Equações logaritmicas

Introdução:

Uma equação logarítmica é aquela que apresenta uma incógnita ou variável no logaritmando ou na base do logaritmo. Importante ressaltar que o logaritmo possui o seguinte formato:

loga b= x => a^x= b

Sendo a a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo.

Ao resolver equações desse tipo, é importante o domínio das propriedades operatórias do logaritmo, pois elas facilitam o desenvolvimento dos cálculos. Haverá equações que só poderão ser resolvidas a partir delas.

Para resolver tais igualdades, deve-se recorrer tanto aos conceitos de logaritmos como os de equações para alcançar dois tipos de situações.

Condições de existência:

Para que um logaritmo exista, as seguintes condições precisam ser satisfeitas:

loga b= x => b>0, a>0 e a ≠ 1

Sempre é importante determinar se os valores obtidos na resolução de uma equação logarítmica satisfazem essas condições de existência, pois se não o fizerem, elas não são soluções da equação.

Primeiro caso: Igualdade entre logaritmos de mesma base

Visto que a função logarítmica é injetora, o fato dos valores de dois logaritmos serem iguais implica na igualdade de seus logaritmandos. Isso é de crucial importância para a resolução das equações logarítmicas.

loga b= loga c  <=> b=c

Exemplo 1: log2 (3x - 3)= log2 9

Condição de existência do logaritmo:

3x - 3>0 => x > 1

Visto que as bases de ambos os logaritmos é a mesma, teremos a igualdade dos logaritmandos. Com isso, obtêm-se:

 log2 (3x - 3)= log2 9 

3x - 3= 9 =>3x= 12 => x=4

Visto que a condição de existência foi satisfeita, têm-se: S={4}

Exemplo 2: log (x - 3) + log (x + 3)= 2 log 4

Condição de existência do logaritmo:

Primeiramente, a soma de logaritmos pode ser reescrita da seguinte forma:

log [(x - 3)(x + 3)]= 2log 4

Desenvolvendo o produto notável obtido

log (x² - 9)= 2log 4

x² - 9 >0 => x > 3 ou x> -3

Resolução da equação log (x - 3) + log (x + 3)= 2 log 4

Utilizando a propriedade da potência no segundo membro da igualdade

log (x² - 9)= log 4²= log 16

Visto que as bases de ambos os logaritmos é a mesma, teremos a igualdade dos logaritmandos. Com isso, obtêm-se:

log (x² - 9)= log 16

x² - 9= 16

x²= 25

x= ±√25= ±5

Pela condição de existência, têm-se  S={5}

Exemplo 3: 2log 2x= log (2x + 3) + log (x + 1)

Condições de existência

Aplicando propriedades da soma e da potência de logaritmos, teremos:

log 4x²= log [(2x + 3) (x + 1)]

4x² > 0 => x > 0

(2x + 3) (x + 1) > 0=>  x> -3/2 e x> -1

Visto que as bases de ambos os logaritmos é a mesma, teremos a igualdade dos logaritmandos. Com isso, obtêm-se:

log 4x²= log [(2x + 3) (x + 1)]

4x²= (2x + 3) (x + 1)

4x²=2x² + 5x + 3

2x² - 5x - 3= 0

Resolvendo a equação do segundo grau, têm-se x'= 3 e x''= -1/2. Nesse caso, apenas uma das raízes satisfaz as condições (x é tal que x > 0, x> -3/2 e x> -1). Logo, S={3}.

Segundo caso: Igualdade entre um logaritmo e um número real

Nesse caso, aplica-se a propriedade básica de logaritmo para a resolução de equações desse tipo.

Propriedade referida:

loga b= x => a^x= b

Exemplo 1: log3 (5x - 1)= 2

Condição de existência 

5x - 1> 0 => x > 1/5

Aplicando a propriedade básica de logaritmo

5x - 1= 3²= 9

5x - 1= 9 => x= 2

Visto que a condição de existência foi satisfeita (pois 2 > 1/5), temos S= {2}.

Exemplo 2: log2 (32)= x + 1

Condição de existência 

x + 1> 0 => x > -1

Utilizando propriedade de logaritmo

32=2^{x + 1} 

2⁵  = 2^{x + 1} 

5= x + 1 => x= 4

Sendo 4 > -1, a condição de existência foi satisfeita. Assim, S={4}

Terceiro caso: Substituição de variável

Este tipo de equação é resolvida ao substituir loga b por outra variável, por exemplo, y.

