Geometria espacial - volume dos sólidos geométricos

Introdução:

A geometria espacial é um ramo da  matemática que foca no estudo das figuras tridimensionais, ou seja, aquelas que apresentam largura, comprimento e altura. Ela estuda sólidos geométricos como o cubo, cilindro, cone, prisma e a esfera.

O volume destes objetos é obtida através, essencialmente, de fórmulas específicas para cada sólido.

Apresentaremos algumas fórmulas para o cálculo da volume de alguns sólidos geométricos e como aplicá-las.

Cubo:

É um sólido geométrico que possui arestas e faces congruentes. Ou seja, ele possui medidas iguais de altura, largura e comprimento. Ele é constituído por 8 vértices e 12 arestas

A fórmula para calcular seu volume é dada por:

                                

                       Cubo cujo arestas medem a.

Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/volume-cubo.htm

V=a³  

Exemplo I) Qual o volume de um cubo cuja medida da aresta é igual a 4 cm?
I) Como conhecemos a medida do cubo, basta substituí-la na fórmula

V= a³
V= 4³
V= 64 cm³

Paralelepípedo:

Figura tridimensional constituída de 12 arestas e 8 vértices que é definida como um prisma cuja as faces são paralelogramos. O seu volume é dado por:

                 

Paraleleppedo com arestas cujas medidas são a,b e c.

Fonte:https://sabermatematica.com.br/volume-do-paralelepipedo-retangulo.html

V=abc

Exemplo: Calcule o volume de um paralelepípedo que apresenta medidas iguais a 10 cm, 7 cm e 3 cm.

I) Como conhecemos as medidas do paralelepípedo em questão,  determinamos o seu volume substituindo estes valores na fórmula.

V= 10 • 7 • 3
V= 210 cm³

Cilindro:

Como fora explicado em postagens anteriores, o cilindro é uma figura geométrica com formato circular que apresenta o mesmo diâmetro em todo o seu comprimento. Ele é composto por duas bases circulares dispostas em planos distintos e perpendiculares e todos os pontos entre eles.

Ele apresenta os seguintes elementos:


                              
Fonte:https://www.todamateria.com.br/cilindro/

Raio: Distância entre o centro e uma extremidade do cilindro. (r)

Base: O cilindro apresenta uma base superior e inferior. Ambas são circulares, paralelas entre si e congruentes.

Geratriz: Segmento que passa de uma base para a outra. Corresponde a altura do cilindro.(altura h=g)

Diretriz: Corresponde aos pontos da geratriz nas extremidades do cilindro.

O seu volume é dado pela seguinte fórmula:

V= π r²h

Exemplo: Dado um cilindro de raio 3 cm e altura 7 cm. Qual é o seu volume?

* r= 3 cm

* h= 7 cm

I) Substituindo os valores dados na fórmula, determinamos que o volume do cilindro será:

V= π r²h

V= π  • 3²• 7

V= π • 9 • 7

V= 63π cm³

Esfera:

Figura tridimensional formada por um conjunto de pontos que podem se encontrar a uma distância do seu centro menor ou igual a R.

                                    
Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera

O volume da esfera é dado pela seguinte fórmula:

V= 4π • R³

      3

Exemplo: Calcule o volume de uma esfera com raio igual a 10 cm

V= 4π • R³

      3

V= 4 • π  • 10³

      3

V = 4 • π  • 1000

       3

V= 4000π cm³

          3

Cone:

Como dito em aulas anteriores, o cone é uma figura geométrica que apresenta uma base circular constituída por segmentos de reta que apresentam como extremidade um vértice comum.

A altura do cone é a distância do plano da base até o vértice do cone.  Esta figura possui a geratriz, ou seja, qualquer segmento formado por uma extremidade no vértice e outra na base da figura.

Sua área é dada por:

                                   

Fonte:https://www.todamateria.com.br/volume-do-cone/

V= π r² • h 

          3

Exemplo: Calcule o volume de um cone circular cujo raio da base mede 3 m e a geratriz mede 5 m.

