O que é?
Equações de segundo grau são equações polinomiais cujo o termo de maior grau é quadrático, ou seja, está elevado ao quadrado. Ela é escrita na forma ax²+bx+c=0, sendo que os termos a,b e c pertencem aos números reais e a≠0. Se a=0, a equação se tornará do primeiro grau.
Nestas equações, x é a incógnita e representa um valor desconhecido.
Ela é muito importante para a física, engenharia, geometria e para muitos fins científicos.
Os parâmetros da equação quadrática são os seus coeficientes, que também são conhecidos como:
a-coeficiente principal
b-coeficiente secundário
c- termo independente
É importante ressaltar que a acompanha x², b acompanha x, c é sempre representado pelo termo independente.
Exemplo:
x²+ 5x + 6= 0 é uma equação cujo os coeficientes são a= 1; b= 5; c= 6
5x² - 4= 0 é uma equação cujo os coeficientes são a= 5; b= 0; c= -4
9x² - 5x=0 é uma equação cujo os coeficientes são a= 9; b= -5; c=0
Resolver uma equação do segundo grau significa encontrar valores que tornem a equação verdadeira. Estes valores são conhecidos como raízes da equação. É importante mencionar que um dos maiores motivos para as soluções da equação quadrática serem conhecidas como raízes da equação é porque existe uma radiciação na fórmula de Bhaskara.
Existem diversas maneiras para solucionar estas equações que logo serão explicadas.
Nestas equações, x é a incógnita e representa um valor desconhecido.
Ela é muito importante para a física, engenharia, geometria e para muitos fins científicos.
Os parâmetros da equação quadrática são os seus coeficientes, que também são conhecidos como:
a-coeficiente principal
b-coeficiente secundário
c- termo independente
É importante ressaltar que a acompanha x², b acompanha x, c é sempre representado pelo termo independente.
Exemplo:
x²+ 5x + 6= 0 é uma equação cujo os coeficientes são a= 1; b= 5; c= 6
5x² - 4= 0 é uma equação cujo os coeficientes são a= 5; b= 0; c= -4
9x² - 5x=0 é uma equação cujo os coeficientes são a= 9; b= -5; c=0
Resolver uma equação do segundo grau significa encontrar valores que tornem a equação verdadeira. Estes valores são conhecidos como raízes da equação. É importante mencionar que um dos maiores motivos para as soluções da equação quadrática serem conhecidas como raízes da equação é porque existe uma radiciação na fórmula de Bhaskara.
Existem diversas maneiras para solucionar estas equações que logo serão explicadas.
Equação do segundo grau completa e incompleta:
Completa: É toda equação quadrática cujo a, b, c ≠ 0. Um exemplo de equação do segundo grau completa é 5x²+2x + 2=0, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a= 5; b=2; c=2)
Incompleta:É toda equação na qual b=0 ou c=0 ou b=c=0. Exemplo de equação incompleta do segundo grau é: 4x² -16= 0 porque os coeficientes são: a=4, b=0, c= -16
Resolução de equações do segundo grau:
Antes de se tentar solucionar qualquer equação do segundo grau, é importante analisar a equação do grau para saber se ela é completa ou incompleta. Caso ela seja completa, ela será resolvida de um jeito e se for incompleta, será de outro.
O mais conhecido método de resolução destas equações é a formula de Bhaskara, que se encontra na imagem abaixo.
Fonte:https://www.estudopratico.com.br/formula-de-bhaskara-origem-importancia-e-exemplos/
O mais conhecido método de resolução destas equações é a formula de Bhaskara, que se encontra na imagem abaixo.
Fonte:https://www.estudopratico.com.br/formula-de-bhaskara-origem-importancia-e-exemplos/
Fórmula de Bhaskara (Resolução de equações quadráticas completas)
Quando uma equação do segundo grau é completa, pode-se utilizar a fórmula de Bhaskara para solucionar a equação. A fórmula é expressa da seguinte maneira:
x= -b ± √∆
2a
∆= b² - 4ac
Para que a fórmula seja aplicada perfeitamente, deve-se realizar os seguintes passos:
Primeiro: Escreva os valores dos coeficientes a, b e c
Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax^2 + bx + c= 0. Desse modo, basta ler a equação, determinar os valores numéricos de a, b e c para facilitar a resolução da equação.
Segundo passo: Determine o discriminante delta (∆) pela expressão ∆= b² - 4ac
Terceiro passo: Determine x
Agora que o valor de delta é conhecido, os valores podem ser determinados através da seguinte expressão:
x= -b ± √∆
2a
É importante ressaltar que o sinal ± indica que x possui dois valores: o primeiro para a raiz negativa de √∆ e o segundo para a raiz positiva de delta.
