Função composta

O que é?

Uma função composta é aquela que combina duas ou mais variáveis, ou seja, ela relaciona duas variáveis através da mesma função. Esta função parte de duas funções f e g, onde o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f.

Dada uma função f(f:A=>B) e uma função g(g:B=>C), a função composta  de f com g é representada por fog. Enquanto a função composta de g com f é escrita como g com f é escrita como gof.

fog (x)= f[g(x)]
gof (x)= g[f(x)]

                           

Fonte:https://www.infopedia.pt/$funcao-composta

As operações entre funções compostas não são comutativas, pois fog ≠ gof. Para determinar uma função composta, basta aplicar o domínio de uma função em outra, ou seja, deve-se substituir o x por uma função.

Exemplo:

1) Determine o gof (x)  das funções f(x)= 2^x e g(x)=√x
Pelas definições de funções compostas temos que:
             gof (x)= g[f(x)]
             g[f(x)]=√[f(x)]
              g[f(x)]=√2^x

2) Determine o gof (x) e fog (x) das funções f(x)=2x + 2 e g(x)=5x
Pelas definições de funções compostas temos que:
     
gof (x)= g[f(x)] = g[(f(x)]= 5[f(x)]= 5[(2x+2)]= 10x + 10

fog (x)= f[g(x)]= f[g(x)]= 2x + 2[g(x)]= 2 • 5x + 2= 10x + 2

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Dada as funções f(x)= x^2 - 5x + 6 e g(x)= x + 1, pede-se:

a) Calcular f(g(x))

b) Achar x de modo que f(g(x))=0

Questão 2) (Mackenzie - SP) As funções f(x)= 3 - 4x e g(x)= 3x + m são tais que f(g(x))=g(f(x)), qualquer que seja x real. o valor de m é:

a) 9/4

b) 5/4

c) - 6/5

d) 9/5

e) - 2/3

Questão 3)(PUC- BR)Considere f(x)= x^2 - 1  e g(x)= x - 1. Calcule f(g(x)) para x =4

                                                                x - 2
a) 6
b) 8
c) 2
d) 1
e) 4

Questão 4)Sejam f e g funções reais, sendo que f(x)= 4x - 2 e f(g(x))= 2x + 10. Determine a lei de formação de g(x).

Resoluções:

Questão 1- item a) 

I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e temos a seguinte função:

f(g(x))=(g(x))^2 - 5(g(x)) + 6

f(g(x))= (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6

f(g(x))= x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6

f(g(x))= x^2 - 5x + 2x + 6 + 1 - 5

f(g(x))= x^2 - 3x + 7 - 5        

f(g(x))= x^2 - 3x + 2

Resposta: f(g(x))= x^2 - 3x + 2

Questão 1- item b)

I) Para determinarmos os valores de x para os quais f(g(x))=0, basta solucionarmos a seguinte equação através da fórmula de Bhaskara:

x^2 - 3x + 2=0

∆=b^2 - 4ac
∆= (-3)^2 - 4 • 1• (2)
∆=9 - 8
∆=1

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-3)± √1 
         2 • 1

x=  3 ± 1
         2

x'= 3 + 1
         2
x'= 4 
      2

x'=2

x''=  3 - 1
          2

x''=   2  
         2

x''= 1

Resposta: Os dois valores para os quais f(g(x))=0 são x'=2 e x''= 1.

Questão 2)
I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e para determinar g(f(x)), basta substituir x por f(x) e igualar as duas funções, de modo que obtemos a seguinte igualdade

f(g(x))= g(f(x))
3 - 4(3x + m)= 3(3 - 4x) + m
3- 12x - 4m= 9 - 12x + m
-4m - m + 12x -12x= 9 -3
-5m=6 
m= - 6   
         5

Resposta: -6/5. Item c

Questão 3)     

I)Para determinarmos f(g(x)), basta substituirmos x por g(x) e temos a seguinte função:

f(g(x))= g(x)^2 - 1  
                g(x) - 2

f(g(x))= (x - 1)^2 - 1 
                 x - 1 - 2

f(g(x))= x^2 - 2x + 1 - 1 
                    x - 3

f(g(x))= x^2 - 2x 
                x - 3

II) Como a questão pede f(g(x)) para x=4, então basta substituímos x por 4.

f(g(x))= 4^2 - 2 • 4 
                  4 - 3

f(g(x))= 16 - 8 
                  1

f(g(x))= 8 
              1

f(g(x))= 8

Resposta: Item b- 8.

