Desafios de matemática 1.0

Desafio 1 - (ITA) O raio da base de um cone circular reto é igual a média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8
b) 8 e 6
c) 8 e 7
d) 9 e 6
e)10 e 8

Resolução:
I) De acordo com a questão, o raio da base deste cone circular reto é igual a média aritmética da altura e a geratriz do cone. Com isso, a geratriz deste cone será:

R= h + g 
         2
2R= h + g
g= 2R - h

II) Aplicando o Teorema de Pitágoras, determinaremos a relação entre a altura e o raio deste cone.

g²= h² + R²
(2R - h)²= h² + R²
4R² - 4Rh + h²= h² + R²
4R² - R² + h² - h²= 4Rh
4Rh= 3R²

h= 3R² 
      4R

h= 3R 
       4

III) Substituindo a relação entre a altura e raio deste cone, teremos
V= π R² h 
         3
π R² h= 3V
π R² h= 3 • 128π
R² h= 3 • 128
R² •  3R =  3 • 128
          4
 3R³ = 3 • 128
  4

R³= 4 • 3 • 128  
             3

R³= 4 • 128
R³= 512
R= ³√512
R= 8 m

IV) Agora que o valor do raio é conhecido, a altura deste cone será: 

h= 3R = 3  • 8
       4     4
h= 24 
      4
h= 6 m

Resposta: Item b

Desafio 2- (ITA) Num triângulo de lados a = 3 m e b = 4 m, diminuindo-se de 60° o ângulo que esses lados formam, obtém-se uma diminuição de 3 m² em sua área. Portanto, a área dos triângulo inicial é de:
a) 4 m²
b) 5 m²
c) 6 m²
d) 9 m²
e) 12 m²

Resolução:
I) A área inicial deste triângulo é dada por:

A=   a • b • sen α 
                2
2A= a • b • sen α  (equação 1)

II) A área reduzida é calculada por:

A - 3=   a • b • sen (α - 60°) 
                          2
2A - 6= a • b • sen (α - 60°) ( equação 2)

III) Substituindo a equação 1 na igualdade 2 e utilizando a= 3 m e b= 4 m.

2A - 6= a • b • sen (α - 60°)

a • b • sen α - 6= a • b • sen (α - 60°)

3 • 4 • sen α - 6= 3 • 4 • sen (α - 60°)

12 • sen α - 6= 12 • sen (α - 60°)

IV) Colocando os fatores comuns em evidência e utilizando o seno da diferença de dois arcos, teremos:

6 (2 • sen α - 1)=12 • sen (α - 60°)
-Dividindo ambos os lados por 6:

2 • sen α - 1= 2 • sen (α - 60°)

2 • sen α - 1= 2 • ( sen α • cos 60° - sen 60° • cos α)

2 • sen α - 1= 2 • (sen α/2 - √3cos α/2)

2sen α - 1= sen α - √3cos α

sen α - 1= - √3cos α

V) Elevando os membros desta igualdade ao quadrado, teremos: 

(sen α - 1)²= (- √3cos α)²

sen² α - 2sen α + 1= 3 cos² α

sen² α - 2sen α - 3 cos² α + 1= 0

sen² α - 2sen α -cos² α - 2 cos² α + 1 = 0

VI) Agora, recorreremos ao teorema fundamental da trigonometria cos² α= 1 - sen² α

sen² α - 2sen α + 1 - cos² α - 2 cos² α= 0

sen² α - 2sen α + sen² α - 2 • (1 - sen² α)= 0

2sen² α - 2sen α - 2 + 2sen² α= 0

4sen² α - 2sen α - 2= 0

*Simplificando a igualdade:

2sen² α - sen α - 1= 0

VII) Aplicando a fórmula resolutiva de uma equação do segundo grau, teremos:

∆=b² - 4ac
∆= (-1)² - 4 • 2 • (-1)
∆=1 + 8
∆= 9

sen α= -b ± √∆ 

                2a

sen α= -(-1) ± √9 
                  2 • 2
sen α= 1 ± 3 
                4

sen α'= (1 + 3)/4
sen α'= 4/4
sen α'= 1

sen α"= (1 - 3)/ 4
sen α"= -2/4 = -1/2 =>não serve, pois o ângulo em questão não pode pertencer ao terceiro, nem ao quarto quadrantes.

VII) Agora que o valor de sen α é conhecido, pode-se determinar a área do triângulo inicial.

A=   a • b • sen α 
                2

A=   3 • 4 • sen α  
               2
A=   3 • 4 • 1  
              2
A= 12/2

A= 6 m²

Resposta: Item b.

Desafio 3- ITA) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m².

Resolução:
I) Sabendo que o raio da base a altura e a geratriz deste cone formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros (r=2), podemos reescrever estes termos através da fórmula do termo geral de uma P.A (an=a1 + (n - 1) • r )
R= a1
h= a2= a1 + (2 - 1) • 2= a1 + 2
g= a3= a1 + (3 - 1) • 2= a1 + 4

II) Utilizando o Teorema de Pitágoras e substituindo os valores encontrados, teremos:

g²= h² + R²
(a1 + 4)²= (a1 + 2)² +  a1²
a1² + 8a1 + 16=  a1² + 4a1 + 4 +  a1²
2a1² + 4a1 + 4= a1² + 8a1 + 16
2a1² -  a1² + 4a1 - 8a1 - 16 + 4= 0
a1² - 4a1 - 12= 0

III) Agora, deveremos determinar as raízes desta equação pela fórmula resolutiva de uma equação do segundo grau porque, a partir de uma dessas raízes, obteremos o raio deste cone e, consequentemente, a altura e geratriz deste cone.

∆=b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 1 • (-12)
∆=16 + 48
∆=64

a1= -b ± √∆ 

          2a

a1=-(-4)± √64
         2 • 1

a1= 4 ± 8
        2

a1'= 4 + 8
          2
a1'= 12 
        2

a1'= 6 

a1''= 4 - 8 
           2

a1''= - 4 
         2

a1''= -2 ( não serve, pois não existem medidas geométricas negativas)

IV) Como a1'= 6, os valores dos termos da progressão são:
R= a1
R= 6 metros
h= a1 + 2
h= 6 + 2
h= 8 metros
g= a1 + 4
g= 6 + 4
g= 10 metros

V) Agora que os valores do raio da base, da altura e da geratriz deste cone, podemos determinar a área deste sólido.
At= πr(r + g)

At= π • 6 • (6 + 10)
At= π • 6 • 16
At=96π  m²

Resposta: At=96π  m².

Referências:

1-https://rumoaoita.com/wp-content/uploads/2017/03/geometria_plana_geometria_plana_no_vestibular_do_ita_ita.pdf

Observação:

Neste ano, estarei desenvolvendo uma página de desafios matemáticos na qual resolvo questões matemáticas de quebrar a cabeça. Tais postagens terão o título "Desafios de Matemática" e gostaria que você, caro leitor, expressasse sua opinião me dando um feedback dizendo se gostou ou não das postagens e no que devo melhorar.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Além disso, espero que tenham um 2020 cheio de sucessos e vitórias. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.