Desafios de Matemática 9.0

Questão 1) (ITA - 1985) Dada a equação 5^2x + 3^2x- 15^x= 0, podemos afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça

b) x= log₃ 5 é a solução desta equação.

c) x= log₅ 3 é a solução desta equação.

d)x=log₅15 é a solução desta equação.

e)x= log₅ 15 é a solução desta equação.

Questão 2) (ITA-2000) A soma das raízes positivas 4^{x^2}- 5 • 2^{x^2} + 4= 0 vale:

a) 2

b) 5

c) √2

d) 1

e) √3

Questão 3)(ITA-1992) Seja α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]. O conjunto solução da desigualdade  

2^{sen x} ≤ (2/3)^α no intervalo [0, 2π) é:

a) [0, π/3] U [2π/3,2π)

b)[0, 7π/6] U [5π/3, 2π)

c) [0, π/4] U [5π/3, 2π)

d) [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Questão 4) (ITA-2008) Para x ∈ IR, o conjunto solução da equação |5^3x – 5^{2x + 1} + 4•5^x|= |5^x -1| é:

a) S= {0, 2 ±√5, 2 ±√3}

b) S= {0,1,log₅ (2 +√5)}

c) S= {0,1/2 • log₅ (3),log₅ (√2/2)}

d) S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

e) A única solução é x=0

Resoluções:

Questão 1)

I) Dividindo ambos os membros da equação dada por 15^x:

Obs:  15^x= 3^x • 5^x

(5^2x + 3^2x- 15^x= 0)/(15^x)

(5^x•5^x + 3^x•3^x - 3^x • 5^x= 0)/(3^x • 5^x)

(5/3)^x + (3/5)^x -1= 0

II) Chamando y=(5/3)^x, teremos:

y+ 1/y - 1= 0

III) Multiplicando ambos os membros por y:

y² +1 -y= 0

y²- y + 1= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-1)² - 4 • 1 • 1= 1 - 4

∆= -3 (equação não possui soluções reais)

IV) Visto que y não possui soluções reais, x também não possuíra. Assim sendo, não existe solução real que satisfaça a equação.

Resposta: Item a

   

Questão 2)

I) Ajustando alguns termos da equação:

 4^{x^2}- 5•2^{x^2} + 4= 0 

2^{2x^2}- 5•2^{x^2} + 4

II) Chamando y=2^{x^2}, teremos:

y²- 5y + 4= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-5)² - 4 • 1 • 4= 25 - 16

∆= 9

y=  5 ±  √9   =   5 ± 3  

         2•1              2

y'= (5 + 3)/2= 4

y"= (5 - 3)/2= 1

III) Visto que y= 2^{x^2}, teremos:

*Primeiro caso

y'= 4 =>  2^{x^2}=4 =>2^{x^2}=2² 

x² = 2 => x±√2

* Segundo caso

y'= 1 =>  2^{x^2}=1 =>2^{x^2}=2⁰ 

x² = 0=> x=0 

IV) A única raiz positiva da equação é √2, visto que as demais são iguais a zero ou negativas. Assim sendo, a soma das raízes positivas é √2.

Resposta: Item c.

Questão 3)

I) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/log (2/3)]

II) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

*log 2= log_2/3 (2)/log_2/3 (10)

*log2/3= log2/3(2/3)/log_2/3 (10)

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))/(log2/3(2/3)/log_2/3 (10))]

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))] • [log_2/3 (10)/1]

α= (1/2) • log_2/3 (2)

α= log_2/3 (√2)

III) Substituindo α na desigualdade dada:

2^{sen x} ≤ (2/3)^α 

2^{sen x} ≤ (2/3)^log_2/3 (√2)

2^{sen x} ≤ √2

2^{sen x} ≤ 2^1/2 => sen x ≤ 1/2

IV) Resolvendo a inequação trigonométrica no círculo trigonométrico (solução na imagem abaixo).

* A parte pintada do círculo representa a solução da equação
-Gente, sei que o círculo não tá perfeito, mas pensem que tá (kkkkk).

