Função do segundo grau

O que é uma função do segundo grau?

É toda função f: R --> R escrita na forma f(x)= ax² + bx + c com a≠0; Sendo que os coeficientes a, b, c são números reais. Quando uma função quadrática é escrita em um gráfico, ela é representada por uma parábola. Os coeficientes destas funções são importantes para a interpretação delas, visto que eles fornecem diversas informações sobre os seus gráficos.

Exemplos:

1) f(x) = x² + 5x + 6, onde  a=1; b=5; c= 6

2) f(x)= -x² - 6 onde a= -1; b= 0; c= -6 

3) f(x)= -x² + 8x onde a= -1; b= 8; c=0

Gráfico da função do segundo grau:

Como explicado anteriormente, o gráfico descrito pela função quadrática no plano cartesiano é uma parábola e os coeficientes destas funções fornecem informações importantes para seu estudo e compreensão. 

As mais importantes informações são:

Concavidade da parábola:

O coeficiente a determina a característica mais importante da parábola: a sua concavidade. Ela é determinada quando:


        
Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao.htm

a> 0 - concavidade da parábola voltada para cima

a<0 - concavidade da parábola voltada para baixo

Zeros:

Os valores de x nos quais a função quadrática se anula, ou seja, para os quais f(x)= 0 são conhecidos como zeros da função quadrática e indicam os pontos onde a parábola interceptará o eixo x (eixo das abscissas). Isso é válido somente quando as raízes forem números reais, pois caso não sejam, o gráfico não interceptará o eixo x.
Os zeros são as raízes de uma equação do segundo grau, ou seja, determinar estes números equivale a resolver uma equação do segundo grau ax² + bx + c= 0.

Estas equações podem ser resolvidas por diversos métodos, sendo que o mais conhecido é a fórmula de Bhaskara, que é dada por:
         
               x= -b ± √∆ 
                         2a

Sendo ∆= b² - 4ac, podemos ter as seguintes situações:

∆ > 0 - A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos
∆ = 0 - A parábola é tangente ao eixo x
∆ < 0 - A parábola não intercepta o eixo x


                       
Fonte:http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-de-2-grau.html

 Intersecção da parábola com o eixo y (eixo das ordenadas):

Quando x= 0, a parábola interceptará o eixo das ordenadas porque y= a • 0^2 + b • 0 + c= c. Por conta disso, a parábola interceptará o eixo das ordenas no ponto (0, c).

Vértice da parábola:

O vértice da parábola representa o ponto mínimo ou máximo da função quadrática. Ele será determinado pelo par ordenado (xv, yv). 

Para determinar xv, basta considerar que o ponto de simetria passa pelo vértice e é equidistante às raízes, temos xv.

Então, xv será:

                  xv =   x' + x'' 

                               2
O ponto xv também pode ser calculado como:

           xv  = - b 
                    2a

O ponto yv é dado por:

      yv= -  b² - 4ac =  - ∆ 
                  4a             4a

                          
Fonte: https://alunosonline.uol.com.br/matematica/grafico-da-funcao-do-2-grau.html

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Encontre o valor de f(x)= x² + 3x - 10 para que f(x)=0,

Questão 2) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x)= 2x² - 3x + 1 com o eixo das abscissas.

Questão 3) O gráfico da função quadrática definida por
 y= x² - mx + (m-1), em que m ∈ R,  tem um único ponto em comum com o eixo eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x=2.

Questão 4) Calcule o valor de k de modo que a função f(x)= 4x² - 4x - k não tenha raízes, isto é, o gráfico não tem pontos em comum com o eixo x.


Questão 5) (UfSCar - SP) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t)=-2t²+ 8t (com t igual ou maior que zero), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine após o chute.
a) O instante em que a bola retornará ao solo
b) A altura máxima atingida pela bola

Questão 6) Sabe-se que o custo de C (em reais) para produzir x unidades de certo produto é dado pela expressão C= x² - 80 x + 3000. Calcule a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e o valor desse custo seja mínimo.