I) Primeiramente, precisamos determinar a geratriz deste cone através do teorema de Pitágoras.

h² + r²= g²

h² + 3²= 5²

h² + 9= 25

h²= 25 - 9

h²= 16

h= √16

h= 4 m

II) Agora, podemos determinar o volume do cone substituindo os valores da altura e do raio na fórmula.

V= π r²h 

          3

V= π • 3² • 4

            3

V= π • 9 • 4

           3

V= 36π 

        3

V= 12π cm³

Dominando o conhecimento- exercícios:

Questão 1) Calcule o volume do paralelepípedo abaixo:

Fonte: https://sabermatematica.com.br/volume-do-paralelepipedo-retangulo.html

Questão 2) Em um cone reto, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu volume.

Questão 3) (Sejus - Vunesp 2013) A quantidade de certo líquido correspondente a 3/4 de um litro será colocado em um recipiente de modo que ele fique completamente cheio. Para isso foram selecionados 3 recipientes com formas geométricas e medidas internas descritas a seguir:

I. Um paralelepípedo retângulo de dimensões: comprimento 15 cm, largura 2,5 cm e altura 20 cm.

II.Um cilindro reto de raio de base 5 cm e altura 10 cm. (Use π=3)

III. Um cubo de aresta igual a 5 cm

Dos 3 recipientes, atende ao que foi proposto

a) I e II apenas

b) I, II e III

c) I, apenas

d) I e III, apenas

e) II e III, apenas

Questão 4) Um reservatório em forma de cone possui volume de aproximadamente 3000 m^3 e um diâmetro de base medindo 24 cm. Determine a altura deste reservatório.
Use π= 3,14

Questão 5) (PM ES- 2013) Determinado cubo possui volume de 729 cm³. Cada face desse cubo possui área de:

a) 3 cm^2

b) 9 cm^2

c) 27 cm^2

d) 54 cm^2

e) 81 cm^2

Questão 6) Calcule o volume de uma esfera com 3 cm. Use π=3,14.

Questão 7) (Bombeiros ES- Cespe 2011)- Uma caixa d'água tem formato de um paralelepípedo retângulo, e outra, de um cilindro circular. A caixa d'água com formato de paralelepípedo tem base igual 20 m e 15 m, e altura igual a 5 m. O raio da caixa com formato cilíndrico mede 10 m, e a altura, 5 m. Tomando 3,14 como o valor aproximado da constante π, julgue os itens a e b.
a) A caixa com formato de paralelepípedo retângulo tem um mais capacidade de água que a caixa com formato cilíndrico
b) A caixa com formato cilíndrico tem capacidade de 1570 m³

Resoluções:

Questão 1)

I) Como conhecemos as medidas do paralelepípedo em questão,  determinamos o seu volume substituindo estes valores na fórmula.

V=abc

V= 5 • 3 • 6
V= 90 cm³

Questão 2)

I) Primeiramente, precisamos determinar o raio deste cone através do teorema de Pitágoras:

h² + r²= g²

16² + r²= 20²

256 + r²= 400

r²= 400 - 256

r²= 144

r= √144

r= 12 cm

II) Agora, podemos determinar o volume do cone substituindo os valores da altura e do raio na fórmula.

V= π r²h

         3

V= 3,14 •  12² • 16

                  3

V= 3,14 •  144 • 16

                 3

V= 7234, 56

           3

V= 2411, 52 cm³

Questão 3)

* Sabendo que o 3/4 de um litro é igual a 750 cm^3, devemos verificar quais sólidos possuem medidas iguais a esta, atendendo ao que foi proposto:

I) Paralelepípedo

V=abc

V= 15 • 2,5 • 20

V= 15 • 50

V= 750 cm³ ( atende ao que foi proposto)

II) Cilindro

V= π r²h

V= 3• 5² • 10

V= 3 • 25 • 10

V= 3 • 250

V= 750 cm³ ( atende ao que foi proposto)

III) Cubo

V=a³

V=5³

V= 125 cm³ (não atende ao que foi proposto)

Resposta: Item a

Questão 4) 

I) Sabendo que o volume do reservatório é V=3000 m^3 e que ele possui um diâmetro d= 24 cm, a altura será dada por:

r=d/2

r= 24/2

r= 12 cm

 π r²h= V

    3

3,14 • 12² • h= 3000

          3

3,14 • 144 • h= 3000 • 3

452,16h= 9000

h=   9000    

      452,16

h=19,9 m

h~20 m

Resposta: A medida da altura do reservatório é aproximadamente 20 m.