Questão 4)
I) Sabemos que f(x)= 4x - 2 e que f(g(x))= 2x + 10. Com isso podemos escrever  f(g(x)) apenas substituindo a variável x por g(x), da seguinte forma:
                       f(g(x))= 4g(x) -  2

II) Existem duas igualdades para f(g(x)), podemos afirmar que ambas são idênticas formando a equação:

                  4g(x) - 2= 2x + 10
                   4g(x)= 2x + 10 + 2
                   4g(x)= 2x + 12
                     g(x)=  2x + 12 
                                     4

                     g(x)= 2x  + 12 
                                4       4
                     g(x)= x   + 3
                               2

Resposta: A lei de formação da função g(x) é g(x)=  x  + 3
                                                                                    2

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.todamateria.com.br/funcao-composta/
2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-composta.htm
3-http://www.matematiques.com.br/conteudos.php?t=Q&d=Quest%F5es&idcategorias=25
4-https://www.infopedia.pt/$funcao-composta

5-https://www.infoescola.com/matematica/funcao-composta/

6-https://www.todamateria.com.br/funcao-composta/

7-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcoes/funcoes9.php

8-https://brainly.com.br/tarefa/424223

9-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm

Função afim

O que é?

Uma função afim, também conhecida como função do primeiro grau, é toda função f: R => R escrita na forma f(x)=ax + b, sendo que a,b ∈ R.
Neste tipo de função, a é o coeficiente de x e indica a taxa de crescimento, ou variação, da função.
O número b é conhecido como termo constante ou coeficiente linear.
Exemplos:
y=2x + 1
y=2x

                            

Raiz da função afim:

A raiz da função afim é o ponto no qual o gráfico da função intercepta o eixo x, ou seja, o ponto no qual f(x)=0. Por isso, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir f(x) por 0. Com isso temos a seguinte relação:

f(x)=ax +b

0= ax +b

ax= -b

x= - b/a

                   
Fonte:https://www.stoodi.com.br/blog/2018/06/13/funcao-afim/

Gráfico de uma função afim:

O gráfico descrito por uma função afim é uma reta oblíqua aos eixos x e y. A reta não pode ser perpendicular a nenhum dos eixos. Os fatores que vão determinar a inclinação e direção da reta são os coeficientes angular(a) e linear da função(b). 
Para escrever o gráfico destas funções, basta atribuir valores para x e calcular o valor da imagem.

                ~
Fonte:https://blog.maxieduca.com.br/tipos-funcao-plinomial/imagem-5-2/

Coeficiente angular e linear:

O coeficiente angular a da função afim indica a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas. 

Já o coeficiente b, ou coeficiente linear, representa o ponto onde x=0. Porque sendo x=0, temos que:

y=ax + b

y= a • 0 + b
y=b

O coeficiente linear indica o ponto onde a reta corta o eixo y.

Função linear:

É toda função na qual b=0, com a≠0. Ela sempre passa pelo ponto (0,0). A fórmula da função afim é escrita como:

f(x)= ax

A reta da função linear é a bissetriz entre o primeiro e o terceiro quadrantes do plano cartesiano, isso significa que a reta divide os dois quadrantes em dois ângulos iguais.

               
Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm

Função constante:

É toda função escrita como f(x)=b, pois a= 0. A reta sempre será paralela ao eixo x e ela sempre passará pelo ponto (0, b).

f(x)= b

f(x)=2

               
Fonte:https://www.youtube.com/watch?v=kogxDV_Mhtw

Função linear:

É toda função escrita com b=0 e a≠0. O gráfico desta função é inclinado em relação ao eixo x e sempre passa pelo ponto (0,0).

Esta função tem a seguinte lei de formação:

y=ax

Exemplos
f(x)= -3x

f(x)= 2x

                
Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm

Função crescente:

Uma função linear crescente é aquela na qual a medida que atribuímos valores maiores para  x, o da imagem aumenta também. Para verificar se uma função afim  é crescente, basta verificar se o coeficiente angular da função é maior que 0, ou seja, se a > 0.

Exemplo

2x - 4 é função crescente, pois a=2(a > 0)

Função decrescente:

Uma função linear decrescente é aquela na qual a medida que atribuímos valores maiores para  x, o da imagem diminui. Para verificar se uma função afim é decrescente, basta verificar se o coeficiente angular da função é menor que 0, ou seja, se a < 0.

