Dominando o conhecimento - área dos sólidos geométricos

Questão 1) Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Determine a área total e lateral deste cone.

Questão 2) (ENEM- 2010) - Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá  instalar na figura ilustrada

                                  

Fonte:https://www.mesalva.com/enem-e-vestibulares/materias/matematica-e-suas-tecnologias/matematica/completo/geometria-espacial/matm-geometria-espacial/matmea-exercicios-de-fixacao-nivel-aprendiz/pircex06

Sabendo - se que a luminária deverá iluminar uma área circular de  28,26 m², considerando
π (pi)= 3,14, a altura será igual:

a) 3 m

b) 4 m

c) 5 m

d) 9 m

e) 16 m

Questão 3) (UECE)- Um cilindro circular reto de altura 7 cm tem volume igual a 28π cm³. A área total desse cilindro, em cm², é:

a) 30π 

b) 32π

c) 34π

d) 36π

Questão 4) (USF-SP)- Um cilindro circular reto, de volume 20π cm³, tem altura de 5 cm. Sua área lateral , em centímetros quadrados, é igual a:

a) 10π

b) 12π

c) 15π

d) 18π

e) 20π

Questão 5) Uma esfera têm 25π cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio para que a área passe a ser 64π cm²?

Questão 6) Uma esfera está inscrita  num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área superfície esférica.

Questão 7) Qual é a área total de um cubo cujas arestas medem 15 centímetros?

a) 550 cm²

b) 1350 cm²

c) 1450 cm²
d) 1800 cm²

e) 1850 cm²

Questão 8)  Qual a diferença entre as áreas de dois cubos que possuem arestas iguais a 10 e a 25 cm, respectivamente?

a) 3150 cm²

b) 3250 cm²

c) 3350 cm²

d) 3450 cm²

e) 3550 cm²

Questão 9) Um armário, com a forma de dimensões 0,5 m; 2,5 m e 4 m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5 m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parede interna do armário.

Resoluções:

Questão 1)

Dados:

h= 16 cm

r= 12 cm

I) Primeiramente, determinaremos a geratriz do cone.

g²= r²+ h²

g²= 12² + 16²

g²= 144 + 256

g²= 400

g=√400

g= 20 cm

II) Agora basta substituirmos as medidas do cone nas fórmulas:

* Área lateral                         

Al= πrg

Al= π • 12 • 20

Al= π • 240

Al= 240π cm²

*Área total

At= πr(r + g)

At= π • 12 • (12 + 20)

At= 12π • 32

At=384π cm²

Questão 2) 

Dados:

g=5 m

Ab= 28,26 m²

I) Como sabemos que a área circular do cone da imagem é 28,26 m^2 e considerando π= 3,14 , o raio desta circunferência será dado por:

Ab= πr²

3,14 • r^2= 28,26

r²= 28,26 

      3,14

r²= 9

r=√9

r= 3 m

II) Agora podemos determinar a altura ideal para se instalar a luminária pelo teorema de Pitágoras.

g²=r²+ h²

5²= 3² + h²

25= 9 + h²

h²= 25 -9

h²= 16

h= √16

h= 4 m

Resposta: Item b

Questão 3) 

Dados:

V= 28π cm³

h= 7 cm

I) Sabendo- se que o volume do cillindro é dado por V= π • r² • h, o raio deste sólido será igual

π • r² • 5=  20π

5π • r²= 28π

r²= 20π 

      5π

r²= 4

r= √4

r= 2 cm

II) Agora que conhecemos as medidas da altura e do raio do cilindro, podemos determinar a área total do mesmo substituindo os valores do mesmo na fórmula abaixo.

At= 2πr(r+h)

At= 2 • π • 2 • (2 + 7)

At 4π • 9

At= 36π cm²

Resposta: Item d

Questão 4)

Dados:

V= 20π cm³

h= 5 cm

I) Sabendo- se que o volume do cillindro é dado por V= π • r² • h, o raio deste sólido será igual

π • r² • 7=  20π

7π • r²= 28π

r²= 28π 

       7π

r²= 4

r= √4

r= 2 cm

II) Agora que conhecemos as medidas da altura e do raio do cilindro, podemos determinar a área total do mesmo substituindo os valores do mesmo na fórmula abaixo.

At= 2πrh

At= 2 • π • 2 • 5

At 4π • 5

At= 20π cm²

Resposta: Item e.

Questão 5)

Dados:

Ao= 25π cm²

A= 64π cm²

I) Primeiramente, devemos determinar o raio da esfera com antes de aumentar sua área.