Questão 5)

I) Como o volume do cubo é conhecido, a sua aresta será dada por:

V=a³

a³= 729

a=3√729

a= 9 m

II) A área de cada face deste cubo será:

A=a²

A= 9²

A= 81 cm²

Resposta:Item b.

Questão 6)

I) Tomando π como 3,14 e sabendo que o raio desta esfera mede 3 cm, o seu volume será 

V= 4π • R³

      3


V= 4 • 3,14  • 3³

      3

V = 4 • 3,14  • 27

       3

        

V= 339,12
          3
V=  113,04 cm³

Resposta: V=  113,04 cm³.

Questão 7) 

 I) Primeiramente devemos determinar o volume da caixa em formato de paralelepípedo e a de formato cilíndrico.
* Volume da caixa com formato de paralelepípedo

Vp= 20 • 15 • 5
Vp= 1500 m³
*Volume da caixa com formato cilíndrico.
Vc= π r²h
Vc= 3,14 •  10² • 5
Vc= 3,14 • 100 • 5
Vc= 314 • 5
Vc= 1570 m³

II) Agora que determinamos o volume de ambas as caixas, jugaremos os itens a e b. 
a) A caixa com formato de paralelepípedo tem mais capacidade de armazenamento que a caixa com formato cilíndrico.

Vc= 1570 m³ (caixa cilíndrica)
Vp= 1500 m³ ( caixa com formato de paralelepípedo)

*Vc> Vp

Resposta: Este item está incorreto.

b) A caixa com formato cilíndrico tem capacidade de 1570 m^3.
* Calculando o volume da caixa cilíndrica novamente:
Vc= π r^2 • h
Vc= 3,14 •  10^2 • 5
Vc= 3,14 • 100 • 5
Vc= 314 • 5
Vc= 1570 m³

Resposta: Verificamos que este item está correto.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Me perdoem pela cor da letra, mas tive problemas com a produção do texto e não consegui resolver.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://sabermatematica.com.br/volumesmd.html

2-https://www.infoescola.com/matematica/volume-de-solidos-geometricos/

3-https://sabermatematica.com.br/volumes-exercicios-resolvidos.html
4-http://dinamicamatematica.blogspot.com/2011/05/exercicios-resolvidos-de-geometria.html
5-https://escolaeducacao.com.br/geometria-espacial/
6-https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/formulas.php
7-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/volume-cubo.htm
8-https://sabermatematica.com.br/volume-do-paralelepipedo-retangulo.html
9-https://www.todamateria.com.br/volume-da-esfera/
10-http://questoesdevestibularnanet.blogspot.com/2013/11/questoes-resolvidas-de-vestibular-sobre.html
11-https://www.todamateria.com.br/volume-do-cone/
12-https://sabermatematica.com.br/exercicios-resolvidos-sobre-volume-do-cubo.html
13-https://www.todamateria.com.br/cilindro/
14-https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera

Equações modulares

O que é módulo?

Para que se possa compreender o conceito de uma equação modular, precisamos entender o que é um módulo. 

Módulo é a distância de um número ao zero. Como a distância é uma grandeza sempre positiva, o módulo de um número real sempre será positivo

O que são?

São equações nas quais a incógnita se encontra " dentro" de um módulo. Para resolvê-las, é necessário que seja seguida a definição de módulo de um número real. Alguns tipos de equações e suas resoluções serão logo apresentados.
Exemplo 1:
|x|= 6

Neste exemplo, queremos saber quais números apresentam o módulo igual a 6. Pelo conceito de módulo, podemos inferir que este número pode ser +6 e -6.

