando R(x) como o valor arrecado pelo táxi e os dados do problema, a função será escrita na seguinte forma:

R(x)=2x + 50

IV) Visto que o valor arrecadado pelo táxi (R= 410) e os dados do problema, os quilômetros rodados pelo taxista será encontrado pela seguinte equação:

      2x + 50= 410

      2x= 410 - 50

      2x= 360

        x= 360 

               2

           x=180 km

V) Como o taxista fez dez corridas, a média de quilômetros rodados por corrida será:

        y= 180 

              10

         y=18 km/corrida

Resposta: Item c.

Questão 3) Para encontrarmos o valor de x para o qual f(x)=5, basta desenvolvermos a seguinte equação

       

          f(x)=3x+2

         5= 3x +2

          3x + 2=5

          3x= 5 - 2

          3x= 3

            x= 3 

                 3

             x=1

Resposta: Item b.

Questão 4)

I) Substituindo o tempo indicado na função,  podemos encontrar o peso final do atleta e verificar se ele consegue alcançar sua meta.

 Para que o problema seja resolvido, basta substituir P0 por 55 e t por 30 na expressão, pois seu valor deve ser dado em dias:

                P(t)= P0 + 0,19t

                P(30)= 55 + 0,19 • 30

                P(30)=55+ 5,7

                P(30)=60,7 kg

Resposta: O atleta terá 60,7 kg ao final de 30 dias. Logo, é possível para o atleta alcançar a sua meta fazendo unicamente este tratamento.

Questão 5) 

I) Como encontrar a raiz de uma função significa encontrar o valor para o qual f(x)=0, teremos a seguinte equação:

             3x - 6= 0

             3x= 0 + 6

             3x= 6

               x= 6 

                    3

                x=2

Resposta: Item c.

             

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://escolakids.uol.com.br/funcao-afim.htm

2-https://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/

3-https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/

4-https://www.stoodi.com.br/blog/2018/06/13/funcao-afim/

5-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php
6-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm
7-https://www.youtube.com/watch?v=kogxDV_Mhtw
8-https://blog.maxieduca.com.br/tipos-funcao-plinomial/imagem-5-2/

Função logarítmica

O que é?

Uma função logarítmica de base a é uma função escrita na forma f(x)=loga x, sendo a um número positivo, diferente de um e maior que zero.
Importante ressaltar que o logaritmo de um número é o expoente x pelo qual precisa se elevar uma base fixa a para obter o número b, tal como na imagem abaixo. Ou seja:

        
Fonte:https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/


Exemplos:
f(x)= log2 x
f(x)= log0,5 x
f(x)=log (x-6) x

Observação: O inverso da função logarítmica é a função exponencial.

Domínio da função logarítmica:

O domínio de uma função representa os valores de x pelos quais a função é definida. Na função logarítmica, o domínio delas deve respeitar as condições de existência do logaritmo.

Com  isso, a base e o logaritmando deve números positivos e diferentes de 1.

Exemplo:

Determine o domínio da função:

Log(x-2) (4 - x)

O domínio da função deve respeitar três condições:

I) x - 2> 0

    x> 0 +2

    x>2

II) 4 - x > 0

      -x > 0 -4

      -x> -4
(-1) -x > -4 (-1)

         x < 4

III) x - 2 ≠ 1
      x ≠ 1 + 2
      x ≠ 3

Resposta:{x ∈ R|  2< x <3 e 3 < x <4}

Gráficos:

Para que seja possível construir o gráfico de uma função logarítmica, é preciso que sejam analisadas duas situações:

a>1 (base maior que um)

0<a<1 (base maior que zero e menor que um)

               
Fonte:https://www.infopedia.pt/$funcao-logaritmica

Função crescente:

Quando uma função logarítmica é crescente, significa que a sua base é maior que 1 e que quando o valor de x, o da imagem aumenta também. (loga x2 > loga x1)

Para que isso seja comprovado, basta atribuir valores para x e calcular a imagem da função.

Função decrescente:

Quando uma função logarítmica é decrescente, significa que a sua base é maior que 0 e menor que 1 e que quando o valor de x aumenta, o da imagem diminui. (loga x1 > loga x2). 

Do mesmo modo que se constrói o gráfico de uma função logarítmica crescente, basta atribuir valores para x e calcular a imagem da função.

Características do gráfico da função logarítmica:

* O gráfico sempre passa pelo ponto (1,0) do plano cartesiano, pois o logaritmo sempre será zero.

* O gráfico só passa pela direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

* Como mencionado, a função inversa logarítmica é a função exponencial, sendo esta última definida como f(x)= a^x, onde a é um número real positivo e diferente de um.

Os gráficos destas funções inversas são simétricas em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Isso é importante porque ao conhecer o gráfico de uma função logarítmica, é possível construir um gráfico de uma função exponencial através de simetria entre as duas funções.