Exemplo 1: x² - 5x + 6= 0
I) Encontrando os coeficientes da equação temos:
a=1
b=-5
c=6
II) Dado os coeficientes da equação, o discriminante será dado como:
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 •6
∆=25 - 24
∆= 1
III) Agora, iremos obter o x substituindo os valores na expressão
x= -b ± √∆
2a
x=5 ± √1
2•1
x=5 ± √1
2
Para √∆ negativo, temos:
x'=5-1
2
x'=4
2
x'=2
Para √∆ positivo, temos:
x''=5+1
2
x''=6
2
x''=3
Resposta: S= {2, 3}
Exemplo 2: Encontre as raízes da equação 4x² -4x + 1=0
I) Encontrando os coeficientes da equação temos:
a=4
b=-4
c=1
II) Dado os coeficientes da equação, o discriminante será dado como:
∆= b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 4 •1
∆=16-16
∆= 0
III) Agora, iremos obter o x substituindo os valores na expressão
x= -b ± √∆
2a
De modo que:
x=-(-4) ± √0
2 • 4
x= 4
8
x = 1
2
x'=x''= 1
2
Resposta: S={ 1 }
2
Observações importantes: O valor de ∆ pode ser usado como parâmetro para definir as raízes da equação, considerando as seguintes situações
* ∆=0- a equação possui duas raízes reais iguais
*∆>0- a equação possui duas raízes reais distintas
*∆<0- a equação não possui raízes reais
Ao calcular o valor de ∆, o aluno se depara com um jogo de sinais. É preciso ter muita atenção ao termo "-4ac", visto que, muitas vezes, c possui um valor negativo, o que torna esse termo positivo por conta do jogo de sinais.
O mesmo acontece na determinação de x, visto que existe um "-b " na fórmula. Se b for negativo, por causa do jogo de sinais, será positivo na aplicação da fórmula de Baskhara.
Para facilitar a memorização da fórmula, é importante escrever a fórmula em cada exercício que for resolver.
2a
∆= b² - 4ac
Para que a fórmula seja aplicada perfeitamente, deve-se realizar os seguintes passos:
Primeiro: Escreva os valores dos coeficientes a, b e c
Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax^2 + bx + c= 0. Desse modo, basta ler a equação, determinar os valores numéricos de a, b e c para facilitar a resolução da equação.
Segundo passo: Determine o discriminante delta (∆) pela expressão ∆= b² - 4ac
Terceiro passo: Determine x
Agora que o valor de delta é conhecido, os valores podem ser determinados através da seguinte expressão:
x= -b ± √∆
2a
É importante ressaltar que o sinal ± indica que x possui dois valores: o primeiro para a raiz negativa de √∆ e o segundo para a raiz positiva de delta.
Exemplo 1: x² - 5x + 6= 0
I) Encontrando os coeficientes da equação temos:
a=1
b=-5
c=6
II) Dado os coeficientes da equação, o discriminante será dado como:
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 •6
∆=25 - 24
∆= 1
III) Agora, iremos obter o x substituindo os valores na expressão
x= -b ± √∆
2a
x=5 ± √1
2•1
x=5 ± √1
2
Para √∆ negativo, temos:
x'=5-1
2
x'=4
2
x'=2
Para √∆ positivo, temos:
x''=5+1
2
x''=6
2
x''=3
Resposta: S= {2, 3}
Exemplo 2: Encontre as raízes da equação 4x² -4x + 1=0
I) Encontrando os coeficientes da equação temos:
a=4
b=-4
c=1
II) Dado os coeficientes da equação, o discriminante será dado como:
∆= b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 4 •1
∆=16-16
∆= 0
III) Agora, iremos obter o x substituindo os valores na expressão
x= -b ± √∆
2a
De modo que:
x=-(-4) ± √0
2 • 4
x= 4
8
x = 1
2
x'=x''= 1
2
Resposta: S={ 1 }
2
Observações importantes: O valor de ∆ pode ser usado como parâmetro para definir as raízes da equação, considerando as seguintes situações
* ∆=0- a equação possui duas raízes reais iguais
*∆>0- a equação possui duas raízes reais distintas
*∆<0- a equação não possui raízes reais
Ao calcular o valor de ∆, o aluno se depara com um jogo de sinais. É preciso ter muita atenção ao termo "-4ac", visto que, muitas vezes, c possui um valor negativo, o que torna esse termo positivo por conta do jogo de sinais.
O mesmo acontece na determinação de x, visto que existe um "-b " na fórmula. Se b for negativo, por causa do jogo de sinais, será positivo na aplicação da fórmula de Baskhara.
