Racionalização de denominadores

Introdução:

A racionalização de denominadores é um processo utilizado para tornar um denominador irracional em um denominador racional. Esta técnica é utilizada porque o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor pouco preciso.
Lembrando-se de que quando multiplicamos o numerador e denominador de uma fração por um mesmo valor, teremos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam o mesmo valor.
A racionalização de denominadores segue o mesmo princípio, só que o número escolhido para multiplicar o denominador e numerador da fração em questão é chamado de conjugado, ou racionalizante. Portanto, a racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior com denominador irracional que possuísse um ou mais radicais.

Fator racionalizante e principais casos de racionalização:

Fator racionalizante é um número que, quando multiplicado com um número irracional, torna este último um número racional, ou seja, sem raiz.

Os principais casos de racionalização são

-Primeiro caso: O denominador é uma raiz quadrada:

   1   =   1    •    √3  =  √3  
  √3      √3        √3       √3

* O fator racionalizante de √a é √a, pois √a • √a= a

-Segundo caso: O denominador é um radical cujo índice é diferente de 2.

   2   =    2    •   3√(7)²  = 2 • 3√(7)² 

 3√7      3√7       3√(7)²          7

*O fator racionalizante de n√[(a)^m] é n√[(a)^n - m]

-Terceiro caso: O denominador é a soma, ou diferença, de dois termos.

      5      =       5        •  (3 - √3)  =  5 (3 - √3)  =   5 (3 - √3)  
 (3 + √3)    (3 + √3)      (3 - √3)        3² - (√3)²            6

* O fator racionalizante, ou conjugado, de a + √b é a - √b

A seguir, alguns outros fatores racionalizantes, de acordo com o tipo de denominador

* O fator racionalizante, ou conjugado, de √a + √b é √a - √b
* O fator racionalizante, ou conjugado, de √a - √b é √a + √b
* O fator racionalizante, ou conjugado, de √a + b é √a - b

Dominando o conhecimento:

Questão 1) CEFET/RJ-2015 Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?

a) 1,1

b) 1,2

c) 1,3

d) 1,4

Questão 2) IFCE 2017- Aproximando os valores de √5 e √3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de 1/ (√5 + √3) até a segunda casa decimal, obtemos:

a) 1,98

b) 0,96

c) 3,96

d) 0,48

e) 0,25

Questão 3) Racionaliza a expressão: 1/(6 +√3)

Resoluções:

Questão 1)

I) Primeiramente, sabemos que m corresponde a média aritmética de 1, 2, 3, 4 e 5.

m= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 

                    5

m=   15  

          5

m= 3

II) Sabendo o valor de m, basta substituí-lo na expressão.

Resposta: Item d) 1,4.

Questão 2)

I) Primeiramente, iremos racionalizar a expressão para facilitar os cálculos.

       1         •   (√5 - √3)   =    (√5 - √3)     =  (√5 - √3)         

 (√5 + √3)      (√5 - √3)        (√5)² - (√3 )²           2

II) Agora, iremos utilizar os valores de √5 e √3 para calcular o valor aproximado desta expressão.

  (√5 - √3)   =  2,23 - 1,73  = 0,50 = 0,25

        2                      2               2

Resposta: Item e) 0,25.

Questão 3)

*Basicamente, só precisamos aplicar a racionalização de denominadores para tornar o denominador desta fração racional.

       1       =        1        •  (6 +√3) =    (6 + √3)   =    (6 +√3)  

  (6 -√3)        (6 -√3)       (6 +√3)        6² - (√3)²           3

Referências:

1-https://matematicabasica.net/racionalizacao-de-denominadores/
2-https://www.somatematica.com.br/fundam/radiciacao12.php
3-https://www.todamateria.com.br/racionalizacao-de-denominadores/
4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
5-https://www.todamateria.com.br/radiciacao-exercicios/
6-https://files.comunidades.net/profjosecarlos/Racionalizacao_de_denominadores.pdf

Desafios de Matemática 2.0

Exercícios: 

Questão 1) (Colégio Naval) A quantidade de soluções reais e distintas da equação
3x³ - √(33x³ +  97)= 5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6

Questão 2) (Colégio Naval) Quantas raízes reais tem a equação √(x + 20)= x  
a) Nenhuma                                                                                           
b) Uma               
c) Duas, as quais são positivas  
d) Duas, as quais são  negativas
e) Duas, as quais têm sinais opostos                          

Questão 3) (Colégio Naval)  Qual é a soma dos valores reais de x que satisfazem a equação
x² - 3x + 1 + (x² - 3x + 2)^-1= 1  
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Questão 4) (Colégio Naval)  Qual é a soma das raízes quadradas das raízes da do 2º  grau
 x² - 6x + 2 = 0?
a)√(6 + 2√2)     
b)√(6 + 2√3)                             
c)√(3 + 2√2)                    
d)√(3 + 2√3)                         
e)√(3 + 3√2)                                        

Questão 5) (Colégio Naval) Qual é a solução, no conjunto dos números reais, da equação
√(1- x)/2= x?
a) x= 1/2
b)x= -1
c)x= 1
d)x= -1 ou x= 1/2
e)x= 1 ou x= -1/2    

