Questão 1- (ITA) Considere o triângulo ABC de lados a = BC b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB , β = ABC e γ = BCA . Sabendo-se que a equação x² − 2bx cos α + b² − a² = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que:
A) α = 90°.
B) β = 60°.
C) γ = 90°.
D) O triângulo é retângulo apenas se α = 45°.
E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa
Questão 2- (Fatec-SP) No triângulo ABC da figura tem-se que BM é a mediana relativa ao lado AC , o ângulo BÂC é reto, α é a medida do ângulo M Bˆ C e β é a medida do ângulo A Bˆ M
Sabendo que BC = 13 e AB = 5, então tg α é igual a
A) 30/97
B) 47/90
C) 30/49
D) 6/5
E) 12/5
Fonte:http://www.vestiprovas.com.br/questao.php?questao=fatec-sp-2008-2-22-matematica-geometria-plana-8095
Questão 3) (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b, √(a² + ab + b²), quanto mede o maior ângulo do triângulo?
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
Questão 1- Resolução:
I) O triângulo descrito é representado pela seguinte figura:
II) Visto que a equação apresenta duas raízes idênticas iguais c, ∆=0. Com isso teremos:
∆= b² - 4ac= 0
∆= (2b • cos α )² - 4 • 1 • (b² − a²)= 0
∆= 4b² • cos² α - 4b² + 4a²= 0
4a²= 4b² - 4b² • cos² α
Simplificando a equação
a²= b² - b² • cos² α
a²= b²(1 - cos² α)
a²= b² • sen² α
a= b • sen α (eq.i)
III) Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação dada, teremos:
c=[ -(- 2b cos α) ± 0]/2
c= (2b cos α)/2
c= b • cos α (eq.ii)
IV) Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo da figura acima, teremos:
b²= a² + c² - 2ac • cos β (eq.iii)
Substituindo eq.i e ii em eq.iii, teremos:
b²= (b² • sen² α) + (b² • cos² α) - 2 • (b • sen α) • (b • cos α) • cos β (eq.iii)
b²= (b² • sen² α) + (b² • cos² α) - b² • sen 2α • cos β
Simplificando a expressão
1= sen² α + cos² α - sen 2α • cos β
1= 1 - sen 2α • cos β
-sen 2α • cos β= 0
sen 2α • cos β= 0
V) A partir da equação obtida, temos
sen 2α= 0 => α= 0 (não serve)
ou
cos β= 0 => β= 90°
Visto que β= 90°, b é hipotenusa.
Resposta: Item E
Resolução da questão 2:
I) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, teremos:
13²= AC² + 5² => AC= 12
II) Aplicando trigonometria nos triângulos ABC e ABM
* No triângulo ABC
tg (α + β)= 12/5
*No triângulo ABM
AM= 6 (porque BM é mediana e divide AC em dois lados iguais)
tg β= 6/5
III) Aplicando tangente da soma de dois ângulos
tg (α + β)= tg α + tg β = 12
1 - tg α • tg β 5
5 tg α + 5tg β = 12 - 12tg α tg β
Substituindo tg β= 6/5
5 tg α + 6 = 12 - 72tg α
5
Multiplicando ambos os membros por 5
25tg α + 30= 60 - 72tg α
97tg α= 30 => tg α= 30/97
Resposta: tg α= 97/30. Item A
Resolução da questão 3:
I) Sabe-se que o maior ângulo é oposto ao maior lado. Sabendo que √(a² + ab + b²) é o maior lado do triângulo, podemos encontrar o ângulo em questão (denotado por α).
Aplicando a lei dos cossenos
[√(a² + ab + b²)]²= a² + b² - 2ab • cos α
a² + ab + b²= a² + b² - 2ab • cos α
- 2ab • cos α= ab
-2 • cos α= 1
cos α= -1/2 => α= 120° (item e)
Resposta: 120°- item e.
Agradecimentos:
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Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Estou na Olimpíada Latino Americana de Astronomia (OLAA) e estudando muito para alcançar um bom resultado. Por causa disso, reduzirei o número de postagens que farei, passando de 3 postagens por mês para apenas uma. Agradeço a compreensão de todos.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.
