Desafios de Matemática 9.0

Questão 1) (ITA - 1985) Dada a equação 5^2x + 3^2x- 15^x= 0, podemos afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça

b) x= log₃ 5 é a solução desta equação.

c) x= log₅ 3 é a solução desta equação.

d)x=log₅15 é a solução desta equação.

e)x= log₅ 15 é a solução desta equação.

Questão 2) (ITA-2000) A soma das raízes positivas 4^{x^2}- 5 • 2^{x^2} + 4= 0 vale:

a) 2

b) 5

c) √2

d) 1

e) √3

Questão 3)(ITA-1992) Seja α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]. O conjunto solução da desigualdade  

2^{sen x} ≤ (2/3)^α no intervalo [0, 2π) é:

a) [0, π/3] U [2π/3,2π)

b)[0, 7π/6] U [5π/3, 2π)

c) [0, π/4] U [5π/3, 2π)

d) [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Questão 4) (ITA-2008) Para x ∈ IR, o conjunto solução da equação |5^3x – 5^{2x + 1} + 4•5^x|= |5^x -1| é:

a) S= {0, 2 ±√5, 2 ±√3}

b) S= {0,1,log₅ (2 +√5)}

c) S= {0,1/2 • log₅ (3),log₅ (√2/2)}

d) S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

e) A única solução é x=0

Resoluções:

Questão 1)

I) Dividindo ambos os membros da equação dada por 15^x:

Obs:  15^x= 3^x • 5^x

(5^2x + 3^2x- 15^x= 0)/(15^x)

(5^x•5^x + 3^x•3^x - 3^x • 5^x= 0)/(3^x • 5^x)

(5/3)^x + (3/5)^x -1= 0

II) Chamando y=(5/3)^x, teremos:

y+ 1/y - 1= 0

III) Multiplicando ambos os membros por y:

y² +1 -y= 0

y²- y + 1= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-1)² - 4 • 1 • 1= 1 - 4

∆= -3 (equação não possui soluções reais)

IV) Visto que y não possui soluções reais, x também não possuíra. Assim sendo, não existe solução real que satisfaça a equação.

Resposta: Item a

   

Questão 2)

I) Ajustando alguns termos da equação:

 4^{x^2}- 5•2^{x^2} + 4= 0 

2^{2x^2}- 5•2^{x^2} + 4

II) Chamando y=2^{x^2}, teremos:

y²- 5y + 4= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-5)² - 4 • 1 • 4= 25 - 16

∆= 9

y=  5 ±  √9   =   5 ± 3  

         2•1              2

y'= (5 + 3)/2= 4

y"= (5 - 3)/2= 1

III) Visto que y= 2^{x^2}, teremos:

*Primeiro caso

y'= 4 =>  2^{x^2}=4 =>2^{x^2}=2² 

x² = 2 => x±√2

* Segundo caso

y'= 1 =>  2^{x^2}=1 =>2^{x^2}=2⁰ 

x² = 0=> x=0 

IV) A única raiz positiva da equação é √2, visto que as demais são iguais a zero ou negativas. Assim sendo, a soma das raízes positivas é √2.

Resposta: Item c.

Questão 3)

I) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/log (2/3)]

II) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

*log 2= log_2/3 (2)/log_2/3 (10)

*log2/3= log2/3(2/3)/log_2/3 (10)

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))/(log2/3(2/3)/log_2/3 (10))]

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))] • [log_2/3 (10)/1]

α= (1/2) • log_2/3 (2)

α= log_2/3 (√2)

III) Substituindo α na desigualdade dada:

2^{sen x} ≤ (2/3)^α 

2^{sen x} ≤ (2/3)^log_2/3 (√2)

2^{sen x} ≤ √2

2^{sen x} ≤ 2^1/2 => sen x ≤ 1/2

IV) Resolvendo a inequação trigonométrica no círculo trigonométrico (solução na imagem abaixo).

* A parte pintada do círculo representa a solução da equação
-Gente, sei que o círculo não tá perfeito, mas pensem que tá (kkkkk).

A partir da solução apresentada no círculo trigonométrico é dada por:

S=  [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Resposta: Item d

Questão 4)

I) Chamando y=5^x, teremos:

|5^3x – 5^{2x + 1} + 4• 5^x|= |5^x -1|

|5^3x – 5^2x • 5 + 4• 5^x|= |5^x -1|

|y³ – 5y² + 4y|= |y -1|

II) Visto que a equação é modular teremos duas equações para resolver:

* Primeiro caso

y³ – 5y² + 4y= y -1

y³ – 5y² + 3y + 1= 0

III) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontramos que:

y= 1 

y³ – 5y² + 3y + 1= (y -1) (y² - 4y - 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (-1)= 16 + 4

∆= 20

y=  4 ± √20   =   4 ± 2√5  

          2                  2

y=  2 ±√5 

OBS: y"=2 - √5  não é uma solução da equação, pois y= 5^x=> y > 0

IV) Segundo caso:

y³ – 5y² + 4y= -y + 1

y³ – 5y² + 5y - 1= 0

V) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos novamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontraremos que:

y= 1 (essa raiz já foi encontrada antes)

y³ – 5y² + 5y - 1= (y -1) (y² - 4y + 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (1)= 16 - 4

∆= 12

y=  4 ± √12   =   4 ± 2√3  

          2                   2

y=  2 ±√3 

As raízes encontradas são {1, 2 +√5, 2 +√3, 2 - √3)

VII) Sendo y=5^x, teremos:

 5^x= 1 => x= 0 

5^x= 2 + √5   => x= log₅ (2 +√5)

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 +√3) 

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 - √3) 

VIII) Resolvidas as equações desenvolvidas, temos o seguinte conjunto solução para a equação dada:

S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

Resposta: Item d

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. 

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.