* Toda vez que aparecer log x, sem indicar a base em relação a qual se torna logaritmo, log x será entendido como log10 x

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Os valores de x que satisfazem a log x + log (x-5)= log 36 são:

a) 9 e -4

b)9 e 4

c) -4

d) 9

e) -5 e 4

Questão 2) Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária que paga juros mensais de 3,5% no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3500,00?
* Se necessário use log 1,035=0,0149, log 7= 0,8451

Questão 3) Estabeleça o domínio das seguintes funções:

a)y= log3 (x- 1/2)

b)y=log(x-1) (-3x + 9)

c)y= log(x + 2) (x^2 - 4)

Questão 4) (PUC) Assinale a alternativa válida sempre:

a) log (a • b)= log a • log b
b) log (a + b)= log a + log b
c)log m • a= m • log a
d)log a^m= log m • a
e)log a^m= m • log a

Resolução:

Questão 1)

I) Ao aplicar a propriedade de um logaritmo de um produto, obtemos a seguinte relação:

              log [x(x-5)]=log 36

              log (x^2 -5x)=log 36

II) Como as bases dos logaritmos são iguais, os logaritmandos também são iguais e a equação se desenvolve da seguinte forma:

                 x^2 - 5x=36

                 x^2 - 5x -36=0
Coeficientes da equação
a=1
b= -5
c= -36

III) Como a equação desenvolvida é uma do segundo grau, poderá ser resolvida através da fórmula de Bhaskara:

∆=b^2 - 4ac
∆= (-5)^2 - 4 • 1• (-36)
∆=25 + 144
∆=169

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-5)± √169 
         2 • 1

x= 5 ± 13 
         2

x'= 5 + 13 
          2
x'= 18 
       2

x'=9

x''= 5 - 13 
          2

x''= - 8 
         2

x''= -4

IV) Considerando que, para a equação ser satisfeita, x precisa ser maior que zero (x > 0). Portanto, o único valor que satisfaz a equação é nove.

Resposta:Item d

Questão 2)
I) O montante que resulta do tempo de aplicação dos juros compostos é dado pela seguinte expressão:

   M=C0 • (1 + i)^t

Onde:
M(montante)= R$ 3500,00
C0 (capital inicial)= R$ 500,00
i=3,5%=0,035
t=?


II) Substituindo os termos da expressão por seus respectivos valores numéricos, temos que:

        3500= 500 • (1 + 0,035)^t

          

         3500 = (1 + 0,035)^t

          500

           

            7= 1,035^t

III) Aplicando o logaritmo nos dois lados da equação temos:

         log 1,035^t= log 7

        t • log 1,035= log 7

        t • 0,0149= 0,8451

        t= 0,8451 

             0,0149

       t=56,7 meses

Resposta: O montante será de R$ 3500,00 após 56,7 meses de aplicação.

Questão 3)

a)y= log3 (x- 1/2)

I) O domínio da função precisa respeitar uma única condição que é:

             x - 1/2 > 0

             x> 0 + 1/2

             x>1/2

D={x ∈ R| x > 1/2}

b)y=log(x-1) (-3x + 9)

I) Para esta função, existem três restrições:

II) x - 1 > 0

     x > 0 +1

     x > 1

III) -3x + 9 >0

       -3x > -9 

         3x < 9

           x < 9/3

           x < 3

IV) x - 1≠ 1

       x≠ 1 +1

       x≠ 2

Resposta:D={x ∈ R|  1< x <2 e 2 < x < 3}

c)y= log(x + 2) (x^2 - 4)

I) Para esta função, existem três restrições:

II) x + 2 > 0

     x > 0 - 2

     x > -2

III)  x^2 - 4 >0

       x^2 > 4

          x  >±√4

           x > 2

           x < -2

IV) x + 2≠ 1

       x≠ 1 -2

       x≠ -1

Resposta:D={x ∈ R|  x >2 ou x ≠ -1 }

Questão 4) Resposta: Item e.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1- https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-i.htm

2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-logaritmica.htm
3-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-logaritmica.htm
4-https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-logaritmica.htm
6-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-ii.htm
7-https://www.infopedia.pt/$funcao-logaritmica
8-http://no-mundo-da-matemagica.blogspot.com/2013/07/problemas-de-logaritmos-envolvendo-o.html
9-https://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/funcao-logaritmica-e-exponencial

Tira-Dúvidas: Função exponencial

O que é?

É toda função na qual a variável se encontra no expoente. Ela é definida como f (x)= a^x, onde a>1 ou 0 < a < 1. 

Essas restrições existem porque um elevado a quaisquer números é igual a um. A base não pode ser igual a zero ou a um número negativo porque existem certos expoentes para os quais as funções não seriam definidas.

Exemplos:

F(x)= 2^x

f(x)= 3^x + 4

f(x)= 0,25^x
f(x)=0,1^x

Gráfico:

Toda função exponencial passa pelo ponto no plano cartesiano (0,1) porque todo número elevado a zero é igual a um. O gráfico destas funções deve ser desenhado a partir de duas situações:a função será crescente quando  a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.

                             
Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm

Função crescente :

Uma função exponencial crescente é aquela que respeita a condição a>1, ou seja, a base da  função é maior que um. Ela é conhecida por esse nome porque a medida que o expoente x aumenta, o conjunto imagem aumenta também. Para que esta informação seja constada, basta construir o gráfico da função. Para que isso seja feito, é necessário atribuir valores de x no expoente da função  e encontrarmos a imagem da mesma.