S={+ 6, -6}

Exemplo 2:
|x + 2|= 4

Primeiro caso:
x + 2= 4

Segundo caso:
x + 2= -4

I) Primeiro caso
x + 2= 4
x= 4 - 2
x= 2

II) Segundo caso:
x + 2= -4
x= -4 - 2
x= -6

Resposta: S= {-6, 2}

Exemplo 3:
|10 - 2x|= 2x - 5

Condição de existência:

2x - 5 ≥ 0
2x ≥ 5
x ≥   5 
        2

Primeiro caso:
10 - 2x= 2x + 5

Segundo caso:
10- 2x= -2x - 5

I) Primeiro caso:                     

10 - 2x= 2x - 5
-2x - 2x= -5 - 10
-4x= -15
4x= 15
x=  15 
       4
II) Segundo caso:
 10 - 2x= -2x + 5
-2x + 2x= -10 + 5
0x= -5
0= -5 ( falsa, afirmação inválida)

Resposta: S= {15/4}

Exemplo 4:
|2x - 7|= | x + 4|

Primeiro caso:
2x - 7= x + 4

Segundo caso
2x - 7= -x - 4

I)
2x - 7= x + 4
2x - x= 7 + 4
x= 11

II)
2x - 7= -x - 4
2x + x= 7 - 4
3x= 3
x= 3/3
x= 1

Resposta: S={1, 11}

Exemplo 5:
|x² - 5x + 8|= 2

Primeiro caso:
x² - 5x + 8= 2
x² -5x + 8 - 2= 0
x²2 - 5x + 6=0

Segundo caso:
x² - 5x + 8= -2
x² - 5x + 8 + 2= 0
x² - 5x + 10= 0

I)
 x² - 5x + 6= 0           
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 6
∆= 25 - 24
∆= 1

x=  5 ± √1 
         2
x= 5 ± 1 
         2
x'= 6 
      2
x'= 3

x"= 4 
       2

x"=2

II)
x² - 5x + 10= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 10
∆= 25 - 40
∆= - 15 (a equação não possui raízes reais)

Resposta: S={( 3, 2)}

Exemplo 7:
|x|² - 10|x| + 24= 0

I) Para resolvermos esta questão precisaremos fazer |x|= y, sendo que y > 0

y² - 10y + 24= 0

∆= b² - 4ac
∆= (-10)² - 4 • 1 • 24
∆= 100 -96
∆= 4

y= -b ± √∆ 
         2a

y= 10 ± √4 
          2
y= 10 ± 2  
         2
y'= 12 
       2
y'= 6

y"= 8 
       2
y"= 4

II) Como |x|= y teremos que:

i) |x|= 6

Assim, x= 6 ou x= -6

ii) |x|= 4

Portanto x= 4 ou x= -4

Resposta: S={6, -6, 4, -4}

Dominando o conhecimento- exercícios

Questão 1) Resolva as seguintes equações modulares

a) |x + 3|= 7

b) |3x - 8|= 13

Questão 2) Resolva a equação |x + 2|= 3x - 6

Questão 3)(PUC - SP) O conjunto solução S da equação |2x - 1|= x - 1 é:
a) S= {0, 2/3}
b) S={0, 1/3}
c) S={}
d)S= {0,-1}
e)S={0, 4/3}

Questão 4) Encontre o conjunto solução da equação |3x + 1|= |x- 3|

Questão 5) Resolva a equação modular |3x -1|= |2x + 6|

Questão 6) (UEPA) O conjunto solução da equação |x|² - 2|x| - 3= 0 é igual a:
a) S={-1, 3}
b) S={-3 ,3}
c) S={-1, 1}
d) S={-3, 1}
e) S= { 1, 3}

Questão 7) (U.F. Juiz de Fora- MG) O número de soluções negativas da equação |5x - 6|= x² é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Resoluções:

Questão 1)

a)

|x + 3|= 7

Primeiro caso:
x + 3= 7

Segundo caso:
x + 3= -7

I) Primeiro caso
x + 3= 7
x= 7 - 3
x= 4

II) Segundo caso:
x + 3= -7
x= -7 - 3
x= -10

Resposta: S= {(-10, 4)}

b)

|3x - 8|= 13

Primeiro caso:
3x - 8= 13

Segundo caso:
3x - 8= -13

I) Primeiro caso
3x - 8= 13
3x= 13 + 8
3x= 21
x= 21 
      3
x=7

II) Segundo caso:
3x - 8 = -13
3x= -13 +8
3x= -5
x= -  5  
         3

Resposta: S= {-5/3, 7}
                       

Questão 2)
|x + 2|= 3x - 6

*Condição de existência da equação
3x - 6 ≥ 0
3x ≥ 6
x ≥  6 
       3
x ≥ 2

Primeiro caso:
x + 2= 3x - 6

Segundo caso:
x + 2= -3x + 6

I) Primeiro caso:                     
x + 2= 3x - 6
x - 3x= -6 - 2
-2x= -8
x=  (-8) 
      (-2)
x= 4


II) Segundo caso:
x + 2= -3x + 6
x+ 3x= 6 - 2
4x= 4
x=  4 
      4
x= 1 (não satisfaz a condição de existência da equação)

Resposta: S= {4}

Questão 3)
|2x - 1|= x - 1

* Condição de existência:
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

Primeiro caso:
2x - 1= x - 1

Segundo caso:
2x - 1= -x + 1

I) Primeiro caso:
2x - 1= x - 1
2x - x= 1 -1
x= 0 (não satisfaz a condição de existência da equação)

II) Segundo caso
2x - 1= - x + 1
2x + x= 1 + 1
3x = 2
x=  2  (não satisfaz a condição de existência da equação)
      3
III) O conjunto solução da equação seria S={0, 2/3}, mas pela condição de existência da equação, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores que 1. Por isso, a solução correta é S={}

Resposta: S={}. Item c.

Questão 4)
|3x + 1|= |x- 3|

Primeiro caso:
3x + 1= x - 3

Segundo caso:
3x + 1= 3 - x

I) Primeiro caso:
3x + 1= x - 3
3x -x= -3 -1
2x= -4
x= - 4 
       2
     
x= -2

II) Segundo caso:
3x + 1= 3 - x
3x + x= 3 - 1
4x = 2
x = 2 
      4

x= 1 
     2

Resposta:  S= { 1/2, -2}

Questão 5)
|3x -1|= |2x + 6|

Primeiro caso:
3x - 1= 2x +6

Segundo caso:
3x - 1= -2x - 6

I) Primeiro caso:
3x - 1= 2x + 6
3x - 2x= 6 + 1
x= 7

II) Segundo caso:
3x - 1= -2x - 6
3x + 2x= -6 + 1
5x= -5   
x= - 5 
       5

x= -1

Resposta: S= { -1, 7}

Questão 6)

* |x|² - 2|x| - 3= 0

I) Para resolvermos esta questão precisaremos fazer |x|= y, sendo que y > 0

y² - 2y - 3= 0

∆= b² - 4ac
∆= (-2)² - 4 • 1 • (-3)
∆= 4 + 12
∆= 16

y= -b ± √∆ 
         2a

y=  2 ± √16 
          2
y=  2 ± 4  
         2
y'=  6 
       2
y'= 3

y"=- 2 
        2
y"= -1 (não convém)

II) Como |x|= y teremos que:
|x|= 3

Assim, x= 3 ou x= -3

*S={3, -3}

Resposta: Item b.