A partir da solução apresentada no círculo trigonométrico é dada por:

S=  [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Resposta: Item d

Questão 4)

I) Chamando y=5^x, teremos:

|5^3x – 5^{2x + 1} + 4• 5^x|= |5^x -1|

|5^3x – 5^2x • 5 + 4• 5^x|= |5^x -1|

|y³ – 5y² + 4y|= |y -1|

II) Visto que a equação é modular teremos duas equações para resolver:

* Primeiro caso

y³ – 5y² + 4y= y -1

y³ – 5y² + 3y + 1= 0

III) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontramos que:

y= 1 

y³ – 5y² + 3y + 1= (y -1) (y² - 4y - 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (-1)= 16 + 4

∆= 20

y=  4 ± √20   =   4 ± 2√5  

          2                  2

y=  2 ±√5 

OBS: y"=2 - √5  não é uma solução da equação, pois y= 5^x=> y > 0

IV) Segundo caso:

y³ – 5y² + 4y= -y + 1

y³ – 5y² + 5y - 1= 0

V) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos novamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontraremos que:

y= 1 (essa raiz já foi encontrada antes)

y³ – 5y² + 5y - 1= (y -1) (y² - 4y + 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (1)= 16 - 4

∆= 12

y=  4 ± √12   =   4 ± 2√3  

          2                   2

y=  2 ±√3 

As raízes encontradas são {1, 2 +√5, 2 +√3, 2 - √3)

VII) Sendo y=5^x, teremos:

 5^x= 1 => x= 0 

5^x= 2 + √5   => x= log₅ (2 +√5)

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 +√3) 

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 - √3) 

VIII) Resolvidas as equações desenvolvidas, temos o seguinte conjunto solução para a equação dada:

S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

Resposta: Item d

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. 

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia. 

Desafios de Matemática 2.0

Exercícios: 

Questão 1) (Colégio Naval) A quantidade de soluções reais e distintas da equação
3x³ - √(33x³ +  97)= 5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6

Questão 2) (Colégio Naval) Quantas raízes reais tem a equação √(x + 20)= x  
a) Nenhuma                                                                                           
b) Uma               
c) Duas, as quais são positivas  
d) Duas, as quais são  negativas
e) Duas, as quais têm sinais opostos                          

Questão 3) (Colégio Naval)  Qual é a soma dos valores reais de x que satisfazem a equação
x² - 3x + 1 + (x² - 3x + 2)^-1= 1  
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Questão 4) (Colégio Naval)  Qual é a soma das raízes quadradas das raízes da do 2º  grau
 x² - 6x + 2 = 0?
a)√(6 + 2√2)     
b)√(6 + 2√3)                             
c)√(3 + 2√2)                    
d)√(3 + 2√3)                         
e)√(3 + 3√2)                                        

Questão 5) (Colégio Naval) Qual é a solução, no conjunto dos números reais, da equação
√(1- x)/2= x?
a) x= 1/2
b)x= -1
c)x= 1
d)x= -1 ou x= 1/2
e)x= 1 ou x= -1/2    

Resoluções:

Questão 1)
I) Fazendo y= 3x³, desenvolvemos a seguinte igualdade:
y - √(11y +  97)= 5
y - 5=  √(11y + 97)

II) Elevando os membros da equação:
(y - 5)²= [√(11y + 97)]²
y² - 10y + 25= 11y + 97        
y² - 10y - 11y + 25 - 97= 0
y² - 21y - 72= 0

III) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:
∆=b² - 4ac
∆=(-21)² - 4 • 1 • (-72)
∆= 441 + 288
∆= 729

y = 21 ± √729   = 21 ± 27                                                      
         2 • 1                2
y'= (21 + 27)/2= 24
y"=(21 - 27)/2= -3

IV) Verificando as duas raízes na primeira equação, percebemos que apenas y' =24 satisfaz a equação.