Exemplo 1: log6 x + logx 6= 2

Condição de existência

log6 x  => x > 0

logx 6 => x>0, x ≠ 1

Aplicando mudança de base

logx 6= log6 6 /log6 x= 1/log6 x

Aplicando substituição de variável y=log6 x, teremos

y + (1/y)= 2 => y² + 1= 2y => y² -2y + 1= 0

Resolvida a equação, temos y'=y"= 1. Substituindo y na igualdade com o logaritmo, têm-se:

y=log6 x=> 1=log6 x => x= 6

Visto que x satisfaz as condições de existência, S={6}.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.  

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia. 

Referências:

1-https://matika.com.br/funcao-logaritmica/equacao-logaritmica

2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-1.htm

3-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-ii.htm

4-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-i.htm

5-https://alunosonline.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica.html

6-http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoLogaritmica.aspx

7-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-logaritmica.htm

8-https://deverdecasa-web.blogspot.com/2018/02/exercicios-equacoes-logaritmicas.html

9-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacoes-logaritmicas.htm

11-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/535/matematica_funcoes_funcao_exponencial.pdf

Desafios de física 3.0

Questão 1)

Questão 2)

Questão 3)

Questão 4)

Questão 5)

Questão 6)

Resoluções:

Questão 1)

I) Simplificando, pode-se fazer:

RAB= R + [(R•RAB)/(RAB + R)]

RAB - R=(R•RAB)/(RAB + R)

(RAB - R) • (Rab + R)= (R•RAB)

RAB² - R² = R•RAB

RAB² -R•RAB - R²= 0

Resolvendo a equação quadrática:

∆=b² - 4ac

∆=R² - [4 • 1 • (-R²)]

∆=5R²

RAB= (R ± R√5)/2 e RAB> 0

Assim, 

RAB= R(1 + √5)/2

Resposta: Item D

Questão 2)

I) Forças em B:

sen α=  Fcp/T=mω²r/T => T • sen α=mBω²r (i)

cos α= PB/T =mBg/T =>  T • cos α = mBg (ii)

II) Forças em A:

NA + T • sen α= PA =  mA • g (iii)

T • cos α+ Fat= Fel= kx (iv)

Fat=μNA (v)

III)

Isolando NA em (iii) e substituindo (i) em (iii).

NA + T • sen α= mA • g 

NA = mA • g - T • sen α

NA = mA • g - mBω²r  (vi)

IV) Substituindo (vi), (v) e (ii) em (iv)

T • cos α+ Fat= Fel= kx

mBg +μ(mA • g - mBω²r)=kx => x= [mBg +μ(mA • g - mBω²r)]/k

Resposta: x= [mBg +μ(mA • g - mBω²r)]/k

Questão 3)

I) Visto que o enunciado afirma que os blocos não possuem movimento relativo entre si, a análise das forças em apenas um dos blocos será suficiente para a determinação da velocidade angular mínima.

Forças:

N • sen θ  - Fat • cos θ= Fcp= mω²r (i)

N • cos θ + Fat • sen θ= P= mg (ii)

Fat=μN (iii)

II) Isolando a força normal (N) e substituindo (iii) em (i), têm-se:

N • sen θ  - Fat • cos θ= mω²r

N • sen θ  - μN • cos θ= mω²r

N • (sen θ  - μ • cos θ)= mω²r

N=(mω²r)/(sen θ  - μ • cos θ) (iv)

III)Isolando a força normal (N) e substituindo (iii) em (ii), têm-se:

N • cos θ + Fat • sen θ= mg

N • cos θ  + μN • sen θ= mg

N • (cos θ  + μ • sen θ)= mg

N=(mg)/(cos θ + μ • sen θ) (v)

IV) Igualando (iv) e (v)

N=N

(mω²r)/(sen θ  - μ • cos θ) = (mg)/(cos θ + μ• sen θ)

Simplificando

(ω²r)/(sen θ  - μ cos θ)= g/(cos θ + μ • sen θ)

ω²=(g/r) • [(sen θ  - μ • cos θ)/(cos θ + μ • sen θ)]

ω=√{(g/r) • [(sen θ  - μ • cos θ)/(cos θ + μ • sen θ)]}

Resposta: Item d -√{(g/r) • [(sen θ  - μ • cos θ)/(cos θ + μ • sen θ)]}. 