A=4 • π • r²

4 • π • r²= 25π

r²=  25π 

        4π

r²= 6,25

r= √6,25

r= 2,5 cm

II) Em seguida, devemos calcular o raio da esfera depois de seu aumento de área.

4 • π • R²= 64π

R²= 64π 

        4π

R²= 16

R= √16

R= 4 cm

III) Como conhecemos o valor do raio inicial e final desta esfera, a variação do seu raio corresponderá a:

∆R= R -r

∆R= 4 - 2,5

∆R= 1,5 cm

Resposta: A variação do raio será igual a 1,5 cm.

Questão 6)

I) Visto que a esfera está inscrita em um cubo com arestas que medem 20 cm, podemos concluir que o raio da esfera será metade da medida da aresta do cubo. Logo, a esfera possui um raio igual a 10 cm.

A= 4 • π • r²

A= 4 • π  • 10²

A=4π • 100

A=400π cm²

Resposta: A superfície esférica desta esfera é igual a 400π cm^2

Questão 7)

I) Como sabemos que o cubo possui arestas com medida igial a 15 cm

Basta substituir esse valor na fórmula abaixo para determinarmos a sua área.

A= 6 • L²

A= 6 • 15²

A= 6 • 225

A= 1350 cm²

Resposta: Item b.

8) 

I) Sabendo que um dos cubos possui arestas com medida igual 25 cm e o outro tem arestas com medida igual a 10 cm, devemos calcular a área de cada um deles primeiramente.

*Área do menor cubo

A1= 6 • 10²

A1= 600 cm²

*Área do maior cubo

A2= 6 • 25²

A2= 3750 cm²

II) A variação de área corresponderá a:

A2 - A1= 3750 - 600

A2 - A1= 3150 cm² 

Resposta: Item a.

9)

Dados:

a=0,5 m

b= 2,5 m

c= 4 m

I) Primeiramente, devemos determinar a área interna do armário.

A=2 • ( ab + ac + bc)

A= 2 • ( 0,5 • 2,5 + 0,5 • 4 + 2,5 • 4)

A= 2 • ( 1,25 + 2 + 10)

A= 2 • 13,25

A= 26,5 m²

II) Como sabemos que a tinta tem um rendimento de 5 m^2 por litro e a área interna do armário, a quantidade total de tinta gasta será:

Qtinta= 26,5 

               5

Qtinta= 5,3 litros

Resposta: A quantidade de tinta gasta na pintura deste armário será igual a 5,3 litros.

Referências:

1-http://questoesdevestibularnanet.blogspot.com/2013/10/questoes-de-vestibulares-resolvidas.html

2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-area-cubo.htm

3-http://questoesdevestibularnanet.blogspot.com/2013/11/questoes-resolvidas-de-vestibular-sobre.html

4-https://www.todamateria.com.br/area-do-cilindro/

5-http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=554

Geometria espacial- área dos sólidos geométricos

Introdução:

A geometria espacial é um ramo da  matemática que foca no estudo das figuras tridimensionais, ou seja, aquelas que apresentam largura, comprimento e altura. Ela estuda sólidos geométricos como o cubo, cilindro, cone, prisma e a esfera.

A área superficial destes objetos é obtida pela soma  das áreas de cada figura geométrica que os compõem, que pode ser obtida pela planificação deles e por fórmulas específicas para cada sólido.
Apresentaremos algumas fórmulas para o cálculo da área de alguns sólidos geométricos e como aplicá-las.

Cubo:

Tipo especial de paralelogramo nos quais todas as suas arestas e faces são congruentes. Ele é um poliedro regular com 8 vértices e 12 arestas.

Sua área é dada por:

                       
Cubo com medidas L.

Fonte: https://www.infoescola.com/matematica/volume-do-cubo-e-paralelepipedo/
                                       
A= 6 • L²

* Exemplo: Qual a área de um cubo cujo lado mede 4 cm ?
I) Como conhecemos a medida do lado deste cubo, basta substituí-lo na fórmula para determinamos sua área.

A=6 • L²
A=6 • 4²
A=6 • 16
A= 96 cm²

Paralelepípedo:

Figura geométrica tridimensional que é definida como um prisma cujo as faces são paralelogramos. Ele apresenta seis faces, 12 arestas e 8 vértices.

Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-paralelepipedo-cubo-cone.htm


Área total do paralelepípedo:
A=2 • (ab + ac + bc)

*Exemplo: Qual a área de um bloco retangular que apresenta medidas de comprimento e largura iguais a 30 cm e uma altura com medida igual a 15 cm.
 I) Como o comprimento e a largura são iguais, temos que a= 30 cm e b= 30 cm. Como a altura mede 15 cm, temos que a área deste paralelepípedo será:

A= 2 • ( 30 •30 + 30 • 15 + 30 • 15)
A= 2 • ( 900 + 450 + 450)
A= 2 • (900 + 900)
A= 2 • 1800
A= 3600 cm²

Cilindro:

O cilindro é uma figura geométrica com formato circular que apresenta o mesmo diâmetro em todo o seu comprimento. Ele é composto por duas bases circulares dispostas em planos distintos e perpendiculares e todos os pontos entre eles.

Ele apresenta os seguintes elementos:

Raio: Distância entre o centro e uma extremidade do cilindro. (r)

Base: O cilindro apresenta uma base superior e inferior. Ambas são circulares, paralelas entre si e congruentes.

Geratriz: Segmento que passa de uma base para a outra. Corresponde a altura do cilindro.(altura h=g)

Diretriz: Corresponde aos pontos da geratriz nas extremidades do cilindro.

Um cilindro pode ser classificado como:

Reto: Cilindro cuja geratriz é perpendicular às bases e congruente a altura h.

Oblíquo: Cilindro cuja geratriz não é perpendicular as bases e que apresenta uma medida não congruente a da altura.

Equilátero: Cilindro cuja altura igual a medida do raio, ou seja, o que apresenta uma altura 2r.

                                   
Fonte:https://sabermatematica.com.br/volumesmd.html

* Área da base:
Ab= πr²

A= Área lateral
Al= 2πrh

* Área total
At=2 Ab + Al
At= 2πr(r + h)

* Exemplo: Calcule a área de um cilindro cujo altura mede 20 cm e o diâmetro é igual a 8 cm.
I) Primeiramente devemos que o raio de um círculo corresponde a metade do seu diâmetro (d=r/2), logo r=8/2= 4 cm. Visto isso, podemos substituir os valores para aplicá-los na fórmula.

At= 2πr(r + h)
At= 2 • π • 4 • (4 + 20)
At=8π • (24)
At=192π cm²

Esfera:

Figura tridimensional formada por um conjunto de pontos que podem estar a uma distância do seu centro igual ou menor que o seu raio R.

                           
Fonte:https://matematicabasica.net/area-da-esfera/

Fórmula:
At=4πR²

* Exemplo: Calcule a área de uma esfera que apresenta um raio igual a 10 cm.
At= 4 • π • 10²
At= 4 • π • 100
At= 400 • π
At= 400π cm²

Cone:

Cone é uma figura geométrica que apresenta uma base circular constituída por segmentos de reta que apresentam como extremidade um vértice comum. 

A altura do cone é a distância do plano da base até o vértice do cone.  Esta figura possui a geratriz, ou seja, qualquer segmento formado por uma extremidade no vértice e outra na base da figura.

                                
Fonte:https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cone/



Existem dois tipos de cone:

-Cone oblíquo: É o que possui o eixo não é perpendicular a base, ou seja, a altura e a base formam um ângulo de 90 graus:

-Cone reto: Apresenta um eixo perpendicular a base, ou seja, a altura e a base são perpendiculares e a geratriz do cone é dada pelo Teorema de Pitágoras a partir da seguinte relação: g^2= r^2 + h^2.

                              
Fonte:https://www.todamateria.com.br/volume-do-cone/

Para calcular a base do cone, aplicamos a seguinte fórmula:

* Área da base
Ab= πr²

Para a área lateral do cone, aplicamos outra fórmula
*Área lateral
Al= πrg

A área total do cone será dada pela soma da lateral e da base.
* Área total
At= Ab + Al
At= πr² + πrg
At= πr(r + g)

* Exemplo: Qual a área total e lateral de um cone que possui altura igual a 12 cm e raio da base igual a 5 cm

I) Primeiramente, devemos calcular a geratriz do cone:
g²= r² + h²
g²=5² + 12²
g²= 25 + 144
g²= 169
g=√169
g=13 cm

II) Visto que agora determinamos a geratriz, podemos calcular a área lateral e total do cone substituindo os valores das medidas do mesmo nas fórmulas. Com isso temos os seguintes resultados