Exemplo:
f(x)= -2x + 4 é uma função decrescente, pois a= -2 (a <  0)

Dominando o conhecimento: Exercícios:

Questão 1) Em uma determinada cidade, a tarifa cobrada pelos taxistas corresponde a uma parcela fixa chamada de bandeirada e uma parcela referente aos quilômetros rodados. Sabendo que uma pessoa pretende fazer uma viagem de 7 km em que o preço da bandeirada é R$ 4,50 e o custo por quilômetro rodado é igual a R$ 2,75, determine:

a) Uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada pelos quilômetros rodados para essa cidade

b) Quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado?

Questão 2) Cefet - MG - 2015

Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de  R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros rodados e calculado por meio da função R(x)= ax + b, em que a é o preço cobrado por quilômetros e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia.

Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de:

a) 14

b) 16

c) 18

d) 20

Questão 3) Se f(x)= 3x + 2, qual o valor de x para f(x)= 5

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Questão 4) Um atleta ao ser submetido a um determinado treino específico apresenta, ao longo do tempo, ganho de massa muscular. A função P(t)= P0 + 0,19t expressa o peso do atleta em função do tempo ao realizar esse treinamento, sendo P0 o seu peso inicial e t o tempo em dias.

Considere um atleta que antes do treinamento pesava 55 kg e que necessitava chegar aos 60 kg em um mês. Fazendo unicamente esse treinamento, será possível alcançar o resultado esperado

Questão 5) Uma função é dada por f(x)=3x - 6. A raiz dessa função é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Resolução:

Questão 1- item a) 

I) Visto que a bandeirada não depende dos quilômetros, temos que b=4,5.

II) Como cada quilômetro rodado deve ser multiplicado por 2,75. Com isso, temos que este será o valor da taxa de variação, logo a= 2,75

III) Considerando p(x) como o valor da tarifa e os dados do problema, a função será escrita na seguinte forma:

                

 p(x)= 2,75x + 4,5

Resposta:  p(x)= 2,75x + 4,5

Questão 1-item b)

I) Agora que conhecemos a função, basta substituir x por 7.

  p(x)= 2,75x + 4,5

  p= 2,75 • 7 + 4,5

  p=19,25 + 4,50

  p=23,75

Resposta:A pessoa pagará R$ 23,75 por uma viagem de 7 km.

Questão 2)

I) Visto que b depende do produto da taxa fixa com o número de corridas, temos que b= 5 • 10= 50

II) Como cada quilômetro rodado deve ser multiplicado por 2. Com isso, temos que este será o valor da taxa de variação, logo a= 2

III) Considerando R(x) como o valor arrecado pelo táxi e os dados do problema, a função será escrita na seguinte forma:

R(x)=2x + 50

IV) Visto que o valor arrecadado pelo táxi (R= 410) e os dados do problema, os quilômetros rodados pelo taxista será encontrado pela seguinte equação:

      2x + 50= 410

      2x= 410 - 50

      2x= 360

        x= 360 

               2

           x=180 km

V) Como o taxista fez dez corridas, a média de quilômetros rodados por corrida será:

        y= 180 

              10

         y=18 km/corrida

Resposta: Item c.

Questão 3) Para encontrarmos o valor de x para o qual f(x)=5, basta desenvolvermos a seguinte equação

       

          f(x)=3x+2

         5= 3x +2

          3x + 2=5

          3x= 5 - 2

          3x= 3

            x= 3 

                 3

             x=1

Resposta: Item b.

Questão 4)

I) Substituindo o tempo indicado na função,  podemos encontrar o peso final do atleta e verificar se ele consegue alcançar sua meta.

 Para que o problema seja resolvido, basta substituir P0 por 55 e t por 30 na expressão, pois seu valor deve ser dado em dias:

                P(t)= P0 + 0,19t

                P(30)= 55 + 0,19 • 30

                P(30)=55+ 5,7

                P(30)=60,7 kg

Resposta: O atleta terá 60,7 kg ao final de 30 dias. Logo, é possível para o atleta alcançar a sua meta fazendo unicamente este tratamento.

Questão 5) 

I) Como encontrar a raiz de uma função significa encontrar o valor para o qual f(x)=0, teremos a seguinte equação:

             3x - 6= 0

             3x= 0 + 6

             3x= 6

               x= 6 

                    3

                x=2

Resposta: Item c.

             

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://escolakids.uol.com.br/funcao-afim.htm

2-https://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/

3-https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/

4-https://www.stoodi.com.br/blog/2018/06/13/funcao-afim/

5-https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php
6-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-linear.htm
7-https://www.youtube.com/watch?v=kogxDV_Mhtw
8-https://blog.maxieduca.com.br/tipos-funcao-plinomial/imagem-5-2/

Função logarítmica

O que é?

