Teorema de Stewart

 Introdução:

Em geometria plana, o Teorema de Stewart é uma relação entre os lados de um triângulo e uma ceviana dada. Tem esse nome em homenagem ao matemático escocês Mattew Stewart, responsável por publicar o teorema no ano de 1746.

Teorema:

Seja a, b, c os lados do triângulo ABC da figura abaixo. Sendo p uma ceviana divide o lado a em dois segmentos de medidas m e n, teremos a seguinte relação:

b² • n + c² • m= a • (p² + m • n)

Demonstração:

Aplicando a lei dos cossenos nos dois triângulos formados pelo segmento CD na figura abaixo, teremos:

b²= p² + m² -2pm cos θ  (eq.I)

c²=p² + n² - 2pn cos (180° - θ) (eq.II)

Lembrando que cos (180° - θ)= -cos θ, teremos em eq.II:

c²=p² + n² + 2pn cos θ

Isolando cos θ em ambas as equações, teremos:

b²= p² + m² -2pm • cos θ =>cos θ= (p² + m² - b²)/2pm

c²=p² + n² + 2pn • cos θ => cos θ= (c² - p² - n²)/2pn

Visto que as duas expressões representam cos θ, teremos:

(p² + m² - b²)/2pm= (c² - p² - n²)/2pn

Simplificando:

(p² + m² - b²)/m=(c² - p² - n²)/n

n • (p² + m² - b²)= m • (c² - p² - n²)

n • p² + n • m² - n • b²= m •c² - m • p² - m • n²

n• p² + n • m² + m • p² + m • n²= m • c² + b² • n

p² • (m + n) + mn • (m + n)= m • c² + b² • n

Pela figura, a=m +n. Substituindo

p² • a+ mn • a= m • c² + b² • n

a • (p² + mn)= c² • m +  b² • n

c² • m +  b² • n= a • (p² + mn) (c.q.d)

Este teorema pode também ser provado pelo Teorema de Pitágoras.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. 

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia. 

Desafios de Matemática 9.0

Questão 1) (ITA - 1985) Dada a equação 5^2x + 3^2x- 15^x= 0, podemos afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça

b) x= log₃ 5 é a solução desta equação.

c) x= log₅ 3 é a solução desta equação.

d)x=log₅15 é a solução desta equação.

e)x= log₅ 15 é a solução desta equação.

Questão 2) (ITA-2000) A soma das raízes positivas 4^{x^2}- 5 • 2^{x^2} + 4= 0 vale:

a) 2

b) 5

c) √2

d) 1

e) √3

Questão 3)(ITA-1992) Seja α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]. O conjunto solução da desigualdade  

2^{sen x} ≤ (2/3)^α no intervalo [0, 2π) é:

a) [0, π/3] U [2π/3,2π)

b)[0, 7π/6] U [5π/3, 2π)

c) [0, π/4] U [5π/3, 2π)

d) [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Questão 4) (ITA-2008) Para x ∈ IR, o conjunto solução da equação |5^3x – 5^{2x + 1} + 4•5^x|= |5^x -1| é:

a) S= {0, 2 ±√5, 2 ±√3}

b) S= {0,1,log₅ (2 +√5)}

c) S= {0,1/2 • log₅ (3),log₅ (√2/2)}

d) S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

e) A única solução é x=0

Resoluções:

Questão 1)

I) Dividindo ambos os membros da equação dada por 15^x:

Obs:  15^x= 3^x • 5^x

(5^2x + 3^2x- 15^x= 0)/(15^x)

(5^x•5^x + 3^x•3^x - 3^x • 5^x= 0)/(3^x • 5^x)

(5/3)^x + (3/5)^x -1= 0

II) Chamando y=(5/3)^x, teremos:

y+ 1/y - 1= 0

III) Multiplicando ambos os membros por y:

y² +1 -y= 0

y²- y + 1= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-1)² - 4 • 1 • 1= 1 - 4

∆= -3 (equação não possui soluções reais)

IV) Visto que y não possui soluções reais, x também não possuíra. Assim sendo, não existe solução real que satisfaça a equação.

