Introdução:
Uma equação logarítmica é aquela que apresenta uma incógnita ou variável no logaritmando ou na base do logaritmo. Importante ressaltar que o logaritmo possui o seguinte formato:
loga b= x => ax= b
Sendo a a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo.
Ao resolver equações desse tipo, é importante o domínio das propriedades operatórias do logaritmo, pois elas facilitam o desenvolvimento dos cálculos. Haverá equações que só poderão ser resolvidas a partir delas.
Para resolver tais igualdades, deve-se recorrer tanto aos conceitos de logaritmos como os de equações para alcançar dois tipos de situações.
Condições de existência:
Para que um logaritmo exista, as seguintes condições precisam ser satisfeitas:
loga b= x => b>0, a>0 e a ≠ 1
Sempre é importante determinar se os valores obtidos na resolução de uma equação logarítmica satisfazem essas condições de existência, pois se não o fizerem, elas não são soluções da equação.
Primeiro caso: Igualdade entre logaritmos de mesma base
Visto que a função logarítmica é injetora, o fato dos valores de dois logaritmos serem iguais implica na igualdade de seus logaritmandos. Isso é de crucial importância para a resolução das equações logarítmicas.
loga b= loga c <=> b=c
Exemplo 1: log2 (3x - 3)= log2 9
Condição de existência do logaritmo:
3x - 3>0 => x > 1
Visto que as bases de ambos os logaritmos é a mesma, teremos a igualdade dos logaritmandos. Com isso, obtêm-se:
log2 (3x - 3)= log2 9
3x - 3= 9 =>3x= 12 => x=4
Visto que a condição de existência foi satisfeita, têm-se: S={4}
Exemplo 2: log (x - 3) + log (x + 3)= 2 log 4
Condição de existência do logaritmo:
Primeiramente, a soma de logaritmos pode ser reescrita da seguinte forma:
log [(x - 3)(x + 3)]= 2log 4
Desenvolvendo o produto notável obtido
log (x² - 9)= 2log 4
x² - 9 >0 => x > 3 ou x> -3
Resolução da equação log (x - 3) + log (x + 3)= 2 log 4
Utilizando a propriedade da potência no segundo membro da igualdade
log (x² - 9)= log 4²= log 16
Visto que as bases de ambos os logaritmos é a mesma, teremos a igualdade dos logaritmandos. Com isso, obtêm-se:
log (x² - 9)= log 16
x² - 9= 16
x²= 25
x= ±√25= ±5
Pela condição de existência, têm-se S={5}
Exemplo 3: 2log 2x= log (2x + 3) + log (x + 1)
Condições de existência
Aplicando propriedades da soma e da potência de logaritmos, teremos:
log 4x²= log [(2x + 3) (x + 1)]
4x² > 0 => x > 0
(2x + 3) (x + 1) > 0=> x> -3/2 e x> -1
Visto que as bases de ambos os logaritmos é a mesma, teremos a igualdade dos logaritmandos. Com isso, obtêm-se:
log 4x²= log [(2x + 3) (x + 1)]
4x²= (2x + 3) (x + 1)
4x²=2x² + 5x + 3
2x² - 5x - 3= 0
Resolvendo a equação do segundo grau, têm-se x'= 3 e x''= -1/2. Nesse caso, apenas uma das raízes satisfaz as condições (x é tal que x > 0, x> -3/2 e x> -1). Logo, S={3}.
Segundo caso: Igualdade entre um logaritmo e um número real
Nesse caso, aplica-se a propriedade básica de logaritmo para a resolução de equações desse tipo.
Propriedade referida:
loga b= x => ax= b
Exemplo 1: log3 (5x - 1)= 2
Condição de existência
5x - 1> 0 => x > 1/5
Aplicando a propriedade básica de logaritmo
5x - 1= 3²= 9
5x - 1= 9 => x= 2
Visto que a condição de existência foi satisfeita (pois 2 > 1/5), temos S= {2}.
Exemplo 2: log2 (32)= x + 1
Condição de existência
x + 1> 0 => x > -1
Utilizando propriedade de logaritmo
32=2x + 1
25 = 2x + 1
5= x + 1 => x= 4
Sendo 4 > -1, a condição de existência foi satisfeita. Assim, S={4}
Terceiro caso: Substituição de variável
Este tipo de equação é resolvida ao substituir loga b por outra variável, por exemplo, y.
Exemplo 1: log6 x + logx 6= 2
Condição de existência
log6 x => x > 0
logx 6 => x>0, x ≠ 1
Aplicando mudança de base
logx 6= log6 6 /log6 x= 1/log6 x
Aplicando substituição de variável y=log6 x, teremos
y + (1/y)= 2 => y² + 1= 2y => y² -2y + 1= 0
Resolvida a equação, temos y'=y"= 1. Substituindo y na igualdade com o logaritmo, têm-se:
y=log6 x=> 1=log6 x => x= 6
Visto que x satisfaz as condições de existência, S={6}.
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.
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