Uma função logarítmica de base a é uma função escrita na forma f(x)=loga x, sendo a um número positivo, diferente de um e maior que zero.
Importante ressaltar que o logaritmo de um número é o expoente x pelo qual precisa se elevar uma base fixa a para obter o número b, tal como na imagem abaixo. Ou seja:

        
Fonte:https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/


Exemplos:
f(x)= log2 x
f(x)= log0,5 x
f(x)=log (x-6) x

Observação: O inverso da função logarítmica é a função exponencial.

Domínio da função logarítmica:

O domínio de uma função representa os valores de x pelos quais a função é definida. Na função logarítmica, o domínio delas deve respeitar as condições de existência do logaritmo.

Com  isso, a base e o logaritmando deve números positivos e diferentes de 1.

Exemplo:

Determine o domínio da função:

Log(x-2) (4 - x)

O domínio da função deve respeitar três condições:

I) x - 2> 0

    x> 0 +2

    x>2

II) 4 - x > 0

      -x > 0 -4

      -x> -4
(-1) -x > -4 (-1)

         x < 4

III) x - 2 ≠ 1
      x ≠ 1 + 2
      x ≠ 3

Resposta:{x ∈ R|  2< x <3 e 3 < x <4}

Gráficos:

Para que seja possível construir o gráfico de uma função logarítmica, é preciso que sejam analisadas duas situações:

a>1 (base maior que um)

0<a<1 (base maior que zero e menor que um)

               
Fonte:https://www.infopedia.pt/$funcao-logaritmica

Função crescente:

Quando uma função logarítmica é crescente, significa que a sua base é maior que 1 e que quando o valor de x, o da imagem aumenta também. (loga x2 > loga x1)

Para que isso seja comprovado, basta atribuir valores para x e calcular a imagem da função.

Função decrescente:

Quando uma função logarítmica é decrescente, significa que a sua base é maior que 0 e menor que 1 e que quando o valor de x aumenta, o da imagem diminui. (loga x1 > loga x2). 

Do mesmo modo que se constrói o gráfico de uma função logarítmica crescente, basta atribuir valores para x e calcular a imagem da função.

Características do gráfico da função logarítmica:

* O gráfico sempre passa pelo ponto (1,0) do plano cartesiano, pois o logaritmo sempre será zero.

* O gráfico só passa pela direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

* Como mencionado, a função inversa logarítmica é a função exponencial, sendo esta última definida como f(x)= a^x, onde a é um número real positivo e diferente de um.

Os gráficos destas funções inversas são simétricas em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Isso é importante porque ao conhecer o gráfico de uma função logarítmica, é possível construir um gráfico de uma função exponencial através de simetria entre as duas funções.

* Toda vez que aparecer log x, sem indicar a base em relação a qual se torna logaritmo, log x será entendido como log10 x

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Os valores de x que satisfazem a log x + log (x-5)= log 36 são:

a) 9 e -4

b)9 e 4

c) -4

d) 9

e) -5 e 4

Questão 2) Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária que paga juros mensais de 3,5% no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3500,00?
* Se necessário use log 1,035=0,0149, log 7= 0,8451

Questão 3) Estabeleça o domínio das seguintes funções:

a)y= log3 (x- 1/2)

b)y=log(x-1) (-3x + 9)

c)y= log(x + 2) (x^2 - 4)

Questão 4) (PUC) Assinale a alternativa válida sempre:

a) log (a • b)= log a • log b
b) log (a + b)= log a + log b
c)log m • a= m • log a
d)log a^m= log m • a
e)log a^m= m • log a

Resolução:

Questão 1)

I) Ao aplicar a propriedade de um logaritmo de um produto, obtemos a seguinte relação:

              log [x(x-5)]=log 36

              log (x^2 -5x)=log 36

II) Como as bases dos logaritmos são iguais, os logaritmandos também são iguais e a equação se desenvolve da seguinte forma:

                 x^2 - 5x=36

                 x^2 - 5x -36=0
Coeficientes da equação
a=1
b= -5
c= -36

III) Como a equação desenvolvida é uma do segundo grau, poderá ser resolvida através da fórmula de Bhaskara:

∆=b^2 - 4ac
∆= (-5)^2 - 4 • 1• (-36)
∆=25 + 144
∆=169

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-5)± √169 
         2 • 1

x= 5 ± 13 
         2

x'= 5 + 13 
          2
x'= 18 
       2

x'=9

x''= 5 - 13 
          2

x''= - 8 
         2

x''= -4

IV) Considerando que, para a equação ser satisfeita, x precisa ser maior que zero (x > 0). Portanto, o único valor que satisfaz a equação é nove.