*  Área lateral
Al= πrg
Al= π • 5 • 13
Al= 65π cm²

*Área total
At= πr(r + g)
At= π • 5 • (5+ 13)
At= π • 5 • 18
At= 90π cm²

Agradecimentos:

Referências:

1-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm

2-https://www.infoescola.com/matematica/area-externa-de-solidos-geometricos/
3-https://www.infoescola.com/matematica/volume-de-solidos-geometricos/exercicios/
4-http://www.matematicadidatica.com.br/Solidos-Geometricos-Exercicios-Calculo-Area-Volume.aspx
5-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-solidos-geometricos.htm
6-http://questoesdevestibularnanet.blogspot.com/2013/11/questoes-resolvidas-de-vestibular-sobre.html
7-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-area-esfera.htm
8-http://www.profcardy.com/exercicios/lista.php?a=geometria%20espacial
9-https://escolaeducacao.com.br/geometria-espacial/
10-https://matematicabasica.net/area-do-cilindro/
11-https://www.todamateria.com.br/cone/
12-https://www.todamateria.com.br/area-do-cone/
13-https://matematicabasica.net/cilindro/
14-https://www.todamateria.com.br/area-do-cilindro/
15-http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=554

Sistema de equações do segundo grau

O que é?

Um sistema de equações do segundo grau é um conjunto de equações que apresentam mais de uma variável, onde se encontra uma equação quadrática ou a resolução do sistema nos leva a uma.
A solução destas equações nos mostra os valores que satisfazem ambas as equações por meio de dois pares ordenados.
Este tipo de sistema pode ser resolvido através do método de substituição.
Sistemas de equações do segundo grau são muito práticos na resolução de diversos problemas e agora mostraremos alguns exemplos de sistemas.

Exemplos:

E.1) 

{x² + y²= 20 

{x + y= 6

I) Para começarmos, iremos isolar x na segunda equação.

x + y= 6

x= 6 - y

II) Agora, substituiremos o valor de x na primeira equação

x² + y²= 20

( 6 - y)² + y²= 20

36 - 12y + y² + y²= 20

2y² - 12y + 36= 20

2y² - 12y + 36 - 20= 0

2y²- 12y + 16= 0 (dividindo ambos os lados da equação por dois)

y² - 6y + 8= 0

III) Aplicaremos a fórmula de Bhaskara para obter o valor de y.

y² - 6y + 8= 0

Coeficientes da equação
a= 1
b= -6
c= 8

Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(-6)² - 4 • 1 • 8

∆=36 - 32

∆=4

y= -b ± √∆ 

         2a

y= -(-6) ± √4  
          2 • 1

y= 6  ± 2  
         2

y'= 6 + 2 
         2

y'= 8 
      2

y'= 4

y"= 6 - 2 
         2

y"= 4 
       2

y"= 2

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'=6 - y'
x'=6 - 4
x'= 2

x"= 6 - y"
x"= 6 - 2
x"= 4

Resposta: S= {(2, 4) e ( 4, 2)}

E.2)
{x + y= 2
{4xy= 3

I) Para começarmos, iremos isolar x na segunda equação.

x + y= 2

y= 2 - x

II) Agora, substituiremos o valor de x na primeira equação

4xy=3
4 • x • ( 2 - x)= 3
4 • ( 2x - x²)= 3
8x - 4x²= 3 (multiplica a equação por -1)
4x² - 8x= -3
4x² - 8x + 3= 0

III) Aplicaremos a fórmula de Bhaskara para obter o valor de x

4x² - 8x + 3= 0

Coeficientes da equação
a= 4 
b= 8
c= 3

Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(8)^2 - 4 • 4 • (3)

∆=64 - 48

∆=16

x= -b ± √∆ 

         2a

x= -(-8) ± √16  
          2 • 4

x= 8  ± 4  
         8

x'= 8  + 4 
         8

x'= 12 
       8

x'= 3 
      2

x"= 8 - 4 
         8

x"= 4 
       8

x"= 1 
       2

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

y'=2 - x'
y'=2 - 3 
          2
y'= 2 - 1,5
y'= 0,5
y'= 1 
      2

y"= 2 - x"
y"= 6 - 1 
            2
y"= 2 -  0,5
y"= 1,5
y"= 3 
       2

Resposta: S= {(3/2 , 1/2), ( 1/2, 3/2)}

Exercícios:

Questão 1) (Cefet- SP) Sabendo que as equações de um sistema são x • y=50 e x + y= 15, os possíveis valores para x e y são:

a){(5, 15)}, (10, 5)}

b){(10, 5), ( 10, 5)}

c){(5, 10), (15,5)}

d){(5,10), (5,10)}

e){(10 ,5), ( 5, 10)}

Questão 2) Resolva o sistema a seguir utilizando números reais:
{3x - y²=4
{3x + 2y=3

Questão 3) Resolva o sistema a seguir utilizando números reais:
{x - y= 5
{x² + y²= 13

Questão 4) Um retângulo com lados x e y mede 32 cm de perímetro e sua área 60 cm^2 de área. Determine as medidas x e y deste retângulo.

