Produtos notáveis

Introdução:

Antes de entendermos o que são os produtos notáveis, precisamos entender o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números, como estas:

x + 3y= 4

x² - 2x + 1= 0

Entendido isso, podemos agora entender que os produtos notáveis são simplificações de produtos algébricos, ou seja, são multiplicações nas quais os termos são polinômios (expressões algébricas).

Eles foram desenvolvidos para simplificar e agilizar o desenvolvimento de cálculos e a resolução de problemas. Vejamos agora alguns destes produtos notáveis, considerando os números a e b pertencentes aos reais.

Quadrado da soma de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão de modo a reduzi-la,

(a + b)²= (a + b) • (a + b)= a² + ab + ba + b²=  a² + 2ab + b²

Encontramos o seguinte produto notável:
(a + b)²= a² + 2ab + b²

-Exemplo: Determine (x + 2)²
*Desenvolvendo o produto notável do quadrado da soma de dois, teremos:
(x + 2)²= x² + 2 • x • 2 + 2²
(x + 2)²= x² + 4x + 4

Quadrado da diferença de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão de modo a reduzi-la,

(a - b)²= (a - b) • (a - b)= a² - ab - ba + b²=  a² - 2ab + b²

Encontramos o seguinte produto notável:
(a - b)²= a² - 2ab + b²

-Exemplo: Determine (x - 3)²
*Desenvolvendo o produto notável do quadrado da diferença de dois, teremos:
(x - 3)²= x² - 2 • x • 3 + 3²
(x - 3)²= x² - 6x + 9

Produto da soma pela diferença de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão de modo a reduzi-la,

(a + b) • (a - b)= a² - ab+ ba + b²=  a² - b²

Encontramos o seguinte produto notável:
(a + b) • (a - b)= a² - b²

Exemplo: Determine (x - 4) (x + 4)
*Desenvolvendo o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, teremos:
(x - 4) (x + 4)= x² - 4²
(x - 4) (x + 4)= x² - 16

Cubo da soma de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão a partir de um dos produtos desenvolvidos,

(a + b)³= (a + b) • (a + b)²= (a + b) • (a² + 2ab + b²)

Encontramos o seguinte produto notável:
(a + b)³= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

Exemplo: Determine (x + 3)³
(x + 3)³= x³ + 3 • x² •3 + 3 • x • 3² + 3³
(x + 3)³= x³ + 9x² + 27x + 27

Cubo da diferença de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão a partir de um dos produtos notáveis desenvolvidos,

(a - b)³= (a - b) (a - b)²= (a - b)  (a² - 2ab + b²)

Encontramos o seguinte produto notável:
(a - b)³= (a³ - 3a²b + 3ab² - b³)

Exemplo: Determine (x - 2)³
(x - 2)³= x³ - 3 • x² •2 + 3 • x • 2² - 2³
(x - 2)³= x³ - 6x² + 12x - 8

Outros produtos notáveis:

Agora, serão apresentados outros  importantes produtos notáveis encontrados em diversas situações problemas.

a² + b²= (a + b)² - 2ab
(a + b + c)²= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
(a - b + c)²= a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac
(a + b - c)²= a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac
(a - b - c)²= a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ac
(x + a) (x + b)= x² + ( a + b)x + ab
a³ - b³= (a - b) (a² + ab + b²)
a³ + b³= (a + b) (a² - ab + b²)

Dominando o conhecimento:

Questão 1) (UFC) Calcule o valor de x= √(32 + 10√7) + √(32 - 10√7)

Questão 2)  Se (x + 1/x)²= 10, então x² + 1/x² é igual a
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8

Questão 3) Determine (3x + 2) (3x - 2)

Questão 4) Determine
a) (x - 3) (x - 2)
b) (x + 4)³

Resoluções

Questão 1)

I) Primeiramente podemos elevar ao quadrado ambos os lados da equação e, então, aplicaremos os conceitos de produtos notáveis. Para facilitar os cálculos chamaremos 32 + 10√7 de a e 32 + 10√7 de b. Reescrevendo a equação, teremos:

x= √a + √b

x²=  (√a + √b)²

x²= a + 2 • √a • √b + b

x²= a + b + 2 √ab

II) Agora, iremos reinserir o valor de a e b para determinar o valor de x.