Resposta: Item a

   

Questão 2)

I) Ajustando alguns termos da equação:

 4^{x^2}- 5•2^{x^2} + 4= 0 

2^{2x^2}- 5•2^{x^2} + 4

II) Chamando y=2^{x^2}, teremos:

y²- 5y + 4= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-5)² - 4 • 1 • 4= 25 - 16

∆= 9

y=  5 ±  √9   =   5 ± 3  

         2•1              2

y'= (5 + 3)/2= 4

y"= (5 - 3)/2= 1

III) Visto que y= 2^{x^2}, teremos:

*Primeiro caso

y'= 4 =>  2^{x^2}=4 =>2^{x^2}=2² 

x² = 2 => x±√2

* Segundo caso

y'= 1 =>  2^{x^2}=1 =>2^{x^2}=2⁰ 

x² = 0=> x=0 

IV) A única raiz positiva da equação é √2, visto que as demais são iguais a zero ou negativas. Assim sendo, a soma das raízes positivas é √2.

Resposta: Item c.

Questão 3)

I) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/log (2/3)]

II) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

*log 2= log_2/3 (2)/log_2/3 (10)

*log2/3= log2/3(2/3)/log_2/3 (10)

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))/(log2/3(2/3)/log_2/3 (10))]

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))] • [log_2/3 (10)/1]

α= (1/2) • log_2/3 (2)

α= log_2/3 (√2)

III) Substituindo α na desigualdade dada:

2^{sen x} ≤ (2/3)^α 

2^{sen x} ≤ (2/3)^log_2/3 (√2)

2^{sen x} ≤ √2

2^{sen x} ≤ 2^1/2 => sen x ≤ 1/2

IV) Resolvendo a inequação trigonométrica no círculo trigonométrico (solução na imagem abaixo).

* A parte pintada do círculo representa a solução da equação
-Gente, sei que o círculo não tá perfeito, mas pensem que tá (kkkkk).

A partir da solução apresentada no círculo trigonométrico é dada por:

S=  [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Resposta: Item d

Questão 4)

I) Chamando y=5^x, teremos:

|5^3x – 5^{2x + 1} + 4• 5^x|= |5^x -1|

|5^3x – 5^2x • 5 + 4• 5^x|= |5^x -1|

|y³ – 5y² + 4y|= |y -1|

II) Visto que a equação é modular teremos duas equações para resolver:

* Primeiro caso

y³ – 5y² + 4y= y -1

y³ – 5y² + 3y + 1= 0

III) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontramos que:

y= 1 

y³ – 5y² + 3y + 1= (y -1) (y² - 4y - 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (-1)= 16 + 4

∆= 20

y=  4 ± √20   =   4 ± 2√5  

          2                  2

y=  2 ±√5 

OBS: y"=2 - √5  não é uma solução da equação, pois y= 5^x=> y > 0

IV) Segundo caso:

y³ – 5y² + 4y= -y + 1

y³ – 5y² + 5y - 1= 0

V) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos novamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontraremos que:

y= 1 (essa raiz já foi encontrada antes)

y³ – 5y² + 5y - 1= (y -1) (y² - 4y + 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (1)= 16 - 4

∆= 12

y=  4 ± √12   =   4 ± 2√3  

          2                   2

y=  2 ±√3 

As raízes encontradas são {1, 2 +√5, 2 +√3, 2 - √3)

VII) Sendo y=5^x, teremos:

 5^x= 1 => x= 0 

5^x= 2 + √5   => x= log₅ (2 +√5)

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 +√3) 

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 - √3) 

VIII) Resolvidas as equações desenvolvidas, temos o seguinte conjunto solução para a equação dada:

S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

Resposta: Item d

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. 

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia. 