Resoluções:

Questão 1)
I) Para que f(x)=0, obteremos a seguinte equação:

    f(x)=0

     x² + 3x - 10= 0

Coeficientes da equação
a=1
b=3
c= -10

II) Analisando a função e visto que ela deve ser igual a zero, podemos obter os zeros da função através da fórmula de Bhaskara

∆=b² - 4ac
∆= (3)² - 4 • 1• (-10)
∆=9 + 40
∆=13

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(3)± √49 
         2 • 1

x= -3 ± 7
         2

x'=-3 + 7
         2
x'= 4 
      2

x'=2

x''= -3 - 7
          2

x''= - 10 
          2

x''= -5

Resposta: Os dois valores para os quais f(x)=0 são x'=3 e x''= -5.

Questão 2)
I) Como os pontos que interceptam o eixo das abscissas correspondem aos valores para os quais f(x)=0, temos a segui

f(x)=0

     2x² - 3x + 1= 0

Coeficientes da equação
a=2
b= -3
c= 1

II) Analisando a função e visto que ela deve ser igual a zero, podemos obter os zeros da função através da fórmula de Bhaskara

∆=b² - 4ac
∆= (-3)² - 4 • 2• (1)
∆=9 - 8
∆=1

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-3)± √1 
         2 • 2

x=  3 ± 1
         4

x'= 3 + 1
         4
x'= 4  
      4

x'=1

x''=  3 - 1
          4

x''=  2 
        4

x''= 1/2

Resposta: Os dois pontos nos quais a parábola interceptam o eixo das abscissas são x'=1 e x''=1/2.

Questão 3)
I) Quando a parábola possui um ponto em comum com o eixo x, significa que a função possui apenas uma raiz e que ∆= 0. Considerando a função da questão e seus coeficientes, temos que:

∆=b² - 4ac
(-m)² - 4 • 1 • (m+1)=0
m^2 - 4m - 4= 0

II) Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos os seguintes valores para m

m= -b ± √∆ 

         2a

m=-(-4)± √0
         2 • 1

m=  4 ± 0
          2

m= 4  
       2

m=2

III) Substituindo m=2, obtemos a lei desta função:
  
         y= x² - mx + (m-1)
          y= x² - 2x + (2-1)
          y= x² - 2x + 1
IV) Como a questão exige o valor de y quando x=2, a resposta será:
 x=2
         y=x² - 2x + 1
          y=2² - 2 • 2 + 1
           y= 4 - 4 + 1
           y=1

Resposta: A função possui a lei de formação y= x² - 2x + 1 e quando temos x=2, y será igual a 1.

Questão 4)
I) Quando a parábola possui não intercepta o eixo x, significa que ela não possui raízes reais e que
∆ < 0. Considerando a função da questão e seus coeficientes, temos que:

∆=b² - 4ac
(4)² - 4 • 4 •( -k )< 0
16 + 16k < 0
16k < -16
k < -16 
        16
k < -1

Resposta: O valor de k para que a função não possua raízes deve ser menor que -1.

5 (item a)
I)Houve dois momentos em que a bola tocou o chão, o primeiro foi antes  dela ser chutada e o segundo foi quando ela terminou sua trajetória.

  h(t)= - 2t² + 8t
    0= -2t² + 8t
     2t² - 8t=0
    2t(t -4)=0
        t'=0
        t''-4=0
        t''= 0 + 4
         t''= 4 s

Resposta: A bola retornará ao solo após 4 segundos do seu lançamento

Questão 5(item b)
I) A altura máxima atingida pela bola é dada pelo vértice da parábola. As coordenadas do vértices podem ser encontradas através das seguintes expressões:

                       xv= - b 
                               2a
                   
                         yv= - b² -4ac = - ∆  
                                    4a            4a

II) Neste caso, é necessário encontrar yv, visto que ele determina a altura máxima atingida pela bola.