Questão 7)
|5x - 6|= x^2

Primeiro caso:
5x - 6= x² => x² - 5x + 6= 0

Segundo caso
5x - 6= -x² => x² + 5x - 6= 0

I) Primeiro caso:                     
x² - 5x + 6= 0                       

∆= b² - 4ac                                

∆= (-5)² - 4 • 1 • 6                     
∆= 25 - 24                                     
∆= 1                                             

x=  -b ± √∆                                  
          2a                                               

x= 5 ± √1                                      
         2                                                     

x= 5 ± 1                                         
        2                                                      
x'= 6                                               
      2                                                     
x'= 3                                             

x"= 4                                              
       2                                                       
x"= 2                                               

II) Segundo caso
x² + 5x - 6= 0

∆=b² - 4ac
∆= 5² - 4 • 1 • (-6)
∆= 25 + 24   
∆= 49

x=  -b ± √∆ 
          2a

x= -5 ± √49 
          2

x= -5 ± 7 

          2

x'= 2 

      2

x'= 1

x"= -12 

         2

x"= -6

III) Podemos constatar que existe apenas uma raiz negativa nesta equação.

Resposta: Item b.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.professorferretto.com.br/equacoes-modulares-parte-1/
2-https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacoes-modulares-tipos-e-estrategias-de-resolucao.htm
3-https://www.infoescola.com/matematica/equacao-modular/
4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-modular-1.htm
6-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-modular.htm
7-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-modular.htm
8-https://casadamatematica.com.br/10-exercicios-resolvidos-de-equacoes-modulares/

Relações métricas no triângulo retângulo

O que são?

São equações que relacionam as medidas do triângulo retângulo. Tais medidas serão apresentadas logo abaixo.

Fonte da imagem:https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/

* A hipotenusa do triângulo é representada pela letra a.

* As letras b e c representam os catetos do triângulo retângulo.

* A letra h representa a altura relativa a hipotenusa do triângulo retângulo.

* A letra m representa a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

* A letra n representa a projeção ortogonal do cateto b sobre a

Agora que são conhecidos os elementos do triângulo retângulo, é possível apresentar as suas relações métricas.

Primeira relação: teorema de Pitágoras.

A relação métrica mais conhecida do triângulo retângulo, ela diz que: A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Matematicamente, ela é escrita na seguinte forma:

a²= b² + c²

Exemplo: Qual o valor da medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujo catetos medem 18 e 24 cm?

I) Como sabemos que os catetos deste triângulo medem 18 e 24 cm, a hipotenusa será obtida a partir do teorema de Pitágoras

a²= b² + c²
a²= 18²+ 24²
a² = 324+ 576
a²= 900
a=√900
a= 30 cm

Segunda relação:

A soma das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa é igual a medida da hipotenusa. Ela é escrita matematicamente como:

a= m + n

Terceira relação métrica:

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções ortogonais dos seus catetos sobre a hipotenusa. Ela é escrita algebricamente como:

h²= m • n

Exemplo: A hipotenusa de um triângulo mede 60 cm, e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 48 cm. Qual é a medida da altura deste triângulo?

I) Como sabemos uma das projeções sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa. Devemos calcular o valor da outra projeção.

a= 60 cm
m= 48 cm
m + n= a => 48 + n = 60
n= 60 - 48
n= 12 cm

II) Agora que temos as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa deste triângulo, podemos calcular a altura relativa a hipotenusa deste triângulo.
h²= m • n
h² = 48 • 12
h²= 576
h= √576
h= 24 cm

Quarta relação métrica:

A medida de um cateto é calculada como a média geométrica entre a medida da hipotenusa e sua projeção sobre ela.

b²= a • n
c²= a • m

Exemplo: Qual é o valor da medida de um cateto em um triângulo retângulo cujo a hipotenusa mede 50 cm e a sua projeção sobre a hipotenusa mede 18 cm?
I)  Como o exemplo não especifica o cateto ao qual se refere, ele pode ser encontrado a partir de quaisquer relações métricas dessas: c^2= a • m e b^2= a • n.
Com isto, temos o seguinte cálculo:
b²= 50 • 18
b²= 900
b= √900
b= 30 cm

Quinta relação métrica:

O produto dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. Isso implica dizer que:

a • h= b • c

Exemplo: Qual a altura de um triângulo cujo os lados medem 6, 8 e 10 cm?