Desafios de matemática 8.0

Questão 1- (ITA) Considere o triângulo ABC de lados a = BC b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB , β = ABC e γ = BCA . Sabendo-se que a equação x² − 2bx cos α + b² − a² = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que:

A) α = 90°. 

B) β = 60°. 

C) γ = 90°. 

D)  O triângulo é retângulo apenas se α = 45°.

E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa

Questão 2- (Fatec-SP) No triângulo ABC da figura tem-se que BM é a mediana relativa ao lado AC , o ângulo BÂC é reto, α é a medida do ângulo M Bˆ C e β é a medida do ângulo A Bˆ M

Sabendo que BC = 13 e AB = 5, então tg α é igual a 

A) 30/97

B) 47/90 

C) 30/49 

D) 6/5 

E) 12/5

Fonte:http://www.vestiprovas.com.br/questao.php?questao=fatec-sp-2008-2-22-matematica-geometria-plana-8095

Questão 3) (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b, √(a² + ab + b²), quanto mede o maior ângulo do triângulo?

a) 30°

b) 45°

c) 60°

d) 90°

e) 120°

Questão 1- Resolução:

I) O triângulo descrito é representado pela seguinte figura:

II) Visto que a equação apresenta duas raízes idênticas iguais c, ∆=0. Com isso teremos:

∆= b² - 4ac= 0

∆= (2b • cos α )² - 4 • 1 • (b² − a²)= 0

∆= 4b² • cos² α - 4b² + 4a²= 0

4a²= 4b² - 4b² • cos² α

Simplificando a equação

a²= b² - b² • cos² α

a²= b²(1 - cos² α)

a²= b² • sen² α

a= b • sen α (eq.i)

III)  Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação dada, teremos:

c=[ -(- 2b cos α) ±  0]/2

c= (2b cos α)/2

c= b • cos α (eq.ii)

IV) Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo da figura acima, teremos:

b²= a² + c² - 2ac • cos β (eq.iii)

Substituindo eq.i e ii em eq.iii, teremos:

b²= (b² • sen² α) + (b² • cos² α) - 2 • (b • sen α) • (b • cos α) • cos β (eq.iii)

b²= (b² • sen² α) + (b² • cos² α) - b² • sen 2α  • cos β

Simplificando a expressão

1= sen² α + cos² α -  sen 2α  • cos β

1= 1 -  sen 2α  • cos β

-sen 2α  • cos β= 0

sen 2α  • cos β= 0

V) A partir da equação obtida, temos

sen 2α= 0 => α= 0 (não serve)

  ou

cos β= 0 => β= 90° 

Visto que β= 90°, b é hipotenusa.

Resposta: Item E

Resolução da questão 2:

I) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, teremos:

13²= AC² + 5² => AC= 12

II) Aplicando trigonometria nos triângulos ABC e ABM

* No triângulo ABC

tg (α + β)= 12/5 

*No triângulo ABM

AM= 6 (porque BM é mediana e divide AC em dois lados iguais)

tg β= 6/5

III) Aplicando tangente da soma de dois ângulos

tg (α + β)=     tg α + tg β     =  12  

                    1 - tg α • tg β        5

5 tg α + 5tg β = 12 - 12tg α tg β

Substituindo tg β= 6/5

5 tg α + 6 = 12 - 72tg α  

                               5

Multiplicando ambos os membros por 5

25tg α + 30= 60 - 72tg α

97tg α= 30 => tg α= 30/97

Resposta: tg α= 97/30. Item A

Resolução da questão 3:

I) Sabe-se que o maior ângulo é oposto ao maior  lado. Sabendo que √(a² + ab + b²) é o maior lado do triângulo, podemos encontrar o ângulo em questão (denotado por α).

Aplicando a lei dos cossenos

[√(a² + ab + b²)]²= a² + b² - 2ab • cos α

a² + ab + b²= a² + b² - 2ab • cos α

- 2ab • cos α= ab

-2 • cos α= 1

cos α= -1/2 => α= 120° (item e)

Resposta: 120°- item e.