                          yv= - b² - 4ac  = -  ∆ 
                                      4a              4a

                           yv= -  (8)² - 4 • (-2) • 0 
                                             4 • (-2)

                            yv=  - 64 
                                     - 8

                             yv= 8 metros

Resposta: A altura máxima atingida pela bola foi igual a 8 metros.

Questão 6)
I) O número de peças para que o custo seja mínimo será dado ao determinarmos o valor de xv  na  função. Sabendo que C= x² - 80 x + 3000, o valor de xv será: 

xv= -  b  
         2a
xv = - (-80)  
           2 • 1   

xv=  80                
         2

xv= 40              

II) Tendo em vista que o número de peças para o custo mínimo é conhecido,  o valor desse custo será dado ao substituirmos xv na função. Logo, o custo mínimo de produção será:       
C= x² - 80 x + 3000                             
 C= 40² - 80 • 40 + 3000     
C=1600 - 3200 + 3000
C= 1600 - 200 
C= 1400             

Resposta: Para obter um custo mínimo de R$  1400,00 a empresa deverá produzir exatamente 40 peças.     
                                                                                                                                                                                                   

Fonte: http://www.sustente.org.br/attachments/article/31/Y-PROVAProfessorIIMatematica.pdf          

                                                                                     

   

                                       

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Autor do artigo:

Gustavo Sobreira Barroso.

         

      

Referência:

1-http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-de-2-grau.html

2-https://www.dicasdecalculo.com.br/funcao-do-2-grau-definicao/

3-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-de-segundo-grau.htm

4-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2_2.php

5-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2_1.php

6-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php#fimPag

7-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-2-o-grau.htm

8-https://alunosonline.uol.com.br/matematica/grafico-da-funcao-do-2-grau.html
9-https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/
10-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-2-grau.htm
11-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-grafico-funcao-2-o-grau.htm  
12-http://www.sustente.org.br/attachments/article/31/Y-PROVAProfessorIIMatematica.pdf                                                         

Progressão aritmética

Introdução:

Progressão aritmética é uma sequência de números reais cujo a diferença entre dois quaisquer dois termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão da P.A (r)
Deste modo, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da soma do elemento anterior com a razão da P.A.
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A finita) ou infinito de termos (P.A infinita).
*Exemplo de P.A finita:
(2, 5, 8, 11, 14) - P.A finita com r=3

*Exemplo de P.A infinita:
(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...) - P.A finita com r=2

Classificações das progressões aritméticas (P.A.s):

De acordo com o valor da razão r, podemos classificar as progressões aritméticas em três tipos:

 P. A  crescente:

Quando a razão da P.A for maior que zero (r > 0), de modo que cada termo seja maior que o anterior. 

(2, 4, 6, 8, 10, 12...), onde r= 2    
        

 P. A decrescente:

Quando a razão da P.A for menor que zero (r < 0), de modo que cada termo seja menor que o anterior. 

(27, 24, 21, 18, 15...), onde r= -3    

P.A constante:

Quando a razão r for igual a 0 (r=0), de modo que os termos da progressão são iguais.

(3, 3, 3, 3, 3...), onde r=0 

Fórmula do termo geral:

Para que se possa encontrar qualquer elemento da P.A a partir da sua razão e primeiro termo, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

an=a1 + (n - 1) • r 

Onde:
an= número que queremos determinar
a1= primeiro termo da sequência 
n= quantidade de elementos da P.A
r=razão da P.A

Exemplo: Calcule o décimo termo de uma P.A (26, 31, 36, 41,...)
I) Primeiramente, devemos identificar que a1= 26, r= 5 e n= 10 (décimo termo). Agora, basta substituir estes valores na fórmula do termo geral:

an=a1 + (n - 1) • r
a10=26 + (10 - 1) • 5
a10=26 + 9 • 5
a10=26 +45

a10= 71

Resposta: a10= 71

Propriedades de uma P.A:

Primeira propriedade: Em uma progressão aritmética finita, a soma de dois termos equidistantes é igual a soma dos extremos.