Resposta:Item d

Questão 2)
I) O montante que resulta do tempo de aplicação dos juros compostos é dado pela seguinte expressão:

   M=C0 • (1 + i)^t

Onde:
M(montante)= R$ 3500,00
C0 (capital inicial)= R$ 500,00
i=3,5%=0,035
t=?


II) Substituindo os termos da expressão por seus respectivos valores numéricos, temos que:

        3500= 500 • (1 + 0,035)^t

          

         3500 = (1 + 0,035)^t

          500

           

            7= 1,035^t

III) Aplicando o logaritmo nos dois lados da equação temos:

         log 1,035^t= log 7

        t • log 1,035= log 7

        t • 0,0149= 0,8451

        t= 0,8451 

             0,0149

       t=56,7 meses

Resposta: O montante será de R$ 3500,00 após 56,7 meses de aplicação.

Questão 3)

a)y= log3 (x- 1/2)

I) O domínio da função precisa respeitar uma única condição que é:

             x - 1/2 > 0

             x> 0 + 1/2

             x>1/2

D={x ∈ R| x > 1/2}

b)y=log(x-1) (-3x + 9)

I) Para esta função, existem três restrições:

II) x - 1 > 0

     x > 0 +1

     x > 1

III) -3x + 9 >0

       -3x > -9 

         3x < 9

           x < 9/3

           x < 3

IV) x - 1≠ 1

       x≠ 1 +1

       x≠ 2

Resposta:D={x ∈ R|  1< x <2 e 2 < x < 3}

c)y= log(x + 2) (x^2 - 4)

I) Para esta função, existem três restrições:

II) x + 2 > 0

     x > 0 - 2

     x > -2

III)  x^2 - 4 >0

       x^2 > 4

          x  >±√4

           x > 2

           x < -2

IV) x + 2≠ 1

       x≠ 1 -2

       x≠ -1

Resposta:D={x ∈ R|  x >2 ou x ≠ -1 }

Questão 4) Resposta: Item e.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1- https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-i.htm

2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-logaritmica.htm
3-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-logaritmica.htm
4-https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-logaritmica.htm
6-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-logaritmica-ii.htm
7-https://www.infopedia.pt/$funcao-logaritmica
8-http://no-mundo-da-matemagica.blogspot.com/2013/07/problemas-de-logaritmos-envolvendo-o.html
9-https://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/funcao-logaritmica-e-exponencial

Tira-Dúvidas: Função exponencial

O que é?

É toda função na qual a variável se encontra no expoente. Ela é definida como f (x)= a^x, onde a>1 ou 0 < a < 1. 

Essas restrições existem porque um elevado a quaisquer números é igual a um. A base não pode ser igual a zero ou a um número negativo porque existem certos expoentes para os quais as funções não seriam definidas.

Exemplos:

F(x)= 2^x

f(x)= 3^x + 4

f(x)= 0,25^x
f(x)=0,1^x

Gráfico:

Toda função exponencial passa pelo ponto no plano cartesiano (0,1) porque todo número elevado a zero é igual a um. O gráfico destas funções deve ser desenhado a partir de duas situações:a função será crescente quando  a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.

                             
Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm

Função crescente :

Uma função exponencial crescente é aquela que respeita a condição a>1, ou seja, a base da  função é maior que um. Ela é conhecida por esse nome porque a medida que o expoente x aumenta, o conjunto imagem aumenta também. Para que esta informação seja constada, basta construir o gráfico da função. Para que isso seja feito, é necessário atribuir valores de x no expoente da função  e encontrarmos a imagem da mesma.

                  
Fonte:https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/

Função decrescente :

Uma função exponencial decrescente é aquela que respeita a condição 0 <a<  1, ou seja, a base da  função é maior que zero e menor que um. Ela é conhecida por esse nome porque a medida que o expoente x aumenta, o conjunto imagem diminui. O gráfico da função  exponencial decrescente é construído do mesmo modo que se constrói o gráfico da função exponencial crescente.

