Produtos notáveis

Introdução:

Antes de entendermos o que são os produtos notáveis, precisamos entender o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números, como estas:

x + 3y= 4

x² - 2x + 1= 0

Entendido isso, podemos agora entender que os produtos notáveis são simplificações de produtos algébricos, ou seja, são multiplicações nas quais os termos são polinômios (expressões algébricas).

Eles foram desenvolvidos para simplificar e agilizar o desenvolvimento de cálculos e a resolução de problemas. Vejamos agora alguns destes produtos notáveis, considerando os números a e b pertencentes aos reais.

Quadrado da soma de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão de modo a reduzi-la,

(a + b)²= (a + b) • (a + b)= a² + ab + ba + b²=  a² + 2ab + b²

Encontramos o seguinte produto notável:
(a + b)²= a² + 2ab + b²

-Exemplo: Determine (x + 2)²
*Desenvolvendo o produto notável do quadrado da soma de dois, teremos:
(x + 2)²= x² + 2 • x • 2 + 2²
(x + 2)²= x² + 4x + 4

Quadrado da diferença de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão de modo a reduzi-la,

(a - b)²= (a - b) • (a - b)= a² - ab - ba + b²=  a² - 2ab + b²

Encontramos o seguinte produto notável:
(a - b)²= a² - 2ab + b²

-Exemplo: Determine (x - 3)²
*Desenvolvendo o produto notável do quadrado da diferença de dois, teremos:
(x - 3)²= x² - 2 • x • 3 + 3²
(x - 3)²= x² - 6x + 9

Produto da soma pela diferença de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão de modo a reduzi-la,

(a + b) • (a - b)= a² - ab+ ba + b²=  a² - b²

Encontramos o seguinte produto notável:
(a + b) • (a - b)= a² - b²

Exemplo: Determine (x - 4) (x + 4)
*Desenvolvendo o produto notável do produto da soma pela diferença de dois termos, teremos:
(x - 4) (x + 4)= x² - 4²
(x - 4) (x + 4)= x² - 16

Cubo da soma de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão a partir de um dos produtos desenvolvidos,

(a + b)³= (a + b) • (a + b)²= (a + b) • (a² + 2ab + b²)

Encontramos o seguinte produto notável:
(a + b)³= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

Exemplo: Determine (x + 3)³
(x + 3)³= x³ + 3 • x² •3 + 3 • x • 3² + 3³
(x + 3)³= x³ + 9x² + 27x + 27

Cubo da diferença de dois termos:

Desenvolvendo esta expressão a partir de um dos produtos notáveis desenvolvidos,

(a - b)³= (a - b) (a - b)²= (a - b)  (a² - 2ab + b²)

Encontramos o seguinte produto notável:
(a - b)³= (a³ - 3a²b + 3ab² - b³)

Exemplo: Determine (x - 2)³
(x - 2)³= x³ - 3 • x² •2 + 3 • x • 2² - 2³
(x - 2)³= x³ - 6x² + 12x - 8

Outros produtos notáveis:

Agora, serão apresentados outros  importantes produtos notáveis encontrados em diversas situações problemas.

a² + b²= (a + b)² - 2ab
(a + b + c)²= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
(a - b + c)²= a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac
(a + b - c)²= a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac
(a - b - c)²= a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ac
(x + a) (x + b)= x² + ( a + b)x + ab
a³ - b³= (a - b) (a² + ab + b²)
a³ + b³= (a + b) (a² - ab + b²)

Dominando o conhecimento:

Questão 1) (UFC) Calcule o valor de x= √(32 + 10√7) + √(32 - 10√7)

Questão 2)  Se (x + 1/x)²= 10, então x² + 1/x² é igual a
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8

Questão 3) Determine (3x + 2) (3x - 2)

Questão 4) Determine
a) (x - 3) (x - 2)
b) (x + 4)³

Resoluções

Questão 1)

I) Primeiramente podemos elevar ao quadrado ambos os lados da equação e, então, aplicaremos os conceitos de produtos notáveis. Para facilitar os cálculos chamaremos 32 + 10√7 de a e 32 + 10√7 de b. Reescrevendo a equação, teremos:

x= √a + √b

x²=  (√a + √b)²

x²= a + 2 • √a • √b + b

x²= a + b + 2 √ab

II) Agora, iremos reinserir o valor de a e b para determinar o valor de x.

x²= a + b + 2 √ab

x²= 32 + 10√7 + 32 - 10√7 + 2 • √[(32 + 10√7) • (32 - 10√7)]

x²= 64 + 2• √[32² - (10√7)²]

x²= 64 +  2• √[1024 - 700]

x²= 64 + 2 • √324

x²= 64 + 2 • 18
x²= 64 + 36
x²= 100
x= √100
x= 10

Questão 2) 
*Aplicando os conceitos de produtos notáveis e sabendo que (x + 1/x)², teremos:

x² +1/x²= (x + 1/x)² - 2 • x • (1/x)
x² +1/x²= 10 - 2 • 1= 10 - 2
x² +1/x²= 8

Resposta: Item d

Questão 3)
*Aplicando os conceitos de produtos notáveis, teremos:

(3x + 2) • (3x - 2)= (3x)² - 2²= 9x² - 4
(3x + 2) • (3x - 2)= 9x² - 4

Questão 4)
item a)
-Desenvolvendo esta expressão por meio dos conceitos de produtos notáveis, teremos:
(x - 3) (x - 2)= x² + (-3 - 2)x + [(-2) • (-3)]= x²- 5x + 6
(x - 3) (x - 2)=  x²- 5x + 6


item b)
-Desenvolvendo esta expressão por meio dos conceitos de produtos notáveis, teremos:
(x + 4)³= x³ + 3 • x² •4 + 3 • x • 4² + 4³= x³ + 12x² + 48x + 64
(x + 4)³=  x³ + 12x² + 48x + 64

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.respondeai.com.br/conteudo/calculo/pre-calculo/produtos-notaveis-e-fatoracao/1598
2-https://blogdoenem.com.br/produtos-notaveis-e-fatoracao/
3-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-produtos-notaveis.htm
4-https://www.educabras.com/vestibular/materia/matematica/aulas/produtos_notaveis_e_fatoracao
5-http://www.matematiques.com.br/conteudos.php?t=Q&d=Resumos&idcategorias=83
6-https://www.coladaweb.com/matematica/produtos-notaveis
7-https://pt.slideshare.net/luisresponde/produtos-notveis-e-fatorao-64103462
8-https://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/