x²= a + b + 2 √ab

x²= 32 + 10√7 + 32 - 10√7 + 2 • √[(32 + 10√7) • (32 - 10√7)]

x²= 64 + 2• √[32² - (10√7)²]

x²= 64 +  2• √[1024 - 700]

x²= 64 + 2 • √324

x²= 64 + 2 • 18
x²= 64 + 36
x²= 100
x= √100
x= 10

Questão 2) 
*Aplicando os conceitos de produtos notáveis e sabendo que (x + 1/x)², teremos:

x² +1/x²= (x + 1/x)² - 2 • x • (1/x)
x² +1/x²= 10 - 2 • 1= 10 - 2
x² +1/x²= 8

Resposta: Item d

Questão 3)
*Aplicando os conceitos de produtos notáveis, teremos:

(3x + 2) • (3x - 2)= (3x)² - 2²= 9x² - 4
(3x + 2) • (3x - 2)= 9x² - 4

Questão 4)
item a)
-Desenvolvendo esta expressão por meio dos conceitos de produtos notáveis, teremos:
(x - 3) (x - 2)= x² + (-3 - 2)x + [(-2) • (-3)]= x²- 5x + 6
(x - 3) (x - 2)=  x²- 5x + 6


item b)
-Desenvolvendo esta expressão por meio dos conceitos de produtos notáveis, teremos:
(x + 4)³= x³ + 3 • x² •4 + 3 • x • 4² + 4³= x³ + 12x² + 48x + 64
(x + 4)³=  x³ + 12x² + 48x + 64

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.respondeai.com.br/conteudo/calculo/pre-calculo/produtos-notaveis-e-fatoracao/1598
2-https://blogdoenem.com.br/produtos-notaveis-e-fatoracao/
3-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-produtos-notaveis.htm
4-https://www.educabras.com/vestibular/materia/matematica/aulas/produtos_notaveis_e_fatoracao
5-http://www.matematiques.com.br/conteudos.php?t=Q&d=Resumos&idcategorias=83
6-https://www.coladaweb.com/matematica/produtos-notaveis
7-https://pt.slideshare.net/luisresponde/produtos-notveis-e-fatorao-64103462
8-https://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/

Desafios de matemática 1.0

Desafio 1 - (ITA) O raio da base de um cone circular reto é igual a média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8
b) 8 e 6
c) 8 e 7
d) 9 e 6
e)10 e 8

Resolução:
I) De acordo com a questão, o raio da base deste cone circular reto é igual a média aritmética da altura e a geratriz do cone. Com isso, a geratriz deste cone será:

R= h + g 
         2
2R= h + g
g= 2R - h

II) Aplicando o Teorema de Pitágoras, determinaremos a relação entre a altura e o raio deste cone.

g²= h² + R²
(2R - h)²= h² + R²
4R² - 4Rh + h²= h² + R²
4R² - R² + h² - h²= 4Rh
4Rh= 3R²

h= 3R² 
      4R

h= 3R 
       4

III) Substituindo a relação entre a altura e raio deste cone, teremos
V= π R² h 
         3
π R² h= 3V
π R² h= 3 • 128π
R² h= 3 • 128
R² •  3R =  3 • 128
          4
 3R³ = 3 • 128
  4

R³= 4 • 3 • 128  
             3

R³= 4 • 128
R³= 512
R= ³√512
R= 8 m

IV) Agora que o valor do raio é conhecido, a altura deste cone será: 

h= 3R = 3  • 8
       4     4
h= 24 
      4
h= 6 m

Resposta: Item b

Desafio 2- (ITA) Num triângulo de lados a = 3 m e b = 4 m, diminuindo-se de 60° o ângulo que esses lados formam, obtém-se uma diminuição de 3 m² em sua área. Portanto, a área dos triângulo inicial é de:
a) 4 m²
b) 5 m²
c) 6 m²
d) 9 m²
e) 12 m²

Resolução:
I) A área inicial deste triângulo é dada por:

A=   a • b • sen α 
                2
2A= a • b • sen α  (equação 1)

II) A área reduzida é calculada por:

A - 3=   a • b • sen (α - 60°) 
                          2
2A - 6= a • b • sen (α - 60°) ( equação 2)

III) Substituindo a equação 1 na igualdade 2 e utilizando a= 3 m e b= 4 m.

