quinta-feira, 8 de outubro de 2020

Desafios de Matemática 9.0

Questão 1) (ITA - 1985) Dada a equação 52x + 32x- 15x= 0, podemos afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça
b) x= log3 5 é a solução desta equação.
c) x= log5 é a solução desta equação.
d)x=log515 é a solução desta equação.
e)x= log5 15 é a solução desta equação.

Questão 2) (ITA-2000) A soma das raízes positivas 4x^2- 5 • 2x^2 + 4= 0 vale:
a) 2
b) 5
c) 2
d) 1
e) 3


Questão 3)(ITA-1992) Seja α= (1/2)  [log 2/(log 2- log 3)]. O conjunto solução da desigualdade  
2sen x  (2/3)α no intervalo [0, 2π) é:
a) [0, π/3] U [2π/3,2π)
b)[0, 7π/6] U [5π/3, 2π)
c) [0, π/4] U [5π/3, 2π)
d) [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Questão 4) (ITA-2008) Para ∈ IR, o conjunto solução da equação |53x – 52x + 1 + 45x||5x -1é:
a) S= {0, 2 ±5, 2 ±3}
b) S= {0,1,log5 (2 +5)}
c) S= {0,1/2  log5 (3),log5 (2/2)}
d) S= {0,log5 (2 +5),log5 (2 +3), log5 (2 -3)}
e) A única solução é x=0


Resoluções:

Questão 1)
I) Dividindo ambos os membros da equação dada por 15x:
Obs:  15x3x  5x

(52x + 32x- 15x= 0)/(15x)
(5x53x33 5x= 0)/(3 5x)

(5/3)x + (3/5)x -1= 0

II) Chamando y=(5/3)x, teremos:

y+ 1/y - 1= 0

III) Multiplicando ambos os membros por y:

y2 +1 -y= 0
y2- y + 1= 0

* Resolvendo:
∆=b² - 4ac
∆=(-1)² - 4 • 1 • 1= 1 - 4
∆= -3 (equação não possui soluções reais)

IV) Visto que y não possui soluções reais, x também não possuíra. Assim sendo, não existe solução real que satisfaça a equação.

Resposta: Item a
   
Questão 2)
I) Ajustando alguns termos da equação:
 4x^2- 52x^2 + 4= 0 
22x^2- 52x^2 + 4

II) Chamando y=2x^2, teremos:

y²- 5y + 4= 0
* Resolvendo:
∆=b² - 4ac
∆=(-5)² - 4 • 1 • 4= 25 - 16
∆= 9

y=  5 ±  √9     5 ± 3  
         2•1              2
y'= (5 + 3)/2= 4
y"= (5 - 3)/2= 1

III) Visto que y= 2x^2, teremos:
*Primeiro caso
y'= 4 =>  2x^2=4 =>2x^2=2² 
x² = 2 => x±2
* Segundo caso
y'= 1 =>  2x^2=1 =>2x^2=2
x² = 0=> x=0 

IV) A única raiz positiva da equação é 2, visto que as demais são iguais a zero ou negativas. Assim sendo, a soma das raízes positivas é 2.

Resposta: Item c.

Questão 3)
I) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:
α= (1/2)  [log 2/(log 2- log 3)]
α= (1/2)  [log 2/(log 2- log 3)]
α= (1/2)  [log 2/log (2/3)]

II) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:
*log 2= log2/3 (2)/log2/3 (10)
*log2/3= log2/3(2/3)/log2/3 (10)
α= (1/2)  [(log2/3 (2)/log2/3 (10))/(log2/3(2/3)/log2/3 (10))]
α= (1/2) • [(log2/3 (2)/log2/3 (10))] • [log2/3 (10)/1]
α= (1/2)  log2/3 (2)
α= log2/3 (2)

III) Substituindo α na desigualdade dada:
2sen x  (2/3)α 
2sen x ≤ (2/3)^log2/3 (2)
2sen x  2
2sen x  21/2 => sen x ≤ 1/2


IV) Resolvendo a inequação trigonométrica no círculo trigonométrico (solução na imagem abaixo).

* A parte pintada do círculo representa a solução da equação
-Gente, sei que o círculo não tá perfeito, mas pensem que tá (kkkkk).

A partir da solução apresentada no círculo trigonométrico é dada por:
S=  [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Resposta: Item d

Questão 4)
I) Chamando y=5x, teremos:
|53x – 52x + 1 + 4• 5x||5x -1|
|53x – 52x • 5 + 4• 5x||5x -1|
|y3 – 5y2 + 4y||y -1|

II) Visto que a equação é modular teremos duas equações para resolver:
* Primeiro caso
y3 – 5y2 + 4y= y -1
y3 – 5y2 + 3y + 1= 0

III) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontramos que:





y= 1 
y3 – 5y2 + 3y + 1= (y -1) (y² - 4y - 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:
∆=b² - 4ac
∆=(-4)² - 4 • 1 • (-1)= 16 + 4
∆= 20

y=  4 ± √20     4 ± 2√5  
          2                  2
y=  2 ±

OBS: y"=2 5  não é uma solução da equação, pois y= 5x=> y > 0

IV) Segundo caso:
y3 – 5y2 + 4y= -y + 1
y3 – 5y2 + 5y - 1= 0

V) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos novamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontraremos que:




y= 1 (essa raiz já foi encontrada antes)

y3 – 5y2 + 5y - 1= (y -1) (y² - 4y + 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:
∆=b² - 4ac
∆=(-4)² - 4 • 1 • (1)= 16 - 4
∆= 12

y=  4 ± √12     4 ± 2√3  
          2                   2
y=  2 ±

As raízes encontradas são {1, 2 +5, 2 +3, 2 3)
VII) Sendo y=5x, teremos:
 5x= 1 => x= 0 
5x2 5   => x= log5 (2 +5)
5x2 3  => x= log5 (2 +3) 
5x2 3  => x= log5 (2 3) 

VIII) Resolvidas as equações desenvolvidas, temos o seguinte conjunto solução para a equação dada:

S= {0,log5 (2 +5),log5 (2 +3), log5 (2 -3)}

Resposta: Item d

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. 
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia. 

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