Progressão aritmética

Introdução:

Progressão aritmética é uma sequência de números reais cujo a diferença entre dois quaisquer dois termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão da P.A (r)
Deste modo, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da soma do elemento anterior com a razão da P.A.
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A finita) ou infinito de termos (P.A infinita).
*Exemplo de P.A finita:
(2, 5, 8, 11, 14) - P.A finita com r=3

*Exemplo de P.A infinita:
(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...) - P.A finita com r=2

Classificações das progressões aritméticas (P.A.s):

De acordo com o valor da razão r, podemos classificar as progressões aritméticas em três tipos:

P. A crescente:

Quando a razão da P.A for maior que zero (r > 0), de modo que cada termo seja maior que o anterior.

(2, 4, 6, 8, 10, 12...), onde r= 2

P. A decrescente:

Quando a razão da P.A for menor que zero (r < 0), de modo que cada termo seja menor que o anterior.

(27, 24, 21, 18, 15...), onde r= -3

P.A constante:

Quando a razão r for igual a 0 (r=0), de modo que os termos da progressão são iguais.

(3, 3, 3, 3, 3...), onde r=0

Fórmula do termo geral:

Para que se possa encontrar qualquer elemento da P.A a partir da sua razão e primeiro termo, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

an=a1 + (n - 1) • r

Onde:
an= número que queremos determinar
a1= primeiro termo da sequência
n= quantidade de elementos da P.A
r=razão da P.A

Exemplo: Calcule o décimo termo de uma P.A (26, 31, 36, 41,...)
I) Primeiramente, devemos identificar que a1= 26, r= 5 e n= 10 (décimo termo). Agora, basta substituir estes valores na fórmula do termo geral:

an=a1 + (n - 1) • r
a10=26 + (10 - 1) • 5
a10=26 + 9 • 5
a10=26 +45

a10= 71

Resposta: a10= 71

Propriedades de uma P.A:

Primeira propriedade: Em uma progressão aritmética finita, a soma de dois termos equidistantes é igual a soma dos extremos.

Exemplo:

(10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)

40 + 15= 10 + 45

Segunda propriedade: Considerando três termos consecutivos de uma P.A, o segundo será dado pela média aritmética dos outros dois.

Exemplo:

(10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)

15= 10 + 20

Terceira propriedade: Em uma P.A finita com número ímpar de termos, o termo central é igual a média aritmética do primeiro com o último termo.

Exemplo:

(10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)

30= 10 + 50

Soma dos termos de uma P.A:

Para calcular a soma dos termos de uma P.A finita, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

Sn= (a1 + an) • n
2
Onde:
an= número que queremos determinar
a1= primeiro termo da sequência
n= quantidade de elementos da P.A

Exemplo: Determine a soma dos cem primeiro termos da P.A (1, 2, 3, 4, 5, ...)
I) Primeiramente, devemos identificar que a1= 1, a100= 100 e n= 100 (centésimo termo). . Agora, basta substituir estes valores na fórmula da soma dos termos de uma P.A.

Sn= (a1 + an) • n
2

S100= (1 + 100) • 100
2

S100= 101 • 100
2

S100= 10100
2

S100= 5050

Dominando o conhecimento:

Questão 1) (EN - 14) - O quinto termo da progressão aritmética 3-x; -x; √9 - x..., x ∈ IR, é:
a) 7
b) 10
c) -2
d) -√14
e) - 18

Questão 2) (Fuvest) -Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são: 1 - a, -a ,√(11 - a). O quarto termo desta P.A é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Questão 3) Qual é o perímetro de um triângulo retângulo que tem área de 54 m^2 e cujos lados estão em progressão aritmética?

a) 54 m

b) 48 m

c) 42 m

d) 36 m

e) 12 m

Questão 4) Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101?
a) 250
b) 2050
c) 2555
d) 2550
e) zero

Questão 5) Determine o número de termos na P.A (4, 7, 10, ..., 136).

Questão 6) Determine o 61º termo da P.A (9, 13, 17, 21, ...).

