Função composta

O que é?

Uma função composta é aquela que combina duas ou mais variáveis, ou seja, ela relaciona duas variáveis através da mesma função. Esta função parte de duas funções f e g, onde o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f.

Dada uma função f(f:A=>B) e uma função g(g:B=>C), a função composta de f com g é representada por fog. Enquanto a função composta de g com f é escrita como g com f é escrita como gof.

fog (x)= f[g(x)]
gof (x)= g[f(x)]

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Fonte:https://www.infopedia.pt/$funcao-composta

As operações entre funções compostas não são comutativas, pois fog ≠ gof. Para determinar uma função composta, basta aplicar o domínio de uma função em outra, ou seja, deve-se substituir o x por uma função.

Exemplo:

1) Determine o gof (x) das funções f(x)= 2^x e g(x)=√x
Pelas definições de funções compostas temos que:
gof (x)= g[f(x)]
g[f(x)]=√[f(x)]
g[f(x)]=√2^x

2) Determine o gof (x) e fog (x) das funções f(x)=2x + 2 e g(x)=5x
Pelas definições de funções compostas temos que:

gof (x)= g[f(x)] = g[(f(x)]= 5[f(x)]= 5[(2x+2)]= 10x + 10

fog (x)= f[g(x)]= f[g(x)]= 2x + 2[g(x)]= 2 • 5x + 2= 10x + 2

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Dada as funções f(x)= x^2 - 5x + 6 e g(x)= x + 1, pede-se:

a) Calcular f(g(x))

b) Achar x de modo que f(g(x))=0

Questão 2) (Mackenzie - SP) As funções f(x)= 3 - 4x e g(x)= 3x + m são tais que f(g(x))=g(f(x)), qualquer que seja x real. o valor de m é:

a) 9/4

b) 5/4

c) - 6/5

d) 9/5

e) - 2/3

Questão 3)(PUC- BR)Considere f(x)= x^2 - 1 e g(x)= x - 1. Calcule f(g(x)) para x =4

x - 2
a) 6
b) 8
c) 2
d) 1
e) 4

Questão 4)Sejam f e g funções reais, sendo que f(x)= 4x - 2 e f(g(x))= 2x + 10. Determine a lei de formação de g(x).

Resoluções:

Questão 1- item a)

I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e temos a seguinte função:

f(g(x))=(g(x))^2 - 5(g(x)) + 6

f(g(x))= (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6

f(g(x))= x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6

f(g(x))= x^2 - 5x + 2x + 6 + 1 - 5

f(g(x))= x^2 - 3x + 7 - 5

f(g(x))= x^2 - 3x + 2

Resposta: f(g(x))= x^2 - 3x + 2

Questão 1- item b)

I) Para determinarmos os valores de x para os quais f(g(x))=0, basta solucionarmos a seguinte equação através da fórmula de Bhaskara:

x^2 - 3x + 2=0

∆=b^2 - 4ac
∆= (-3)^2 - 4 • 1• (2)
∆=9 - 8
∆=1

x= -b ± √∆

2a

x=-(-3)± √1
2 • 1

x= 3 ± 1
2

x'= 3 + 1
2
x'= 4
2

x'=2

x''= 3 - 1
2

x''= 2
2

x''= 1

Resposta: Os dois valores para os quais f(g(x))=0 são x'=2 e x''= 1.

Questão 2)
I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e para determinar g(f(x)), basta substituir x por f(x) e igualar as duas funções, de modo que obtemos a seguinte igualdade

f(g(x))= g(f(x))
3 - 4(3x + m)= 3(3 - 4x) + m
3- 12x - 4m= 9 - 12x + m
-4m - m + 12x -12x= 9 -3
-5m=6
m= - 6
5

Resposta: -6/5. Item c

Questão 3)

I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e temos a seguinte função:

f(g(x))= g(x)^2 - 1
g(x) - 2

f(g(x))= (x - 1)^2 - 1
x - 1 - 2

f(g(x))= x^2 - 2x + 1 - 1
x - 3

f(g(x))= x^2 - 2x
x - 3

II) Como a questão pede f(g(x)) para x=4, então basta substituímos x por 4.

f(g(x))= 4^2 - 2 • 4
4 - 3

f(g(x))= 16 - 8
1

f(g(x))= 8
1

f(g(x))= 8

Resposta: Item b- 8.

Questão 4)
I) Sabemos que f(x)= 4x - 2 e que f(g(x))= 2x + 10. Com isso podemos escrever f(g(x)) apenas substituindo a variável x por g(x), da seguinte forma:
f(g(x))= 4g(x) - 2

II) Existem duas igualdades para f(g(x)), podemos afirmar que ambas são idênticas formando a equação:

4g(x) - 2= 2x + 10
4g(x)= 2x + 10 + 2
4g(x)= 2x + 12
g(x)= 2x + 12
4

g(x)= 2x + 12
4 4
g(x)= x + 3
2

Resposta: A lei de formação da função g(x) é g(x)= x + 3
2