Exercícios:
Questão 1) (Colégio Naval) A quantidade de soluções reais e distintas da equação3x³ - √(33x³ + 97)= 5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
Questão 2) (Colégio Naval) Quantas raízes reais tem a equação √(x + 20)= x
a) Nenhuma
b) Uma
c) Duas, as quais são positivas
d) Duas, as quais são negativas
e) Duas, as quais têm sinais opostos
Questão 3) (Colégio Naval) Qual é a soma dos valores reais de x que satisfazem a equação
x² - 3x + 1 + (x² - 3x + 2)^-1= 1
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Questão 4) (Colégio Naval) Qual é a soma das raízes quadradas das raízes da do 2º grau
x² - 6x + 2 = 0?
a)√(6 + 2√2)
b)√(6 + 2√3)
c)√(3 + 2√2)
d)√(3 + 2√3)
e)√(3 + 3√2)
Questão 5) (Colégio Naval) Qual é a solução, no conjunto dos números reais, da equação
√(1- x)/2= x?
a) x= 1/2
b)x= -1
c)x= 1
d)x= -1 ou x= 1/2
e)x= 1 ou x= -1/2
Resoluções:
Questão 1)I) Fazendo y= 3x³, desenvolvemos a seguinte igualdade:
y - √(11y + 97)= 5
y - 5= √(11y + 97)
II) Elevando os membros da equação:
(y - 5)²= [√(11y + 97)]²
y² - 10y + 25= 11y + 97
y² - 10y - 11y + 25 - 97= 0
y² - 21y - 72= 0
III) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:
∆=b² - 4ac
∆=(-21)² - 4 • 1 • (-72)
∆= 441 + 288
∆= 729
y = 21 ± √729 = 21 ± 27
2 • 1 2
y'= (21 + 27)/2= 24
y"=(21 - 27)/2= -3
IV) Verificando as duas raízes na primeira equação, percebemos que apenas y' =24 satisfaz a equação.
V) Retornando a substituição:
3x³= y
3x³= 24
x³= 24/3
x³= 8
x=3√8
x= 2
Resposta: Item a.
Questão 2)
I) Primeiramente, iremos elevar ambos os membros da igualdade ao quadrado
x=√(x + 20)
x²=[√(x + 20)]²
x²= x + 20
x² - x - 20= 0
II) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:
∆=b² - 4ac
∆=(-1)² - 4 • 1 • (-20)
∆= 1 + 80
∆= 81
x= 1 ± √81
2
x= 1 ± 9
2
x'= (1 + 9)/2= 5
x"=(1 - 9)/2= -4
III) Verificando as raízes
*Primeira raiz
x=√(x + 20)
5=√(5 + 20)
5=√25 (verdadeira)
*Segunda raiz
x=√(x + 20)
-4=√(-4 + 20)
-4= √16
-4= 4 (falsa)
Resposta: Item b.
Questão 3)
I) Fazendo y=x² - 3x + 1, desenvolvemos a seguinte igualdade:
x² - 3x + 1 + (x² - 3x + 2)^-1= 1
y + ( y + 1)^ (-1)= 1
y + 1 = 1
y + 1
II) Reduziremos a igualdade para o mesmo denominador e a resolveremos:
y(y+1) + 1 = y + 1
y + 1
y² + y + 1= y + 1
y² + y - y + 1 - 1= 0
y²= 0 => y= 0
III) Retornando a substituição:
x²- 3x + 1= y
x² - 3x + 1= 0
IV)Visto que o problema exige saber a soma das raízes, utilizaremos as relações de Girard para determiná-la.
x' + x"= - b/a
x' + x"= - (-3/1)
x' + x"= 3
Resposta: Item d
Questão 4)
I) Primeiramente, resolveremos a equação para determinamos as suas raízes
x² - 6x + 2= 0
∆=b² - 4ac
∆=(-6)² - 4 • 1 • (2)
∆= 36 - 8
∆= 28
x= 6 ± √28 = 6 ± 2√7
2 2
x'= (6 + 2√7)/2= 3 + √7
x"= (6 - 2√7)/2= 3 - √7
II) Como seria muito complicado somar as raízes quadradas destas raízes diretamente, utilizaremos o seguinte artifício .
* Sejam x' e x" as raízes da equação, temos que a soma delas é 6 e o produto das mesmas é 2.
x' + x"= -b/a= -(-6)/1
x' + x"= 6
x' • x"= c/a= 2/1
x' • x"= 2
* O que queremos é a soma das raízes quadradas das raízes, √x' +√x". Vamos conseguí-la ao elevarmos esta soma ao quadrado.
(√x' +√x")^2= x' + 2