O que é?
É toda função na qual a variável se encontra no expoente. Ela é definida como f (x)= a^x, onde a>1 ou 0 < a < 1.
Essas restrições existem porque um elevado a quaisquer números é igual a um. A base não pode ser igual a zero ou a um número negativo porque existem certos expoentes para os quais as funções não seriam definidas.
Exemplos:
F(x)= 2^x
f(x)= 3^x + 4
f(x)= 0,25^x
f(x)=0,1^x
f(x)=0,1^x
Gráfico:
Toda função exponencial passa pelo ponto no plano cartesiano (0,1) porque todo número elevado a zero é igual a um. O gráfico destas funções deve ser desenhado a partir de duas situações:a função será crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.
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Função crescente :
Uma função exponencial crescente é aquela que respeita a condição a>1, ou seja, a base da função é maior que um. Ela é conhecida por esse nome porque a medida que o expoente x aumenta, o conjunto imagem aumenta também. Para que esta informação seja constada, basta construir o gráfico da função. Para que isso seja feito, é necessário atribuir valores de x no expoente da função e encontrarmos a imagem da mesma.
Função decrescente :
Uma função exponencial decrescente é aquela que respeita a condição 0 <a< 1, ou seja, a base da função é maior que zero e menor que um. Ela é conhecida por esse nome porque a medida que o expoente x aumenta, o conjunto imagem diminui. O gráfico da função exponencial decrescente é construído do mesmo modo que se constrói o gráfico da função exponencial crescente.
Aplicações da função exponencial:
As funções exponenciais são muito importantes em problemas que envolvem taxas de crescimento rápidas como decaimento radioativo de substâncias químicas, rendimentos financeiros capitalizados com juros compostos, crescimento populacional e entre outros.
Observação:
O inverso da função exponencial é a função logarítmica.
Dominando o conhecimento - Exercícios:
Questão 1)(Mack - SP) Dada as funções f(x)= 2^ (x^2 - 4) e g(x)= 4 ^ (x^2 - 2x), se x satisfaz f(x)= g(x) então 2^x é igual a:
a) 1/4
b) 1
c) 8
d) 4
e) 1/2
Questão 2) Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da seguinte expressão: N(t)= 2000 • 2^ 0,5t, sendo t em horas.
Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8 192 000?
Questão 3) ENEM (PPL) - 2015
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde a proposta salarial (s), em função do tempo de serviço, em anos, é s(t)= 1800 • 1,03^t.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional com 2 anos de serviço será, em reais,
a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62
Questão 4) Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.
g(x)=(3k+16)^x
5) Considerando que f(x)= 49^x, determine o valor de f(1,5).
Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8 192 000?
Questão 3) ENEM (PPL) - 2015
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde a proposta salarial (s), em função do tempo de serviço, em anos, é s(t)= 1800 • 1,03^t.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional com 2 anos de serviço será, em reais,
a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62
Questão 4) Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.
g(x)=(3k+16)^x
5) Considerando que f(x)= 49^x, determine o valor de f(1,5).
Resoluções
Questão 1)
I) Sabendo que f(x)= g(x), temos que:
I) Sabendo que f(x)= g(x), temos que:
2^(x^2 - 4)= 4 ^ (x^2 - 2x)
II) Aplicando algumas propriedades da potência, podemos reescrever o segundo membro da equação como:
2^(x^2 -4)= (2^2) ^ (x^2 - 2x)
2^( x^2 - 4)= 2^ 2(x^2 - 2x)
2^( x^2 - 4)= 2^(2x^2 - 4x)
III) Valendo-se do princípio básico da resolução de equações exponenciais que afirma que se as bases forem iguais, obtemos uma relação de igualdade entre os expoentes. Teremos a seguinte equação:
x^2 -4= 2x^2 - 4x
0= 2x^2 -x^2 -4x + 4
x^2 - 4x + 4= 0
IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação temos:
∆=b^2 - 4ac
∆= (-4)^2 - 4 • 1• 4
∆=16 - 16
∆=0
x= -b ± √∆
2a
x=-(-4)± √0
2 • 1
x= 4
2
x= 2
V) Como o exercício pede o valor de 2^x e como sabemos que x=2 temos que:
2^x= 2^2=4
Resposta: Item d
Questão 2)
Como a questão nos informa o número de bactérias, temos que N(t)= 8 192 000 e queremos o valor do tempo t. Podemos fazer isso substituindo o número bactérias na expressão de modo que:
N(t)= 2000 • 2^ 0,5t
2000 • 2^ 0,5t= 8 192 000
2^ 0,5t= 8 192 000
2 000
2^ 0,5t = 4096
Decompondo o termo 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Temos a seguinte expressão:
2^ 0,5t= 2^12
Como as bases são iguais, os expoentes são iguais. Portanto, temos a seguinte equação
0,5t= 12
t = 12
2
t= 12 • 2
t= 24 horas
Resposta: A colônia terá 8 192 000 bactérias após 24 horas do início da observação.