Questão 4)

I) Considerando que o bloco inicia e termina sua trajetória com velocidade nula, infere-se que a variação de energia cinética é nula. Pelo teorema da energia cinética, têm-se:

τ_R=ΔE_c= τ_F.elétrica + τ_F.elástica + τ_Fat + τ_P

ΔE_c=0= τ_F.elétrica + τ_F.elástica + τ_Fat + τ_P

h= d • sen θ=

II)Substituindo os trabalhos realizados, obtém-se:

0= QV + (kx²/2) - (μ • m • g •d • cos θ) - (m • g •d • sen θ)

d • mg • (μ • cos θ +  sen θ)=QV + (kx²/2)

Multiplicando ambos os lados da igualdade por 2

2d • mg • (μ • cos θ +  sen θ)= 2QV + kx²

d= (2QV + kx²)/[2mg(μ • cos θ +  sen θ)]

Resposta: Item E - d= (2QV + kx²)/[2mg(μ • cos θ +  sen θ)]

Questão 5)

I)  Visto que os fios mencionados possuem certa resistividade ( ρ=0,4Ω mm²/m), é possível tratá-los como resistores de resistências R1 e R2 como na figura abaixo:

R1= ρ • (L1/A)

R1=0,4 • (25/2)= 5 Ω

R2=ρ •  (L2/A)

R2=0,4 • (10/2)= 2 Ω

II) Conhecidas às resistências do circuito, calcularemos sua resistência equivalente para se calcular a corrente total do circuito

Req= {[(116 + 2 + 2) • 40]/[(116 + 2 +2 + 40)]} + 5 + 5

Req={[120 • 40]/160} + 10

Req= 40 Ω

Pela segunda Lei de Ohm

Ueq= Req • i

200=40i => i= 5 A

III) DDP entre A e B

A corrente do circuito é divida do modo mostrado na imagem abaixo:

Com isso, teremos:

Resistência equivalente AD (Trecho em paralelo)

RAD= {[(116 + 2 + 2) • 40]/[(116 + 2 +2 + 40)]}= 30 Ω

UAD = RAD • i

UAD = 30 • 5= 150 V

Pela primeira Lei de Ohm no trecho em série  ABCD (RABCD=2 +2 + 116= 120 Ω) , teremos:

UAD = RABCD • i(AB)=> 150= 120 • i(AB) =>i(AB) = 150/120

i(AB) = 150/120= 5/4= 1,25 A

i(AB)= 1,25 A

Por fim, obtêm-se:

UAB= RAB • i(AB)

UAB= 2 •  1,25

UAB= 2,5 V

Resposta: Item B

Questão 6)

I) Velocidade de máxima oscilação do conjunto (Vmáx)

Do MHS, obtêm-se:

Vmáx= ωA

Vmáx= 2 • 0,4=0,8 m/s

II) Colisão de m com M

Sabe-se que a colisão é perfeitamente inelástica e, com isso, teremos?

Q(M +m)= Q(M) + Q(m)

(M +m) • Vmáx= M • 0 + m • Vo

(10 + 2) • 0,8= 2 •Vo => Vo= 4,8 m/s

Resposta: Item d. Vo= 4,8 m/s

Novidade:

Abri um server no discord para tirar dúvidas dos leitores do blog de várias matérias (de exatas claro, kkkkkk). Espero que gostem. Link:https://discord.gg/ZShrt7jxru

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Desafios de matemática 11.0

Questão 1)(ITA) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, em cm² , será igual a:

Questão 2)(ITA) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780∘ . O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: 

A) 63 

B)69

C)90

D)97 

E) 106

Questão 3)(ITA) Determine o número complexo z, sabendo que arg (z - 1)=2π/3, arg (z + 1)= π/6.

Obs: arg w é o argumento do número complexo w.

Questão 4) (ITA) Se a= cos π/5 e b= sen π/5, então o número complexo (cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴ é:

a) a + bi

b)-a + bi

c)(1-2a² b²) + ab(1 + b²)i

d) a - bi

e) 1- 4a²b² + 2ab (1- b²)i

Resoluções: 

Questão 1) (ITA)

Considerando r o raio da circunferência circunscrita. Além disso, considere que os ângulos internos do triângulo são A, B e C e que os lados do triângulo são a, b e c.