2A - 6= a • b • sen (α - 60°)

a • b • sen α - 6= a • b • sen (α - 60°)

3 • 4 • sen α - 6= 3 • 4 • sen (α - 60°)

12 • sen α - 6= 12 • sen (α - 60°)

IV) Colocando os fatores comuns em evidência e utilizando o seno da diferença de dois arcos, teremos:

6 (2 • sen α - 1)=12 • sen (α - 60°)
-Dividindo ambos os lados por 6:

2 • sen α - 1= 2 • sen (α - 60°)

2 • sen α - 1= 2 • ( sen α • cos 60° - sen 60° • cos α)

2 • sen α - 1= 2 • (sen α/2 - √3cos α/2)

2sen α - 1= sen α - √3cos α

sen α - 1= - √3cos α

V) Elevando os membros desta igualdade ao quadrado, teremos: 

(sen α - 1)²= (- √3cos α)²

sen² α - 2sen α + 1= 3 cos² α

sen² α - 2sen α - 3 cos² α + 1= 0

sen² α - 2sen α -cos² α - 2 cos² α + 1 = 0

VI) Agora, recorreremos ao teorema fundamental da trigonometria cos² α= 1 - sen² α

sen² α - 2sen α + 1 - cos² α - 2 cos² α= 0

sen² α - 2sen α + sen² α - 2 • (1 - sen² α)= 0

2sen² α - 2sen α - 2 + 2sen² α= 0

4sen² α - 2sen α - 2= 0

*Simplificando a igualdade:

2sen² α - sen α - 1= 0

VII) Aplicando a fórmula resolutiva de uma equação do segundo grau, teremos:

∆=b² - 4ac
∆= (-1)² - 4 • 2 • (-1)
∆=1 + 8
∆= 9

sen α= -b ± √∆ 

                2a

sen α= -(-1) ± √9 
                  2 • 2
sen α= 1 ± 3 
                4

sen α'= (1 + 3)/4
sen α'= 4/4
sen α'= 1

sen α"= (1 - 3)/ 4
sen α"= -2/4 = -1/2 =>não serve, pois o ângulo em questão não pode pertencer ao terceiro, nem ao quarto quadrantes.

VII) Agora que o valor de sen α é conhecido, pode-se determinar a área do triângulo inicial.

A=   a • b • sen α 
                2

A=   3 • 4 • sen α  
               2
A=   3 • 4 • 1  
              2
A= 12/2

A= 6 m²

Resposta: Item b.

Desafio 3- ITA) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m².

Resolução:
I) Sabendo que o raio da base a altura e a geratriz deste cone formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros (r=2), podemos reescrever estes termos através da fórmula do termo geral de uma P.A (an=a1 + (n - 1) • r )
R= a1
h= a2= a1 + (2 - 1) • 2= a1 + 2
g= a3= a1 + (3 - 1) • 2= a1 + 4

II) Utilizando o Teorema de Pitágoras e substituindo os valores encontrados, teremos:

g²= h² + R²
(a1 + 4)²= (a1 + 2)² +  a1²
a1² + 8a1 + 16=  a1² + 4a1 + 4 +  a1²
2a1² + 4a1 + 4= a1² + 8a1 + 16
2a1² -  a1² + 4a1 - 8a1 - 16 + 4= 0
a1² - 4a1 - 12= 0

III) Agora, deveremos determinar as raízes desta equação pela fórmula resolutiva de uma equação do segundo grau porque, a partir de uma dessas raízes, obteremos o raio deste cone e, consequentemente, a altura e geratriz deste cone.

∆=b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 1 • (-12)
∆=16 + 48
∆=64

a1= -b ± √∆ 

          2a

a1=-(-4)± √64
         2 • 1

a1= 4 ± 8
        2

a1'= 4 + 8
          2
a1'= 12 
        2

a1'= 6 

a1''= 4 - 8 
           2

a1''= - 4 
         2

a1''= -2 ( não serve, pois não existem medidas geométricas negativas)

IV) Como a1'= 6, os valores dos termos da progressão são:
R= a1
R= 6 metros
h= a1 + 2
h= 6 + 2
h= 8 metros
g= a1 + 4
g= 6 + 4
g= 10 metros

V) Agora que os valores do raio da base, da altura e da geratriz deste cone, podemos determinar a área deste sólido.
At= πr(r + g)

At= π • 6 • (6 + 10)
At= π • 6 • 16
At=96π  m²

Resposta: At=96π  m².

Referências:

1-https://rumoaoita.com/wp-content/uploads/2017/03/geometria_plana_geometria_plana_no_vestibular_do_ita_ita.pdf

Observação:

Neste ano, estarei desenvolvendo uma página de desafios matemáticos na qual resolvo questões matemáticas de quebrar a cabeça. Tais postagens terão o título "Desafios de Matemática" e gostaria que você, caro leitor, expressasse sua opinião me dando um feedback dizendo se gostou ou não das postagens e no que devo melhorar.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Além disso, espero que tenham um 2020 cheio de sucessos e vitórias. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.