Questão 5) Resolva o seguinte sistema:
{x - y= 1
{x² + y²= 5

Questão 6) Um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dimensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área da região determinada por esse triângulo, sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que x < y.

Resoluções:

Questão 1)

{xy=50

{x + y= 15

I) Primeiramente, isolaremos x na segunda equação

x + y= 15

x= 15 - y

II) Em seguida, substituiremos o valor de x na primeira equação.

x • y=50

(15 - y) •  y=50

15y - y²= 50 ( multiplicando os dois lados da equação por -1)

y² - 15y= -50

y² - 15y + 50=0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.

y² - 15y + 50=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= -15
c= 50
Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(-15)^2 - 4 • 1 • 50

∆=225 - 200

∆=25

y= -b ± √∆ 

         2a

y= -(-15) ± √25  
           2 • 1

y= 15  ± 5  
          2

y'= 15 + 5 
           2

y'= 20 
       2

y'= 10

y"=15 - 5 
          2

y"= 10 
        2

y"= 5

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'=15 - y'
x'=15 - 10
x'= 5

x"= 15 - y"
x"= 15 - 5
x"= 10

Resposta: Item e. V={(10,5), (5, 10)}

Questão 2)

{3x - y²=4

{3x + 2y= 3

I) Primeiramente, isolaremos 3x na primeira equação

3x - y²=4

3x =4 + y²

3x= y² + 4

II) Em seguida, substituiremos o valor de 3x na primeira equação.

3x + 2y= 3

y² + 4 + 2y= 3

y² + 2y + 4 - 3=0

y² + 2y + 1= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.

y² + 2y + 1=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= 2
c= 1

Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(2)² - 4 • 1 • 1

∆= 4 -4

∆= 0

y= -b ± √∆ 

         2a

y= - (2) ± √0  
           2 • 1

y= - 2 ± 0  
          2

y= -  2  
         2

y= -1

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

3x= y² + 4

x=  y² + 4  

           3

x= (-1)² + 4 

            3

x= 1 + 4 

        3

x= 5 

     3

Resposta: V={(5/3, -1)}

Questão 3)

{x - y= 5
{x² + y²= 13

I) Primeiramente, isolaremos x na primeira equação

x - y= 5

x= 5 + y

II) Substituiremos o valor de x na segunda equação

(5 + y)² + y²= 13

25 +10y + y² + y²= 13

2y² + 10y + 25= 13

2y² + 10y + 25 - 13= 0

2y² + 10y + 12= 0 (dividiremos os dois lados da equação por dois para facilitar os cálculos)

y² + 5y + 6= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.

y² + 5y + 6=0

Coeficientes da equação

a= 1

b= 5

c= 6

Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(5)² - 4 • 1 • 6

∆= 25 - 24

∆= 1

y= -b ± √∆ 

         2a

y= -(5) ± √1  

          2 • 1

y= -5 ± 1   

         2

y'= -5 + 1 

          2

y'= - 4 

        2

y'= -2

y''= -5 - 1 

          2

y"= -6 

        2

y"= -3

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'= 5 + y'

x'= 5 + (-2)

x'= 5 - 2

x'= 3

x"= 5 + y"

x"= 5 + (- 3)

x"= 5 - 3

x"= 2

Resposta: O sistema apresenta duas soluções reais: (3, -2), (2, -3).

Questão 4)

I) Primeiramente montaremos o sistema com base nos dados que o problema forneceu e com alguns conceitos básicos.