                 
Fonte:https://basematematica.com/exercicios-funcao-exponencial/

Aplicações da função exponencial:

As funções exponenciais são muito importantes em problemas que envolvem taxas de crescimento rápidas como decaimento radioativo de substâncias químicas, rendimentos financeiros capitalizados com juros compostos, crescimento populacional e entre outros.

Observação:

O inverso da função exponencial é a função logarítmica.

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1)(Mack - SP) Dada as funções f(x)= 2^ (x^2 - 4)  e g(x)= 4 ^ (x^2 - 2x), se x satisfaz  f(x)= g(x) então 2^x é igual a:

a) 1/4

b) 1 

c) 8

d) 4

e) 1/2

Questão 2) Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da seguinte expressão: N(t)= 2000 • 2^ 0,5t, sendo t em horas.
Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8 192 000?

Questão 3) ENEM (PPL) - 2015
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A  expressão que corresponde a proposta salarial (s), em função do tempo de serviço, em anos, é s(t)= 1800 • 1,03^t.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional com 2 anos de serviço será, em reais,

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62

Questão 4) Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.

                  g(x)=(3k+16)^x

5) Considerando que f(x)= 49^x, determine o valor de f(1,5).

Resoluções

Questão 1)
I) Sabendo que f(x)= g(x), temos que:

         2^(x^2 - 4)= 4 ^ (x^2 - 2x)

II) Aplicando algumas propriedades da potência, podemos reescrever o segundo membro da equação como:

          2^(x^2 -4)= (2^2) ^ (x^2 - 2x)

            2^( x^2 - 4)= 2^ 2(x^2 - 2x)

             

             2^( x^2 - 4)= 2^(2x^2 - 4x)

III) Valendo-se do princípio básico da resolução de equações exponenciais que afirma que se as bases forem iguais, obtemos uma relação de igualdade entre os expoentes. Teremos  a seguinte equação:

               x^2 -4= 2x^2 - 4x

                       0= 2x^2 -x^2 -4x + 4

                          x^2 - 4x + 4= 0

IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação temos:

∆=b^2 - 4ac
∆= (-4)^2 - 4 • 1• 4
∆=16 - 16
∆=0

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-4)± √0 
         2 • 1

x= 4 
     2

x= 2

V) Como o exercício pede o valor de 2^x e como sabemos que x=2 temos que:

 2^x= 2^2=4

Resposta: Item d

Questão 2)
Como a questão nos informa o número de bactérias, temos que N(t)= 8 192 000  e queremos o valor do tempo t. Podemos fazer isso substituindo o número bactérias na expressão de modo que:

N(t)= 2000 • 2^ 0,5t

2000 • 2^ 0,5t= 8 192 000
2^ 0,5t= 8 192 000 
                  2 000
2^ 0,5t = 4096

Decompondo o termo 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Temos a seguinte expressão:

2^ 0,5t= 2^12

Como as bases são iguais, os expoentes são iguais. Portanto, temos a seguinte equação

   0,5t= 12
     t   = 12
     2

     t= 12 • 2
     t= 24 horas

Resposta: A colônia terá 8 192 000 bactérias após 24 horas do início da observação.

Questão 3)
I) Sabendo que o salário é dado pela função exponencial s(t)= 1800 • 1,03^t e que o tempo de serviço do funcionário é de 2 anos (t=2), o salário deste profissional será igual a:

          s(t)= 1800 • 1,03^t
          s(t)= 1800 • 1,03^2
          s(t)= 1800 • 1,0609
          s(t)= 1909,62

Resposta: Item e.

Questão 4)
I) Para que a função exponencial seja crescente, a base tem que ser maior que um. Então teremos a seguinte inequação:

                3k + 16 > 1
                 3k> 1 - 16
                  3k> -15
                   k> - 15     
                            3

                  k> -5
Resposta: A função será crescente para k > -5.

Questão 5)
I) Primeiramente, escreveremos 1,5 como fração para facilitar os cálculos

    1,5= 15 = 3 
            10    2
II) Agora iremos calcular f(1,5)

        f(1,5)= 49^1,5
        f(1,5)= 49^ (3/2)
        f(1,5)= √49^3

III) Para tornar o calculo mais prático, 49 será escrito como 7^2
          f(1,5)=√(7^2)^3
            f(1,5)=√7^6
             f(1,5)=7^3
             f(1,5)= 343

Resposta: f(1,5)=343

Referências:

1-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm

2-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-exponencial.htm

3-https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial-exercicios/

4-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-exponencial.htm

5-https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/

6-https://basematematica.com/exercicios-funcao-exponencial/

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.