I) Primeiramente, como sabemos que a hipotenusa do triângulo retângulo é a medida do seu maior lado, podemos dizer que a hipotenusa dele deste triângulo mede 10 cm. As outras duas medidas são catetos

a= 10 cm

II) Como precisamos da altura do triângulo para determinar a sua área e sabemos as medidas dos catetos, utilizaremos a seguinte relação métrica:

a • h= b • c
10 • h= 6 • 8
10h= 48
h= 48 
      10
h= 4,8 cm

III) Agora que temos a altura deste triângulo podemos determinar a sua área.

A= a • h 
         2
A= 10 • 4,8 
           2
A= 48 
       2
A= 24 cm²

Dominando o conhecimento exercícios

Questão 1) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

Fonte:http://cantinhomaissaber.blogspot.com/2015/08/relacoes-metricas-no-triangulo.html?m=1
a) 12 cm
b) 30 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 20 cm

Questão 2) A altura baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a
a) 10, 15, 20
b) 12, 17, 22
c) 15, 20 25
d) 16, 21, 25
e) 17, 23 e 28

Questão 3) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 m e 1 m, respectivamente. Calcule a área deste triângulo retângulo.
a) 5 cm²
b) 50 cm²
c)50 000 cm²
d) 50 dm²
e)5 dm²

Questão 4) Em um triângulo retângulo, os catetos medem  7 cm e 24 cm. Determine:
a) Medida da hipotenusa
b) Altura relativa a hipotenusa

Questão 5) Determine m e n na figura.

Fonte:http://matematicaseriada.blogspot.com/2014/11/exercicios-relacoes-metricas-no.html?m=1

Questão 6) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (x  + 5) cm e (x + 1) cm e a hipotenusa mede (x + 9) cm. O perímetro deste triângulo retângulo vale:
a) 33 cm
b) 58 cm
c) 38 cm
d) 48 cm
e) N.D.A

Resoluções

Questão 1)

I) Neste problema, podemos observar que a altura do prédio e a distância da escada até a base do prédio são os catetos de um triângulo retângulo no qual o comprimento da escada é a sua hipotenusa. Com isso, o comprimento da escada (L) será dado pelo teorema de Pitágoras.

L^2= 8^2 + 15^2

L^2= 64 + 225

L^ 2= 289

L= √ 289

L= 17 m

Resposta: Item d

Questão 2) 

I) Sabendo que as projeções dos catetos diferem em 7 cm e que o produto deles é igual ao quadrado da altura, desenvolvemos o seguinte sistema:

m • n= 12^2

{m • n= 144

{m - n= 7

II) Isolando m na segunda equação temos:
m= n + 7

III) Substituindo o valor de m na primeira equação temos a seguinte igualdade:

m • n= 144
(n + 7) • n= 144
n² + 7n= 144
n² + 7 n -144= 0

IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara
∆= b² - 4ac
∆= 7² - 4 • 1 • (-144)
∆= 49 + 576
∆= 625

n= -7 ± √625 
            2

n= -7 ± 25 
          2
n'= -7 + 25 
          2
n'= 18 
       2

n' = 9

n"= -7 - 25 
           2

n"= -32 
         2

n"= -16 ( não satisfaz o problema)

V) Substituindo o valor de n na segunda equação, temos que:
m= 7 + 9
m= 16 cm

VI) Agora, a hipotenusa será calculada através de:
a= m + n
a= 16 + 9
a= 25 cm

VII) Como conhecemos as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a hipotenusa, podemos determinar o valor dos catetos através dos seguintes cálculos:

b² = 25 • 16      c²= 25 • 9
b²2= 400            c²= 225
b= √400              c= √225
b= 20 cm            c= 15 cm

VII) Como os lados do triângulo retângulo correspondem aos catetos e a hipotenusa, os lados deste triângulo medem 15 cm, 20 cm e 25 cm.

*Resposta: Item c.