Questão 3)
I) Sabendo que o salário é dado pela função exponencial s(t)= 1800 • 1,03^t e que o tempo de serviço do funcionário é de 2 anos (t=2), o salário deste profissional será igual a:
s(t)= 1800 • 1,03^t
s(t)= 1800 • 1,03^2
s(t)= 1800 • 1,0609
s(t)= 1909,62
Resposta: Item e.
Questão 4)
I) Para que a função exponencial seja crescente, a base tem que ser maior que um. Então teremos a seguinte inequação:
3k + 16 > 1
3k> 1 - 16
3k> -15
k> - 15
3
k> -5
Resposta: A função será crescente para k > -5.
Questão 5)
I) Primeiramente, escreveremos 1,5 como fração para facilitar os cálculos
1,5= 15 = 3
10 2
II) Agora iremos calcular f(1,5)
f(1,5)= 49^1,5
f(1,5)= 49^ (3/2)
f(1,5)= √49^3
III) Para tornar o calculo mais prático, 49 será escrito como 7^2
f(1,5)=√(7^2)^3
f(1,5)=√7^6
f(1,5)=7^3
f(1,5)= 343
Resposta: f(1,5)=343
x=-(-4)± √0
2 • 1
x= 4
2
x= 2
V) Como o exercício pede o valor de 2^x e como sabemos que x=2 temos que:
2^x= 2^2=4
Resposta: Item d
Questão 2)
Como a questão nos informa o número de bactérias, temos que N(t)= 8 192 000 e queremos o valor do tempo t. Podemos fazer isso substituindo o número bactérias na expressão de modo que:
N(t)= 2000 • 2^ 0,5t
2000 • 2^ 0,5t= 8 192 000
2^ 0,5t= 8 192 000
2 000
2^ 0,5t = 4096
Decompondo o termo 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Temos a seguinte expressão:
2^ 0,5t= 2^12
Como as bases são iguais, os expoentes são iguais. Portanto, temos a seguinte equação
0,5t= 12
t = 12
2
t= 12 • 2
t= 24 horas
Resposta: A colônia terá 8 192 000 bactérias após 24 horas do início da observação.
Questão 3)
I) Sabendo que o salário é dado pela função exponencial s(t)= 1800 • 1,03^t e que o tempo de serviço do funcionário é de 2 anos (t=2), o salário deste profissional será igual a:
s(t)= 1800 • 1,03^t
s(t)= 1800 • 1,03^2
s(t)= 1800 • 1,0609
s(t)= 1909,62
Resposta: Item e.
Questão 4)
I) Para que a função exponencial seja crescente, a base tem que ser maior que um. Então teremos a seguinte inequação:
3k + 16 > 1
3k> 1 - 16
3k> -15
k> - 15
3
k> -5
Resposta: A função será crescente para k > -5.
Questão 5)
I) Primeiramente, escreveremos 1,5 como fração para facilitar os cálculos
1,5= 15 = 3
10 2
II) Agora iremos calcular f(1,5)
f(1,5)= 49^1,5
f(1,5)= 49^ (3/2)
f(1,5)= √49^3
III) Para tornar o calculo mais prático, 49 será escrito como 7^2
f(1,5)=√(7^2)^3
f(1,5)=√7^6
f(1,5)=7^3
f(1,5)= 343
Resposta: f(1,5)=343
Referências:
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.
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