Resoluções:

Questão 1)
I) Fazendo y= 3x³, desenvolvemos a seguinte igualdade:
y - √(11y +  97)= 5
y - 5=  √(11y + 97)

II) Elevando os membros da equação:
(y - 5)²= [√(11y + 97)]²
y² - 10y + 25= 11y + 97        
y² - 10y - 11y + 25 - 97= 0
y² - 21y - 72= 0

III) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:
∆=b² - 4ac
∆=(-21)² - 4 • 1 • (-72)
∆= 441 + 288
∆= 729

y = 21 ± √729   = 21 ± 27                                                      
         2 • 1                2
y'= (21 + 27)/2= 24
y"=(21 - 27)/2= -3

IV) Verificando as duas raízes na primeira equação, percebemos que apenas y' =24 satisfaz a equação.

V) Retornando a substituição:
3x³= y  
3x³= 24
x³= 24/3
x³= 8
x=3√8  
x= 2

Resposta: Item a.                                                                      


Questão 2)
I) Primeiramente, iremos elevar ambos os  membros da igualdade ao quadrado
x=√(x + 20)    
x²=[√(x + 20)]²         
x²= x + 20
x² - x - 20= 0

II) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:                                           
∆=b² - 4ac       
∆=(-1)² - 4 • 1 • (-20)
∆= 1 + 80
∆= 81

x= 1 ± √81            
         2
x= 1 ± 9               
        2
x'= (1 + 9)/2= 5
x"=(1 - 9)/2= -4

III) Verificando as raízes
*Primeira raiz
x=√(x + 20)                      
5=√(5 + 20)         
5=√25 (verdadeira)

*Segunda raiz        
x=√(x + 20)
-4=√(-4 + 20)   
-4= √16  
-4= 4 (falsa)

Resposta: Item b.                                                                                                   

Questão 3)
 
I) Fazendo y=x² - 3x + 1, desenvolvemos a seguinte igualdade:
x² - 3x + 1 + (x² - 3x + 2)^-1= 1                                                                                                        
y + ( y + 1)^ (-1)=  1
y +    1   =  1                                                                                                                               
       y + 1

II) Reduziremos a igualdade para o mesmo denominador e a resolveremos:
 y(y+1) + 1 =  y + 1                        
y + 1 

y² + y + 1= y + 1
y²  + y - y  + 1 - 1= 0
y²= 0  =>  y= 0 

III) Retornando a substituição:    
x²- 3x + 1= y
x² - 3x + 1= 0

IV)Visto que o problema exige saber a soma das raízes, utilizaremos as relações de Girard para determiná-la.
x' + x"= - b/a
x' + x"= - (-3/1)
x' + x"= 3

Resposta: Item d

Questão 4) 
I) Primeiramente, resolveremos a equação para determinamos as suas raízes

x² - 6x + 2= 0
∆=b² - 4ac       
∆=(-6)² - 4 • 1 • (2)
∆= 36 - 8
∆= 28

x=  6 ± √28 =  6 ± 2√7                                     
        2              2
x'= (6 + 2√7)/2= 3 + √7
x"= (6 - 2√7)/2= 3 - √7    

II) Como seria muito complicado somar  as  raízes quadradas destas raízes diretamente, utilizaremos o seguinte artifício . 
* Sejam x' e x" as raízes da equação, temos que a soma delas é 6 e o produto das mesmas é 2.
x' + x"= -b/a=  -(-6)/1
x' + x"= 6

x' • x"= c/a= 2/1
x' • x"= 2

* O que queremos  é a soma das raízes quadradas das raízes, √x' +√x". Vamos conseguí-la ao elevarmos esta soma ao quadrado.
(√x' +√x")^2= x' + 2√(x' • x") + x"= x' + x" +  2√(x' • x")

* Sendo  x' + x"= 6 e x' • x"= 2
(√x' +√x")²=x' + x" +  2√(x' • x")
(√x' +√x")²= 6 + 2√2
 (√x' +√x")=  √(6 + 2√2)

Resposta: Item a.                                  

Questão 5)                                                                                                                                                  
I) Primeiramente, iremos elevar ambos os membros da igualdade ao quadrado            
x=√(1- x)/2     
x²= [√(1- x)/2 ]²
x²= 1 - x  
         2   
2x²= 1 - x 
2x² + x - 1= 0

II) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:                                           
∆=b² - 4ac       
∆=(1)² - 4 • 2 • (-1)
∆= 1 + 8
∆= 9    

x= -1 ± √9                     
       2 • 2  
x= -1 ± 3                  
        4  
x'= (-1 + 3)/4=2/4= 1/2
x"=(-1 - 3)/4= -1

III) Verificando as duas raízes, percebemos que apenas x' =1/2 satisfaz a equação
x=√(1- x)/2.

Resposta: Item a

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.                               
                                               

Referências:

1- http://www.pcdamatematica.com/wp-content/uploads/N%C3%8DVEL-II.pdf
2-https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=41456 
3-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/438/matematica_equacoes_segundo_grau_exercicios.pdf