Questão 3)
I) Como as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa do triângulo retângulo do problema são conhecidas, a hipotenusa pode ser obtida a partir delas.

a= m + n
a= 4 + 1= 5 m

II) A altura deste triângulo também pode ser calculada a partir da seguinte fórmula.

h² = m • n
h²= 4 • 1
h²= 4
h= √4
h= 2 m

III) Como temos os valores da altura e hipotenusa deste triângulo, podemos agora determinar a sua área

A= a • h 
         2

A= 5 • 2    
        2

A= 5 m²= 500 dm²= 50 000 cm²

Resposta: Item c

Questão 4)
a)
I ) Como sabemos as medidas dos catetos e queremos a medida da hipotenusa, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

a²= 7² + 24²
a²= 49 + 576
a²= 625
a= √ 625
a= 25 m

b)
I) Como temos os catetos e a hipotenusa do triângulo em que estão conhecidos,  aaaltura será dada pelo seguinte cálculo:

25 h= 7 • 24
25h= 168
h= 168/25
h= 6,72 m

Questão 5)
I) Como os valores da hipotenusa e do cateto são conhecidos, a projeção m será dada por

c² = a • m
8²= 16m
16m= 64
m= 64/16
m= 4

II) Considerado que a soma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual a própria hipotenusa, o valor de n será

a= m + n
16= 4 + n
n= 16 - 4
n= 12

Resposta: m= 4 e n= 12

Questão 6)
I) Como sabemos que as medidas dos catetos e da hipotenusa deste triângulo retângulo estão escritas em função de x , basta aplicarmos o teorema de Pitágoras para relacioná-las.

(x + 5)²+ (x + 1)²= (x + 9)²
x²+ 10x + 25 + x²+ 2x + 1= x² + 18x + 81
2x²+ 12x + 26= x² + 18x + 81
2x² - x² + 12x - 18x + 26 - 81= 0
x² - 6x - 55= 0

II) Como a aplicação do teorema de Pitágoras resultou em uma equação do segundo grau, aplicaremos a fórmula de Bhaskara para determinar o valor de x:
∆= b² - 4ac
∆= (-6)^2 - 4 • 1 • (-55)
∆= 36 + 220
∆= 256

x= -b ± √∆             x'= (6 + 16)/2          x"= (6 - 16)/2
         2a                                                  

x=  6 ± √256          x'= 22/2                  x"= - 10/2
           2                                                   

x=  6 ± 16              x'= 11                   x"= -5 (medidas não podem ser negativas)
          2 

III) Como sabemos que x=11 cm, basta substituir o valor de x nas medidas dos catetos e da hipotenusa.

Primeiro cateto= x + 5
Primeiro cateto= 11 + 5
Primeiro cateto= 16 cm

Segundo cateto= x + 1
Segundo cateto= 11 + 1
Segundo cateto= 12 cm

hipotenusa= x + 9
hipotenusa= 11 + 9
hipotenusa= 20 cm

IV) Agora que as medidas deste triângulo, calcularemos seu perímetro.
Perímetro= 20 + 12 + 16
Perímetro= 20 + 28
Perímetro= 48 cm

Resposta: Item d.

Observação:

A resolução de uma das questões envolveu o uso de sistemas de equações do segundo grau. Quem não entendeu este conteúdo, basta ler a postagem que se encontra neste link: https://exatastasparatodos.blogspot.com/2019/03/sistema-de-equacoes-do-segundo-grau.html?m=1
Novamente, espero ajudar.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências

1-http://cantinhomaissaber.blogspot.com/2015/08/relacoes-metricas-no-triangulo.html?m=1

2-https://www.gestaoeducacional.com.br/triangulo-retangulo-relacoes/

3-https://casadamatematica.com.br/as-4-relacoes-metricas-do-triangulo-retangulo/

4-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.htm

5-https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/

6-http://matematicaseriada.blogspot.com/2014/11/exercicios-relacoes-metricas-no.html?m=1

7-http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com/2012/12/questoes-de-relacoes-metricas-no.html?m=1