Exemplo: 

(10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)

40 + 15= 10 + 45

Segunda propriedade: Considerando três termos consecutivos de uma P.A, o segundo será dado pela média aritmética dos outros dois.

Exemplo:

(10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)

15= 10 + 20 

            2

Terceira propriedade: Em uma P.A finita com número ímpar de termos, o termo central é igual a média aritmética do primeiro com o último termo.

Exemplo: 

(10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)

30= 10 + 50 

             2

Soma dos termos de uma P.A:

 Para calcular a soma dos termos de uma P.A finita, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

Sn= (a1 + an) • n 
              2
Onde:
an= número que queremos determinar
a1= primeiro termo da sequência 
n= quantidade de elementos da P.A


Exemplo: Determine a soma dos cem primeiro termos da P.A (1, 2, 3, 4, 5, ...)
I) Primeiramente, devemos identificar que a1= 1, a100= 100 e n= 100 (centésimo termo). . Agora, basta substituir estes valores na fórmula da soma dos termos de uma P.A.

Sn= (a1 + an) • n 
               2

S100= (1 + 100) • 100 
                    2

S100= 101 • 100 
                2

S100= 10100 
              2

S100= 5050

Dominando o conhecimento:

Questão 1) (EN - 14) - O quinto termo da progressão aritmética  3-x; -x; √9 - x..., x ∈ IR, é:
a) 7
b) 10
c) -2
d) -√14
e) - 18

Questão 2) (Fuvest) -Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são: 1 - a, -a ,√(11 - a). O quarto termo desta P.A é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Questão 3) Qual é o perímetro de um triângulo retângulo que tem área de 54 m^2 e cujos lados estão em progressão aritmética?

a) 54 m

b) 48 m

c) 42 m

d) 36 m

e) 12 m

Questão 4) Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101?
a) 250 
b) 2050 
c) 2555 
d) 2550 
e) zero

Questão 5) Determine o número de termos na P.A (4, 7, 10, ..., 136).

Questão 6) Determine o 61º termo da P.A (9, 13, 17, 21, ...).

Resoluções:

Questão 1)
I)  Aplicando a primeira propriedade da P.A para relacionar os termos da sequência,temos que:
-x= 3 - x  + √9 - x  
                2

-2x= 3 - x  + √9 - x

-2x + x  -3= √9 - x

-x - 3= √9 - x

*Elevando os dois lados da equação ao quadrado: 

 (-x - 3)²= (√9 - x)²

x² + 6x + 9=  9 - x

x² + 6x + x  + 9 - 9=  0

x² + 7x= 0
x(x + 7)= 0

II) Ao resolvermos esta equação, temos que: 
* Uma das soluções é zero:
x'=0 
* A segunda solução é:
x" + 7= 0
x"= -7

III)  Testando as duas soluções na equação original, vemos que x= -7  e assim, a P.A é: (10,7,4,1,  -2,  ...). Logo o quinto termo da  P.A é  -2.

Resposta: Item c     

Questão 2)                          

I )Aplicando a primeira propriedade da P.A para relacionar os termos da sequência,temos que:
-a= 1 - a + √11 - a
                2
-2a= 1 - a + √11 - a
-2a + a - 1= √11 - a 
-a - 1= √11 - a 

*Elevando os dois lados da equação ao quadrado: 

 (-a - 1)²= (√11 - a)²
a² + 2a + 1= 11 - a
a² + 2a + a + 1 - 11= 0    
a² + 3a - 10 = 0      

II) Aplicando a fórmula de Bhaskara para determinar a:
∆=b² - 4ac       
∆=(3)² - 4 • 1 • (-10)
∆= 9 + 40
∆= 49      

a=   -3 ± √49          
          2 • 1
a=  -3 ± 7       
          2
a'=  -3 + 7       
           2
a'= 2      

a"=  -3 - 7  

           2
a"= -5

III)  Testando as duas soluções na equação original, vemos que a= - 5  e assim, a P.A é: (6,5,4,3,  ...). Logo o quarto termo da  P.A é 3.

