Introdução:
As fórmulas de transformação de produto, também conhecidas como Fórmulas de Werner ou de Prostáferese, são amplamente utilizadas na fatoração de expressões como sen x + sen y, cos x - cos y, cos x + cos y e outras. Para obter as fórmulas mencionadas, utilizaremos algumas transformações trigonométricas já conhecidas (soma e subtração de arcos).
I) sen x + sen y e sen x - sen y
A partir do seno da soma e da diferença de dois ângulos, encontraremos as fórmulas de sen x + sen y e sen x - sen y.
sen (a + b)= sen a cos b + sen b cos a (I)
sen (a - b)= sen a cos b - sen b cos a (II)
* sen x + sen y
Somando I e II
I + II=> sen (a + b) + sen (a - b)= sen a cos b + sen b cos a + sen a cos b - sen b cos a
sen (a + b) + sen (a - b)= 2 sen a cos b
* sen x - sen y
Subtraindo I e II
I - II=> sen (a +b) - sen (a - b)= sen a cos b + sen b cos a- sen a cos b + sen b cos a
sen (a + b) + sen (a - b)= 2 sen b cos a
Para trabalharmos melhor com as identidades encontradas, chamaremos a + b= x e a - b= y. Com isso, teremos:
a + b= x
a- b= y
Resolvendo o sistema, encontramos a= (x + y)/2 e b= (x - y)/2. Substituindo isso nas fórmulas encontradas anteriormente
sen x + sen y= 2 sen [(x + y)/2] cos [(x - y)/2)
sen x - sen y= 2 sen [(x - y)/2] cos [(x + y)/2)
II) cos x + cos y e cos x - cos y
A partir do cosseno da soma e diferença de dois arcos, encontraremos as fórmulas de cos x + cos y e cos x - cos y.
cos (a + b)= cos a cos b - sen b sen a (III)
cos (a - b)= cos a cos b + sen b sen a
III + IV
cos (a + b) + cos (a - b)= cos a cos b - sen b sen a + cos a cos b + sen b sen a
cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b
III - IV
cos (a + b) + cos (a - b)= cos a cos b - sen b sen a - cos a cos b - sen b sen a
cos (a + b) - cos (a - b)= -2 sen a sen b
Analogamente ao caso do seno, utilizaremos a + b= x, a - b= y,a= (x + y)/2 e b= (x - y)/2 e, com isso, teremos:
cos (x) + cos (y)= 2 cos [(x + y)/2] cos [(x - y)/2]
cos (x) - cos (y)= -2 sen [(x + y)/2] sen [(x - y)/2]
III) tg x + tg y e tg x - tg y
A partir dos conhecimentos das fórmulas de soma e diferença de arcos, pode-se também deduzir as fórmulas de prostáferese para tg x + tg y e tg x - tg y.
* tg x + tg y
tg x + tg y= sen x/cos x + sen y/cos y
tg x + tg y= (sen x cos y + sen y cos x)/cos x cos y
tg x + tg y= sen (x + y)/ cos x cos y
* tg x - tg y
tg x - tg y= sen x/cos x - sen y/cos y
tg x - tg y= (sen x cos y - sen y cos x)/(cos x cos y)
tg x - tg y= sen (x - y)/(cos x cos y)
Agradecimentos:
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Tive uns problemas de organização e, por isso, demorei mais para postar. Agradeço a compreensão de todos.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.
Referências:
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