Resoluções:

Questão 1)
I) Aplicando a primeira propriedade da P.A para relacionar os termos da sequência,temos que:
-x= 3 - x + √9 - x
2

-2x= 3 - x + √9 - x

-2x + x -3= √9 - x

-x - 3= √9 - x

*Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

(-x - 3)²= (√9 - x)²

x² + 6x + 9= 9 - x

x² + 6x + x + 9 - 9= 0

x² + 7x= 0
x(x + 7)= 0

II) Ao resolvermos esta equação, temos que:
* Uma das soluções é zero:
x'=0
* A segunda solução é:
x" + 7= 0
x"= -7

III) Testando as duas soluções na equação original, vemos que x= -7 e assim, a P.A é: (10,7,4,1, -2, ...). Logo o quinto termo da P.A é -2.

Resposta: Item c

Questão 2)

I )Aplicando a primeira propriedade da P.A para relacionar os termos da sequência,temos que:
-a= 1 - a + √11 - a
                2
-2a= 1 - a + √11 - a
-2a + a - 1= √11 - a
-a - 1= √11 - a

*Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

(-a - 1)²= (√11 - a)²
a² + 2a + 1= 11 - a
a² + 2a + a + 1 - 11= 0
a² + 3a - 10 = 0

II) Aplicando a fórmula de Bhaskara para determinar a:
∆=b² - 4ac
∆=(3)² - 4 • 1 • (-10)
∆= 9 + 40
∆= 49

a=   -3 ± √49
2 • 1
a= -3 ± 7
2
a'= -3 + 7
   2
a'= 2

a"= -3 - 7

           2
a"= -5

III) Testando as duas soluções na equação original, vemos que a= - 5 e assim, a P.A é: (6,5,4,3, ...). Logo o quarto termo da P.A é 3.

Resposta:Item b.

Questão 3)
I) Como os lados do triângulo retângulo em questão estão em P.A, podemos escrevê-los da seguinte maneira:
(x - r), x, (x + r )

Sendo:
(x + r) => hipotenusa (maior lado)
(x - r) e x => catetos

II) Agora, temos que em um triângulo, a área é dada pela metade do produto entre a sua base e altura. Mas como este triângulo é retângulo, a base e a altura são os catetos. Logo temos:

x(x - r) = 54
   2
x² - xr= 108
x²= xr + 108 (I)

III) Jogando isso no teorema de Pitágoras:

(x + r)²= (x - r)²+ x²
x²+ 2xr + r²= x² -2xr + r² + x²
x² + 2xr + r²= x² -2xr + r² + xr + 108
x² - x² + 2xr + 2xr - xr + r² - r² = 108
3xr= 108
xr= 108
   3
xr=36

IV) Substituindo isso em I:
x²= xr + 108
x²= 36 + 108
x²= 144
x=√144
x= 12

V) Substituindo x na fórmula da área, temos que:
12(12 - r) = 54
    2
144 - 12r= 108
144 - 108= 12r
12r= 36
r= 36
   12
r= 3

VI) Agora que os valores de x e r são conhecidos, temos que as medidas dos lados do triângulo são:

x=12 m

x - r= 12 - 3
x - r= 9 m

x + r= 12 + 3
x + r= 15 m

VII) Por fim, o perímetro deste triângulo será dado pela soma dos seus lados. Logo, o perímetro deste triângulo é:
2p= 9 + 12 + 15
2p= 36 m

Resposta: Item d.

Questão 4)

I) Primeiramente, devemos identificar que a1=2, a n = 100 e r=2 . Utilizaremos estas informações para identificar o número de termos pares entre estes números.
an=a1 + (n - 1) • r
100=2 + ( n - 1) • 2
100=2 + 2n - 2
100=2n

n= 100

2
n=50

II)Agora, que o número de termos pares entre 2 e 100 é conhecido, temos que a soma de todos estes números é:

Sn= (a1 + an) • n
2

S50= (2 + 100) • 50
   2

S50= 102 • 50
   2

S50= 5100
   2

S50= 2050

Resposta: Item b.

Questão 5)

I) Primeiramente, devemos identificar que a1=4, an = 136 e r=3. Utilizaremos estas informações para identificar o número de termos pares entre estes números.

an=a1 + (n - 1) • r

136= 4 + ( n - 1) • 3

136=4 + 3n - 3

136=3n + 1

3n + 1= 136

3n = 135

n= 135

n=45

Resposta: Esta P.A possui 45 termos.
Questão 6)
I) Primeiramente, devemos identificar que a1= 9, r= 4 e n= 61. Agora, basta substituir estes valores na fórmula do termo geral:

an=a1 + (n - 1) • r
a10=9 + (61 - 1) • 4
a61=9 + 60 • 4
a61=9 + 240

a61= 249

Resposta: a61= 249

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.