Para facilitar a memorização da fórmula, é importante escrever a fórmula em cada exercício que for resolver.
Resolução de equações quadráticas incompletas:
Equações do segundo grau do tipo ax² + bx=0 e ax² + c=0, com a≠0 são conhecidas como conhecidas equações incompletas.
Uma equação incompleta do segundo grau pode ser resolvida através da fórmula de Baskhara da mesma forma que uma equação completa, mas aqui será mostrado métodos mais simples para a solução destas equações.
Considere as equações abaixo:
3x² - 2x=0
x² + x=0
8x² + 6x=0
8x² + 6x=0
Estas equações são da forma ax² + bx=0
Toda equação que não possui o termo independente, ou seja, c=0, admite que uma das suas soluções da equação é x'=0. Como todos os termos da equação dependem de x, e x é nulo, todos os termos da equação serão anulados.
Sabendo que uma das raízes da equação é zero. Determinaremos a outra raíz através da fatoração do primeiro membro da equação:
ax²+ bx=0
ax^2= -bx
Dividindo os termos por x, temos que:~
ax²=-bx (÷ x)
ax=-b
x''= - b
a
O conjunto solução para equações do tipo ax^2 + bx=0 é dado por:
S={0, - b}
a
Exemplo:
3x² -2x=0
a= 3
b= -2
Uma das soluções é
x'=0
A segunda é dada por:
x''= - b = -(-2)= 2
a 3 3
Resposta: S={0, 2}
Exemplo:
3x² -2x=0
a= 3
b= -2
Uma das soluções é
x'=0
A segunda é dada por:
x''= - b = -(-2)= 2
a 3 3
Resposta: S={0, 2}
3
Exemplo 2:
x² + x=0
a=1
b= 1
Uma das soluções é:
x'=0
A segunda é dada por:
x''= - b = -(1) = -1 = -1
a 1 1
S={0, -1}
Exemplo 3:
8x² + 6x=0
a=8
b=6
Uma das soluções é:
x'=0
A segunda é dada por:
Exemplo 2:
x² + x=0
a=1
b= 1
Uma das soluções é:
x'=0
A segunda é dada por:
x''= - b = -(1) = -1 = -1
a 1 1
S={0, -1}
Exemplo 3:
8x² + 6x=0
a=8
b=6
Uma das soluções é:
x'=0
A segunda é dada por:
x''= - b = - 6 = - 3
a 8 4
S={0, - 3 }
4
Este procedimento é mais prático que aplicar a fórmula de Bhaskara e economiza mais tempo em uma prova.
Vamos agora aprender a resolver equações do segundo grau incompletas do tipo ax² + c=0 com o coeficiente b= 0.
Para estas equações também existem procedimentos que facilitam suas soluções, apesar de que x'=0 não é solução da equação. Neste caso, vamos encontrar uma fórmula que facilite a resolução destas equações.
Para este tipo de equação temos:
ax² + c= 0
ax²= -c
x²= -c/a
x=√-c/a
Logo, o conjunto solução para equações do tipo ax² + c=0 é dado por:
S={±√-c/a}
Se os coeficientes c e a tiverem sinais contrários. Caso c e a tenham o mesmo sinal, S={} para x ∈ R.
Exemplo 1:
x² - 2= 0
a=1
c=-2
Solução:
x= √-c/a= √- (-2)/1= √2/1= √2
S= {±√2}
Exemplo 2:
2x² + 1=0
a=2
c=1
Solução: Como os coeficientes a e c têm o mesmo sinal, S={}
x''= -1 - 5 = -6 = -3
2 2
Resposta: Os números são -3 e 2. Item c.
Questão 5)
I) Considerando a medida do lado do quadrado como x, as medidas deste retângulo serão x + 12 e
x - 8. Como a área do retângulo é 96 cm^2, desenvolvemos a seguinte equação:
(x - 8)(x + 12)= 96
x² + 4x - 96= 96
x² + 4x -96 -96=0
x² + 4x - 192=0
Vamos agora aprender a resolver equações do segundo grau incompletas do tipo ax² + c=0 com o coeficiente b= 0.
Para estas equações também existem procedimentos que facilitam suas soluções, apesar de que x'=0 não é solução da equação. Neste caso, vamos encontrar uma fórmula que facilite a resolução destas equações.
Para este tipo de equação temos:
ax² + c= 0
ax²= -c
x²= -c/a
x=√-c/a
Logo, o conjunto solução para equações do tipo ax² + c=0 é dado por:
S={±√-c/a}
Se os coeficientes c e a tiverem sinais contrários. Caso c e a tenham o mesmo sinal, S={} para x ∈ R.