V) Retornando a substituição:
3x³= y  
3x³= 24
x³= 24/3
x³= 8
x=3√8  
x= 2

Resposta: Item a.                                                                      


Questão 2)
I) Primeiramente, iremos elevar ambos os  membros da igualdade ao quadrado
x=√(x + 20)    
x²=[√(x + 20)]²         
x²= x + 20
x² - x - 20= 0

II) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:                                           
∆=b² - 4ac       
∆=(-1)² - 4 • 1 • (-20)
∆= 1 + 80
∆= 81

x= 1 ± √81            
         2
x= 1 ± 9               
        2
x'= (1 + 9)/2= 5
x"=(1 - 9)/2= -4

III) Verificando as raízes
*Primeira raiz
x=√(x + 20)                      
5=√(5 + 20)         
5=√25 (verdadeira)

*Segunda raiz        
x=√(x + 20)
-4=√(-4 + 20)   
-4= √16  
-4= 4 (falsa)

Resposta: Item b.                                                                                                   

Questão 3)
 
I) Fazendo y=x² - 3x + 1, desenvolvemos a seguinte igualdade:
x² - 3x + 1 + (x² - 3x + 2)^-1= 1                                                                                                        
y + ( y + 1)^ (-1)=  1
y +    1   =  1                                                                                                                               
       y + 1

II) Reduziremos a igualdade para o mesmo denominador e a resolveremos:
 y(y+1) + 1 =  y + 1                        
y + 1 

y² + y + 1= y + 1
y²  + y - y  + 1 - 1= 0
y²= 0  =>  y= 0 

III) Retornando a substituição:    
x²- 3x + 1= y
x² - 3x + 1= 0

IV)Visto que o problema exige saber a soma das raízes, utilizaremos as relações de Girard para determiná-la.
x' + x"= - b/a
x' + x"= - (-3/1)
x' + x"= 3

Resposta: Item d

Questão 4) 
I) Primeiramente, resolveremos a equação para determinamos as suas raízes

x² - 6x + 2= 0
∆=b² - 4ac       
∆=(-6)² - 4 • 1 • (2)
∆= 36 - 8
∆= 28

x=  6 ± √28 =  6 ± 2√7                                     
        2              2
x'= (6 + 2√7)/2= 3 + √7
x"= (6 - 2√7)/2= 3 - √7    

II) Como seria muito complicado somar  as  raízes quadradas destas raízes diretamente, utilizaremos o seguinte artifício . 
* Sejam x' e x" as raízes da equação, temos que a soma delas é 6 e o produto das mesmas é 2.
x' + x"= -b/a=  -(-6)/1
x' + x"= 6

x' • x"= c/a= 2/1
x' • x"= 2

* O que queremos  é a soma das raízes quadradas das raízes, √x' +√x". Vamos conseguí-la ao elevarmos esta soma ao quadrado.
(√x' +√x")^2= x' + 2√(x' • x") + x"= x' + x" +  2√(x' • x")

* Sendo  x' + x"= 6 e x' • x"= 2
(√x' +√x")²=x' + x" +  2√(x' • x")
(√x' +√x")²= 6 + 2√2
 (√x' +√x")=  √(6 + 2√2)

Resposta: Item a.                                  

Questão 5)                                                                                                                                                  
I) Primeiramente, iremos elevar ambos os membros da igualdade ao quadrado            
x=√(1- x)/2     
x²= [√(1- x)/2 ]²
x²= 1 - x  
         2   
2x²= 1 - x 
2x² + x - 1= 0

II) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:                                           
∆=b² - 4ac       
∆=(1)² - 4 • 2 • (-1)
∆= 1 + 8
∆= 9    

x= -1 ± √9                     
       2 • 2  
x= -1 ± 3                  
        4  
x'= (-1 + 3)/4=2/4= 1/2
x"=(-1 - 3)/4= -1

III) Verificando as duas raízes, percebemos que apenas x' =1/2 satisfaz a equação
x=√(1- x)/2.

Resposta: Item a

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.                               
                                               

Referências:

1- http://www.pcdamatematica.com/wp-content/uploads/N%C3%8DVEL-II.pdf
2-https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=41456 
3-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/438/matematica_equacoes_segundo_grau_exercicios.pdf