Agradecimentos:

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Estou na Olimpíada Latino Americana de Astronomia (OLAA) e estudando muito para alcançar um bom resultado. Por causa disso, reduzirei o número de postagens que farei, passando de 3 postagens por mês para apenas uma. Agradeço a compreensão de todos.

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.

Transformações de soma em produto (Werner)

 Introdução:

As fórmulas de transformação de produto, também conhecidas como Fórmulas de Werner ou de Prostáferese, são amplamente utilizadas na fatoração de expressões como sen x + sen y, cos x - cos y, cos x + cos y e outras. Para obter as fórmulas mencionadas, utilizaremos algumas transformações trigonométricas já conhecidas (soma e subtração de arcos).

I) sen x + sen y e sen x - sen y

A partir do seno da soma e da diferença de dois ângulos, encontraremos as fórmulas de sen x + sen y e  sen x - sen y.

sen (a + b)= sen a cos b + sen b cos a (I)

sen (a - b)= sen a cos b - sen b cos a (II)

* sen x + sen y

Somando I e II

I + II=> sen (a + b) + sen (a - b)= sen a cos b + sen b cos a + sen a cos b - sen b cos a

sen (a + b) + sen (a - b)= 2 sen a cos b

* sen x - sen y

Subtraindo I e II

I - II=> sen (a +b) - sen (a - b)= sen a cos b + sen b cos a- sen a cos b + sen b cos a

sen (a + b) + sen (a - b)= 2 sen b cos a

Para trabalharmos melhor com as identidades encontradas, chamaremos a + b= x e a - b= y. Com isso, teremos:

a + b= x

a- b= y

Resolvendo o sistema, encontramos a= (x + y)/2 e b= (x - y)/2. Substituindo isso nas fórmulas encontradas anteriormente

sen x + sen y= 2 sen [(x + y)/2] cos [(x - y)/2)

sen x - sen y= 2 sen [(x - y)/2] cos [(x + y)/2)

II) cos x + cos y e cos x - cos y

A partir do cosseno da soma e diferença de dois arcos, encontraremos as fórmulas de cos x + cos y e  cos x - cos y.

cos (a + b)= cos a cos b - sen b sen a (III)

cos (a - b)= cos a cos b + sen b sen a

III + IV

cos (a + b) + cos (a - b)=  cos a cos b - sen b sen a + cos a cos b + sen b sen a

cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b

III - IV

cos (a + b) + cos (a - b)=  cos a cos b - sen b sen a - cos a cos b - sen b sen a

cos (a + b) - cos (a - b)= -2 sen a sen b

Analogamente ao caso do seno, utilizaremos a + b= x, a - b= y,a= (x + y)/2 e b= (x - y)/2 e, com isso, teremos:

cos (x) + cos (y)= 2 cos [(x + y)/2] cos [(x - y)/2]

cos (x) - cos (y)= -2 sen [(x + y)/2] sen [(x - y)/2]

III) tg x + tg y e tg x - tg y

A partir dos conhecimentos das fórmulas de soma e diferença de arcos, pode-se também deduzir as fórmulas de prostáferese para tg x + tg y e tg x - tg y.

* tg  x + tg y

tg x + tg y= sen x/cos x + sen y/cos y

tg x + tg y= (sen x cos y + sen y cos x)/cos x cos y

tg x + tg y= sen (x + y)/ cos x cos y

* tg x - tg y

tg x - tg y= sen x/cos x - sen y/cos y

tg x - tg y= (sen x cos y - sen y cos x)/(cos x cos y)

tg x - tg y= sen (x - y)/(cos x cos y)

Agradecimentos:

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Tive uns problemas de organização e, por isso, demorei mais para postar. Agradeço a compreensão de todos.

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.

Referências:

1-https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/formulas-de-prostaferese.html

2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-transformacao-soma-produto.htm

3-http://www.profcardy.com/cardicas/prostaferese.php

4-https://en.wikipedia.org/wiki/Prosthaphaeresis