Exemplo 1:
x² - 2= 0
a=1
c=-2
Solução:
x= √-c/a= √- (-2)/1= √2/1= √2
S= {±√2}
Exemplo 2:
2x² + 1=0
a=2
c=1
Solução: Como os coeficientes a e c têm o mesmo sinal, S={}
Dominando o conhecimento - Exercícios:
Questão 1) A idade da minha mãe multiplicada pela minha é igual a 525. Se quando eu nasci, minha tinha 20 anos, quantos anos eu tenho?
Questão 2) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você obterá o quíntuplo deste número. Qual é esse número?
Questão 3) Resolva a seguinte equação do segundo grau 5x² - 3125 sem utilizar a fórmula de Bhaskara.
Questão 4) Para que x=1 seja raiz da equação 2ax² + (2a² -a - 4)x - (2 + a²), os valores de a deverão ser:
a) 3 e 2
b)-1 e 1
c)2 e -3
d)0 e 2
e)-3 e -2
Questão 5) Se subtrairmos 8 cm ao lado de um quadrado e adicionarmos 12 cm ao outro obtemos um retângulo de 96 cm^2. Qual a medida do lado deste quadrado?
Questão 6) Resolva a equação x² - 4x - 5= 0
Questão 6) Resolva a equação x² - 4x - 5= 0
Resoluções:
Questão 1)
I) Considerando a minha idade x. A idade de minha mãe será x + 20. Como sabemos o produto destes dois valores, temos que:
x(x+20)= 525
x² + 20x= 525
x² + 20x - 525= 0
I) Ao analisar a equação, pode-se perceber que ela é uma equação do segundo grau completa e temos os seguintes coeficientes.
a=1
b=20
c= -525
III) Dado os coeficientes, agora é possível aplicar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da equação, ou seja, os valores de x nos quais a equação dá zero.
Primeiramente, é necessário calcular o valor do discriminante da equação.
∆= b² - 4ac
∆= 20^2 - 4 • 1 • (-525)
∆= 400 + 2100
∆= 2500
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação e consequentemente a minha idade.
x= -b ± √∆
2a
x=-20 ± √2500
2
x= -20 ± 50
2
2
x'=-20 + 50 = 30 = 15
2 2
x''= -20 - 50 = -70 = -35
2 2
Resposta: Como a minha idade não pode ser negativa, é possível concluir que tenho 15 anos.
Questão 2)
I) Sabendo que o produto de x por ele mesmo é x^2 e que este número subtraído por catorze é igual ao seu quíntuplo, temos a seguinte equação.
x² - 14=5x
x² - 5x - 14= 0
II) Ao analisar a equação, pode-se perceber que ela é uma equação do segundo grau completa e temos os seguintes coeficientes.
a=1
b= -5
c= -14
III) Dado os coeficientes, agora é possível aplicar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da equação, ou seja, os valores de x nos quais a equação dá zero.
Primeiramente, é necessário calcular o valor do discriminante da equação.
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • (-14)
∆= 25 + 56
∆= 81
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação.
x= -b ± √∆
2a
x= -(-5)± √81
2•1
x= 5 ± 9
2
x'= 5 + 9 = 14= 7
2 2
x''=5 - 9 = -4 = -2
2 2
Resposta: O número real pode ser 7 ou -2.
Questão 3)
I) Ao analisar a equação do problema, pode-se perceber que ela é uma equação do segundo grau incompleta do tipo ax^2 + c e temos os seguintes coeficientes.
5x² - 3125 = 0
a=5
b=0
c=-3125
II) Podemos resolver a equação pelo seguinte método:
x=√-c/a=√-(-3125)/5=√ 3125/5= ±√625= ± 25
Resposta: S={(± 25)}
Questão 4)
I) Para que x seja igual 1, a expressão se desenvolverá da seguinte maneira.
2 • a • x² + (2a² -a - 4)x - (2 + a²)=
2a • 1² + (2a² -a - 4) • 1 - (2 - a²)=
2a+ 2a² - a - 4 - 2 - a²=
2a²- a²+ 2a- a - 4 - 2=
a² + a - 6= 0
II) Ao analisar a equação, pode-se perceber que ela é uma equação do segundo grau completa e temos os seguintes coeficientes.
a=1
b= 1
c= -6
III) Dado os coeficientes, agora é possível aplicar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da equação, ou seja, os valores de x nos quais a equação dá zero.
Primeiramente, é necessário calcular o valor do discriminante da equação.