Pela lei dos senos, teremos:

a/sen A=b/ sen B= c/ sen C= 2r

A partir das propriedades de proporção, teremos:

a/sen A=b/ sen B= c/ sen C= 2r= (a + b + c)/(sen A + sen B + sen C)

No enunciado a + b + c=20x e sen A + sen B + sen C=x. Com isso teremos:

2r=(a + b + c)/(sen A + sen B + sen C)

2r= 20x/x= 20 => r= 10 cm

Conhecido o raio da circunferência, sua área será:

A=πr²=π10²

A=100π cm²

Resposta: A=100π cm²

Questão 2) (ITA)

I) Para a resolução da questão, devemos considerar que: n1= n - r, n2= n, n3= n + r (número de lados de cada polígono). A soma dos ângulos internos de  cada polígono será dada por:

S1 + S2 + S3= 3780°

(n - r - 2) 180° + (n - 2) 180° + (n + r -2) 180°= 3780°

Simplificando

n - r - 2 + n - 2 + n + r - 2= 21

3n - 6= 21 => n= 9

II) Recorrendo ao enunciado, teremos:

n1 • n2 • n3= 585

Sendo n2=9

n1 • n3= 65

n1• n3= 5 • 13

n1 e n3 são números naturais. Sendo assim, existem duas possibilidades

(n1, n2, n3)= (5, 9, 13) ou (n1, n2, n3)= (1, 9, 65)

Na primeira opção, temos os lados em progressão aritmética, então podemos calcular:

d= d1 + d2 + d3

d= [5 • (5 - 3)]/2 + [9 • (9 - 3)]/2 + [13 • (13 - 3)]/2

d= 5 + 27 + 65

d= 97

Resposta: Item d

Questão 3) (ITA)

I) Assumindo z= a + bi, teremos:

z -1= (a - 1) + bi

z +1= (a + 1) + bi

tg 2π/3= -√3 = b/ (a - 1) => b= -√3(a - 1) (i)

tg  π/6= √3/3= b/(a + 1) => [(a + 1)√3]/3 (ii)

II) (i)= (ii)

b=b => -√3(a - 1)= [(a + 1)√3]/3 => (1 - a)= (a + 1)/3 =>

3 - 3a= a + 1 => a=1/2

Substituindo a em (i):

b= -√3(a - 1) =>b= -√3((1/2) - 1)=√3/2

III) Com isso, teremos:

z= a + bi => z= 1/2 +(√3/2)i

Resposta: z= 1/2 +(√3/2)i

Questão 4) (ITA)

Escrevendo z= cos π/5 + i sen π/5 na forma exponencial (ou Euleriana), teremos:

 z= cos π/5 + i sen π/5= e^iπ/5

Com isso, teremos o seguinte valor para (cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴:

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴:= (e^iπ/5)⁵⁴= e^i54π/5

Convertendo esse termo, teremos:

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴=e^i54π/5=cos 54π/5 + i sen 54π/5

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴=[cos (50π/5 +4π/5) + i sen (50π/5 +4π/5)]

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴=[cos (10π +4π/5) + i sen (10π+4π/5)]

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴=[cos (4π/5) + i sen (4π/5)]

Sendo 4π/5= π - π/5, teremos:

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴=[-cos (π/5) + i sen (π/5)]

Sendo a= cos (π/5) e b=sen (π/5), temos:

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴=[-cos (π/5) + i sen (π/5)]

(cos π/5 + i sen π/5)⁵⁴= -a + bi

Resposta: -a + bi. Item b

Desafios de Física 2.0

Questão 1) (ITA 2019) Considere duas partículas de massa m, cada qual presa numa das pontas de uma corda, de comprimento l e massa desprezível, que atravessa um orifício de uma mesa horizontal lisa. Conforme mostra a figura, a partícula descreve um movimento circular de raio r e velocidade angular ω₁. A partícula suspensa também descreve esse mesmo tipo de movimento, mas com uma velocidade angular ω2, estando presa a uma mola de constante elástica k e comprimento natural desprezível, mantida na horizontal. Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e θ o ângulo de suspensão da corda com a vertical, a razão (ω2/ω1)² é dada por:

Questão 2) (ITA-2015) Uma pequena esfera metálica, de massa m e carga positiva q, é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial Vo em uma região onde há um campo gravitacional elétrico de módulo E, apontando para baixo, e um gravitacional de módulo g, ambos uniformes. A máxima altura que a esfera alcança é:

a) V0²/2g

b)qE/mV0

c) V0/qmE

d)mV0²/2(qE + mg)

e)√[3mEqV0/8g]

Questão 3) (ITA 2007)

Questão 4) (ITA 2007)

Resoluções:

Questão 1) (ITA 2019)

I) Primeiramente, temos a seguinte relação para a força centrípeta da partícula de cima:

Fcp=T=m(ω1)²r (i)

II) Para a partícula de baixo, temos:

P= T cos θ => T= mg/cos θ (ii)

Igualando i e ii

m(ω1)²r= mg/cos θ

(ω1)²r= g/cos θ

(ω1)²=g/(r • cos θ) (iii)

III) Ainda na partícula de baixo, temos:

Tsen θ + kR= m(ω2)²R (iv)

Da figura abaixo, descobrimos que:

R/(l - r)= sen θ

R= (l - r)sen θ (v)

(v) em (iv)

Tsen θ + kR= m(ω2)²R 

Tsen θ + k(l - r)sen θ= m (ω2)²(l - r)sen θ 

Simplificando

T + k(l - r)= m(ω2)²(l - r) => (ω2)²=[T + k(l - r)]/[m(l - r)] (vi)

IV) Dividindo (vi) por (iii)

(ω2/ω1)² ={[(mg/cos θ) + k(l - r)]}/m(l - r)}/[g/(r • cos θ)]

(ω2/ω1)² = {[(mg/cos θ) + k(l - r)]}/m(l - r)} • [(r • cos θ)/g]

(ω2/ω1)² = r • [(mg + k(l - r)cos θ)/mg(l - r)]

Resposta: (ω2/ω1)² = r • [(mg + k(l - r)cos θ)/mg(l - r)]. Item a

Questão 2) (ITA 2015)

I) Visto que as forças atuantes no sistema são a gravitacional e a elétrica, ambas apontando para baixo, teremos a seguinte aceleração para o sistema:

Fr= Fe +P

m • a_r= qE + mg

a_r= (qE + mg)/m

II) Sabe-se que a velocidade vertical da esfera será nula na altura máxima:

V²= V0² + 2a_rHmáx  (tomando como positivo o referencial para cima)

0=V0² - 2[(qE + mg)/m]Hmáx

2[(qE + mg)/m]Hmáx= V0² 

Hmáx= V0²/2[(qE + mg)/m]

Hmáx= mV0²/2(qE + mg)

Resposta:mV0²/2(qE + mg) Item d

Questão 3) (ITA 2007)

I) Primeiramente, as duas primeiras molas de constante elástica K1 encontram-se em paralelo e, sendo assim, equivalem uma mola de constante elástica Keq1.

Keq1= K1 + K1= 2K1

II) As três molas de constante elástica K2 também encontram-se em paralelo e, sabendo disso, descobrimos que equivalem a uma mola de constante elástica Keq2.

Keq2= K2 + K2 + K2= 3K2

III) Nesse caso, o sistema reduz-se a um sistema de duas molas em série com constantes elásticas Keq1 e Keq2, como na figura abaixo:

A constante elástica k da mola osciladora do sistema será:

K= (1/Keq1) + (1/Keq2)= (Keq2 + Keq1)/(Keq1 • Keq2)

K=( 3K2 + 2K1)/(2K1 • 3K2)=(2K1 + 3K2)/(6K2K1)

IV)  A frequência de oscilação do sistema fica igual a:

f=(1/2π) √(K/m)

f=(1/2π) √{[((2K1 + 3K2)/(6K2K1)]/m}

f= (1/2π) √{6K1K2/[m(2K1 + 3K2)]}

Resposta: f= (1/2π) √{6K1K2/[m(2K1 + 3K2)]}

Questão 4) (ITA 2007)

Por definição, a imagem virtual é aquela que fica atrás do espelho. Sabendo disso, infere-se que a distância de B a imagem é representada pelo segmento A'B na figura abaixo

Lembrete: todas as medidas estão em metros

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo A'TB na figura:

A'B²= 5² + (2 + 3)²= 5² + 5²= 2 • 5²

A'B²= 2 • 5²  => A'B=5√2 m

Resposta: A'B=5√2 m

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.  

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