Resposta:Item b.

Questão 3)
 I) Como os lados do triângulo retângulo em questão estão em P.A, podemos escrevê-los da seguinte  maneira:  
(x - r), x, (x + r )                                            

Sendo:
(x + r)  => hipotenusa (maior lado)
(x - r) e x => catetos    

II) Agora, temos que em um triângulo, a área é dada pela metade do produto entre a sua base e altura. Mas como este triângulo é retângulo, a base e a altura são os catetos. Logo temos:

 x(x - r) = 54
     2
x² - xr= 108
x²= xr + 108 (I)

III)  Jogando isso no teorema de Pitágoras:

(x + r)²= (x - r)²+ x²
x²+ 2xr + r²= x² -2xr + r² + x²                                      
x² + 2xr + r²= x² -2xr + r² + xr + 108
x² - x² + 2xr + 2xr - xr + r² - r² = 108
3xr= 108
xr= 108                         
         3
xr=36

IV) Substituindo isso em I:
x²= xr + 108
x²= 36 + 108     
x²= 144
x=√144
x= 12

V)  Substituindo x na fórmula da área, temos que:
 12(12 - r) = 54                          
      2  
144 - 12r= 108
144 - 108= 12r
12r= 36
r= 36     
     12
r= 3


VI) Agora que os valores de x e r são conhecidos, temos que as medidas dos lados do triângulo são:

x=12 m             

x - r= 12 - 3
x - r= 9 m                      

x + r= 12 + 3
x + r= 15 m                                                                    

VII) Por fim, o perímetro deste triângulo será dado pela soma dos seus lados. Logo, o perímetro deste triângulo é:
2p= 9 + 12 +  15
2p= 36 m

Resposta: Item d.                                                       

Questão 4) 

I) Primeiramente, devemos identificar que a1=2, a n = 100 e r=2 . Utilizaremos estas informações para identificar o número de termos pares entre estes números.
an=a1 + (n - 1) • r
100=2 + ( n - 1) • 2
100=2 + 2n - 2
100=2n

 n= 100 

         2
n=50

II)Agora, que o número de termos pares entre 2 e 100 é conhecido, temos que a soma de todos estes números é:                              

Sn= (a1 + an) • n 
               2

S50= (2 + 100) • 50
                 2

S50= 102 • 50
             2

S50= 5100 
           2

S50= 2050

Resposta: Item b.
           
Questão 5)    
         

I) Primeiramente, devemos identificar que a1=4, an = 136 e r=3. Utilizaremos estas informações para identificar o número de termos pares entre estes números.

an=a1 + (n - 1) • r

136= 4 + ( n - 1) • 3

136=4 + 3n - 3

136=3n + 1

3n + 1= 136

3n = 135

n= 135  

       3

n=45

Resposta: Esta P.A possui 45 termos.                                                                                                                                
Questão 6)                          
I) Primeiramente, devemos identificar que a1= 9, r= 4 e n= 61. Agora, basta substituir estes valores na fórmula do termo geral:

an=a1 + (n - 1) • r
a10=9 + (61 - 1) • 4
a61=9 + 60 • 4
a61=9 + 240

a61= 249

Resposta: a61= 249

                                  

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.     

Referências:

1-https://promilitares.com.br/content/aula/U2G1-YDWE/progressoes.pdf

2-https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/progressao-aritmetica

3-https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/

4-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm

5-https://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/progressao-aritmetica-geometrica.jhtm

6-https://www.infoescola.com/matematica/progressao-aritmetica/

7-http://pir2.forumeiros.com/t49217-p-a-triangulo-retangulo

8-http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=314
9-http://sequeciast229.blogspot.com/p/exercicios-de-pa-pg.html