∆= b² - 4ac
∆= 1² - 4 • 1 • (-6)
∆= 1 + 24
∆= 25
∆= b² - 4ac
∆= 1² - 4 • 1 • (-6)
∆= 1 + 24
∆= 25
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação.
x= -b ± √∆
2a
x=-1 ± √25
2 • 1
x=-1 ± 5
2
x'= -1 + 5 = 4 = 2
2 2
2a
x=-1 ± √25
2 • 1
x=-1 ± 5
2
x'= -1 + 5 = 4 = 2
2 2
x''= -1 - 5 = -6 = -3
2 2
Resposta: Os números são -3 e 2. Item c.
Questão 5)
I) Considerando a medida do lado do quadrado como x, as medidas deste retângulo serão x + 12 e
x - 8. Como a área do retângulo é 96 cm^2, desenvolvemos a seguinte equação:
(x - 8)(x + 12)= 96
x² + 4x - 96= 96
x² + 4x -96 -96=0
x² + 4x - 192=0
II) Ao analisar a equação, pode-se perceber que ela é uma equação do segundo grau completa e temos os seguintes coeficientes.
a=1
b= 4
c= -192
III) Dado os coeficientes, agora é possível aplicar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da equação, ou seja, os valores de x nos quais a equação dá zero.
Para que isso seja possível, é necessário calcular o valor do discriminante da equação.
∆= b² - 4ac
∆= 4^2 - 4 • 1• (-192)
∆=16 + 768
∆= 784
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação e, consequentemente, a medida do lado do quadrado.
x= -b ± √∆
2a
x= -4 ± √784
2 • 1
x= -4 ± 28
2
x'= -4 + 28 = 24 =12
2 2
∆= b² - 4ac
∆= 4^2 - 4 • 1• (-192)
∆=16 + 768
∆= 784
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação e, consequentemente, a medida do lado do quadrado.
x= -b ± √∆
2a
x= -4 ± √784
2 • 1
x= -4 ± 28
2
x'= -4 + 28 = 24 =12
2 2
x''= -4 - 28 = -32 = -16
2 2
Resposta: Como não existe medidas negativas para representar a medida do lado de um quadrado, o lado deste quadrado mede 12 cm.
Questão 6)
2 2
Resposta: As raízes da equação são dadas pelo conjunto solução S= {(-1, 5)}.
Questão 6)
I) Ao analisar a equação, pode-se perceber que ela é uma equação do segundo grau completa e temos os seguintes coeficientes.
x² - 4x - 5= 0
a=1
a=1
b= -4
c= -5
x''= 4 - 6= -2= -1
II) Dado os coeficientes, agora é possível aplicar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da equação, ou seja, os valores de x nos quais a equação dá zero.
Para que isso seja possível, é necessário calcular o valor do discriminante da equação.
∆= b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 1• (-5)
∆=16 + 20
∆= 36
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação.
x= -b ± √∆
2a
x= -(-4) ± √36
2 • 1
x= 4 ± 6
2
x'= 4 + 6= 10= 5
2 2
∆= b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 1• (-5)
∆=16 + 20
∆= 36
IV) Agora, a fórmula de Bhaskara poderá ser utilizada para determinar as raízes da equação.
x= -b ± √∆
2a
x= -(-4) ± √36
2 • 1
x= 4 ± 6
2
x'= 4 + 6= 10= 5
2 2
2 2
Resposta: As raízes da equação são dadas pelo conjunto solução S= {(-1, 5)}.
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.
Referências:
2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
3-https://www.todamateria.com.br/equacao-do-2-grau-exercicios/
4-http://geniodamatematica.com.br/como-resolver-equacao-do-2o-grau/
5-https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
6-https://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes2.php
7-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tres-passos-para-resolver-uma-equacao-segundo-grau.
8-http://www.tirando10.com.br/teste1/matematica/formula-de-bhaskara.html
9 -http://geniodamatematica.com.br/formula-de-bhaskara/
10-https://mat.absolutamente.net/joomla/images/recursos/documentos_curriculares/3ciclo/a_equacoes_g2.pdf
11-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-2-grau.htm
3-https://www.todamateria.com.br/equacao-do-2-grau-exercicios/
4-http://geniodamatematica.com.br/como-resolver-equacao-do-2o-grau/
5-https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
6-https://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes2.php
7-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tres-passos-para-resolver-uma-equacao-segundo-grau.
8-http://www.tirando10.com.br/teste1/matematica/formula-de-bhaskara.html
9 -http://geniodamatematica.com.br/formula-de-bhaskara/
10-https://mat.absolutamente.net/joomla/images/recursos/documentos_curriculares/3ciclo/a_equacoes_g2.pdf
11-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-2-grau.htm
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