                  
Fonte:https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/

Função decrescente :

Uma função exponencial decrescente é aquela que respeita a condição 0 <a<  1, ou seja, a base da  função é maior que zero e menor que um. Ela é conhecida por esse nome porque a medida que o expoente x aumenta, o conjunto imagem diminui. O gráfico da função  exponencial decrescente é construído do mesmo modo que se constrói o gráfico da função exponencial crescente.

                 
Fonte:https://basematematica.com/exercicios-funcao-exponencial/

Aplicações da função exponencial:

As funções exponenciais são muito importantes em problemas que envolvem taxas de crescimento rápidas como decaimento radioativo de substâncias químicas, rendimentos financeiros capitalizados com juros compostos, crescimento populacional e entre outros.

Observação:

O inverso da função exponencial é a função logarítmica.

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1)(Mack - SP) Dada as funções f(x)= 2^ (x^2 - 4)  e g(x)= 4 ^ (x^2 - 2x), se x satisfaz  f(x)= g(x) então 2^x é igual a:

a) 1/4

b) 1 

c) 8

d) 4

e) 1/2

Questão 2) Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da seguinte expressão: N(t)= 2000 • 2^ 0,5t, sendo t em horas.
Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8 192 000?

Questão 3) ENEM (PPL) - 2015
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A  expressão que corresponde a proposta salarial (s), em função do tempo de serviço, em anos, é s(t)= 1800 • 1,03^t.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional com 2 anos de serviço será, em reais,

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62

Questão 4) Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.

                  g(x)=(3k+16)^x

5) Considerando que f(x)= 49^x, determine o valor de f(1,5).

Resoluções

Questão 1)
I) Sabendo que f(x)= g(x), temos que:

         2^(x^2 - 4)= 4 ^ (x^2 - 2x)

II) Aplicando algumas propriedades da potência, podemos reescrever o segundo membro da equação como:

          2^(x^2 -4)= (2^2) ^ (x^2 - 2x)

            2^( x^2 - 4)= 2^ 2(x^2 - 2x)

             

             2^( x^2 - 4)= 2^(2x^2 - 4x)

III) Valendo-se do princípio básico da resolução de equações exponenciais que afirma que se as bases forem iguais, obtemos uma relação de igualdade entre os expoentes. Teremos  a seguinte equação:

               x^2 -4= 2x^2 - 4x

                       0= 2x^2 -x^2 -4x + 4

                          x^2 - 4x + 4= 0

IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação temos:

∆=b^2 - 4ac
∆= (-4)^2 - 4 • 1• 4
∆=16 - 16
∆=0

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-4)± √0 
         2 • 1

x= 4 
     2

x= 2

V) Como o exercício pede o valor de 2^x e como sabemos que x=2 temos que:

 2^x= 2^2=4

Resposta: Item d

Questão 2)
Como a questão nos informa o número de bactérias, temos que N(t)= 8 192 000  e queremos o valor do tempo t. Podemos fazer isso substituindo o número bactérias na expressão de modo que:

N(t)= 2000 • 2^ 0,5t

2000 • 2^ 0,5t= 8 192 000
2^ 0,5t= 8 192 000 
                  2 000
2^ 0,5t = 4096

Decompondo o termo 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Temos a seguinte expressão:

2^ 0,5t= 2^12

Como as bases são iguais, os expoentes são iguais. Portanto, temos a seguinte equação

   0,5t= 12
     t   = 12
     2

     t= 12 • 2
     t= 24 horas

Resposta: A colônia terá 8 192 000 bactérias após 24 horas do início da observação.

Questão 3)
I) Sabendo que o salário é dado pela função exponencial s(t)= 1800 • 1,03^t e que o tempo de serviço do funcionário é de 2 anos (t=2), o salário deste profissional será igual a:

          s(t)= 1800 • 1,03^t
          s(t)= 1800 • 1,03^2
          s(t)= 1800 • 1,0609
          s(t)= 1909,62

Resposta: Item e.

Questão 4)
I) Para que a função exponencial seja crescente, a base tem que ser maior que um. Então teremos a seguinte inequação:

                3k + 16 > 1
                 3k> 1 - 16
                  3k> -15
                   k> - 15     
                            3

                  k> -5
Resposta: A função será crescente para k > -5.

Questão 5)
I) Primeiramente, escreveremos 1,5 como fração para facilitar os cálculos

    1,5= 15 = 3 
            10    2
II) Agora iremos calcular f(1,5)

        f(1,5)= 49^1,5
        f(1,5)= 49^ (3/2)
        f(1,5)= √49^3

III) Para tornar o calculo mais prático, 49 será escrito como 7^2
          f(1,5)=√(7^2)^3
            f(1,5)=√7^6
             f(1,5)=7^3
             f(1,5)= 343

Resposta: f(1,5)=343

Referências:

1-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm

2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-exponencial.htm

3-https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial-exercicios/

4-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-exponencial.htm

5-https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/

6-https://basematematica.com/exercicios-funcao-exponencial/

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.