Área: x • y

Perímetro: x + x + y + y= 2x + 2y

Montando o sistema:

{2x + 2y= 32 (dividindo os dois lados da primeira equação por dois)

{xy= 60

{x + y= 16

{xy= 60

II) Isolando y na primeira equação:
x+ y= 16
y= 16 - x

III) Substituindo o valor de y na segunda equação
xy= 60
x • (16 - x)= 60
16x - x²= 60 ( organizando a equação)
-x² + 16x= 60 (multiplicando os dois lados da equação por -1)
x² -16x= -60
x² - 16x + 60= 0

IV) Agora, obteremos os valores de x através da fórmula de Bhaskara.
x² - 16x + 60= 0

Coeficientes da equação
a=1
b= -16
c= 60

Discriminante:

∆=b² - 4ac

∆=(-16)² - 4 • 1 • 60

∆= 256 - 240

∆= 16

x= -b ± √∆ 

         2a

x= -(-16) ± √16 
             2 • 1

x= 16 ± 4 
          2

x'= 16 + 4 
          2

x'= 20 
       2
x'= 10

x"= 16 - 4 
           2
x"= 12 
        2

x"= 6

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

y'= 16 - x'
y'= 16 - 10
y'= 6

y"= 16 - x"
y"= 16 - 6
y"= 10

Resposta: As dimensões desta quadra de tênis são 10 cm e 6 cm.

Questão 5)

{x - y= 1
{x² + y²= 5

I) Primeiramente, isolaremos x na primeira equação

x - y= 5

x= 1 + y

II) Substituiremos o valor de x na segunda equação

(1 + y)² + y²= 5

1 +2y + y² + y²= 5

2y² + 2y + 1= 5

2y² + 2y + 1 - 5= 0

2y² + 2y - 4= 0 (dividiremos os dois lados da equação por dois para facilitar os cálculos)

y²+ y -  2= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.

y² + y - 2=0

Coeficientes da equação

a= 1

b= 1

c= -2

Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(1)² - 4 • 1 • (-2)

∆= 1 + 8

∆= 9

y= -b ± √∆ 

         2a

y= -(1) ± √9  

          2 • 1

y= -1 ± 3   

         2

y'= -1 + 3 

          2

y'=  2 

       2

y'= 1

y''= -1 - 3 

          2

y"= -4 

        2

y"= -2

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'= 1 + y'

x'= 1 + 1

x'= 2

x"= 1 + y"

x"= 1 + (- 2)

x"= 1 - 2

x"= -1

Resposta: O sistema apresenta duas soluções reais: (2, 1), (-1, -2).

Questão 6)

I) Primeiramente montaremos o sistema com base nos dados que o problema forneceu e com alguns conceitos básicos.

Pelo teorema de Pitágoras:

x² + y² = 13²

x² + y²= 169

Sabendo o perímetro do triângulo e que a hipotenusa tem 13 cm. A soma x + y é:

x + y + 13= 30

x+ y= 30 - 13

x+ y= 17

Montando o sistema:

{x + y= 17

{x² + y²=169

I) Primeiramente, isolaremos x na primeira equação

x + y= 17

x= 17 - y

II) Substituiremos o valor de x na segunda equação

(17 - y)² + y²= 169

289 - 34y + y² + y²= 169

2y² - 34y + 289= 169

2y² - 34y + 289 - 169= 0

2y² - 34y + 120= 0 (dividiremos os dois lados da equação por dois para facilitar os cálculos)

y² - 17 y + 60= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.

y² - 17y + 60=0

Coeficientes da equação

a= 1

b= -17

c= 60

Discriminante:
∆=b² - 4ac

∆=(-17)² - 4 • 1 • 60

∆= 289 - 240

∆= 49

y= -b ± √∆ 

         2a

y= -(-17) ± √49  

           2 • 1

y= 17 ± 7   

         2

y'= 17 + 7 

          2

y'=  24 

        2

y'= 12

y''= 17 - 7 

          2

y"= 10 

        2

y"= 5

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'= 17 - y'

x'= 17 - 12

x'= 5

x"= 17 - y"

x"= 17 - 5

x"= 12

*OBS: Como o enunciado diz que x < y, temos que x= 5 cm e y= 12 cm.

V) Como o enunciado também exige o valor da área do triângulo, iremos calculá - lo.

Área= x • y 

              2

Área=  5 • 12 

               2

Área= 60 

            2

Área= 30 cm²

Resposta: A área do triângulo mede 30 cm².

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/

2-https://www.infoescola.com/matematica/sistemas-de-equacoes-de-2o-grau/

3-http://matematicaseriada.blogspot.com/2014/04/sistemas-de-equacoes-do-2-grau.html

4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm

5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-2-grau.htm

6-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-sistemas-equacoes-1-o-2-o-grau.htm

7-https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_15.php

8-http://aprendendomatematica2.blogspot.com/2010/07/sistema-de-equacao-do-2-grau-com-duas.html
9-http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0301.htm