Relações métricas no triângulo retângulo

O que são?

São equações que relacionam as medidas do triângulo retângulo. Tais medidas serão apresentadas logo abaixo.

Fonte da imagem:https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/

* A hipotenusa do triângulo é representada pela letra a.

* As letras b e c representam os catetos do triângulo retângulo.

* A letra h representa a altura relativa a hipotenusa do triângulo retângulo.

* A letra m representa a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

* A letra n representa a projeção ortogonal do cateto b sobre a

Agora que são conhecidos os elementos do triângulo retângulo, é possível apresentar as suas relações métricas.

Primeira relação: teorema de Pitágoras.

A relação métrica mais conhecida do triângulo retângulo, ela diz que: A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Matematicamente, ela é escrita na seguinte forma:

a²= b² + c²

Exemplo: Qual o valor da medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujo catetos medem 18 e 24 cm?

I) Como sabemos que os catetos deste triângulo medem 18 e 24 cm, a hipotenusa será obtida a partir do teorema de Pitágoras

a²= b² + c²
a²= 18²+ 24²
a² = 324+ 576
a²= 900
a=√900
a= 30 cm

Segunda relação:

A soma das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa é igual a medida da hipotenusa. Ela é escrita matematicamente como:

a= m + n

Terceira relação métrica:

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções ortogonais dos seus catetos sobre a hipotenusa. Ela é escrita algebricamente como:

h²= m • n

Exemplo: A hipotenusa de um triângulo mede 60 cm, e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 48 cm. Qual é a medida da altura deste triângulo?

I) Como sabemos uma das projeções sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa. Devemos calcular o valor da outra projeção.

a= 60 cm
m= 48 cm
m + n= a => 48 + n = 60
n= 60 - 48
n= 12 cm

II) Agora que temos as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa deste triângulo, podemos calcular a altura relativa a hipotenusa deste triângulo.
h²= m • n
h² = 48 • 12
h²= 576
h= √576
h= 24 cm

Quarta relação métrica:

A medida de um cateto é calculada como a média geométrica entre a medida da hipotenusa e sua projeção sobre ela.

b²= a • n
c²= a • m

Exemplo: Qual é o valor da medida de um cateto em um triângulo retângulo cujo a hipotenusa mede 50 cm e a sua projeção sobre a hipotenusa mede 18 cm?
I) Como o exemplo não especifica o cateto ao qual se refere, ele pode ser encontrado a partir de quaisquer relações métricas dessas: c^2= a • m e b^2= a • n.
Com isto, temos o seguinte cálculo:
b²= 50 • 18
b²= 900
b= √900
b= 30 cm

Quinta relação métrica:

O produto dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. Isso implica dizer que:

a • h= b • c

Exemplo: Qual a altura de um triângulo cujo os lados medem 6, 8 e 10 cm?

I) Primeiramente, como sabemos que a hipotenusa do triângulo retângulo é a medida do seu maior lado, podemos dizer que a hipotenusa dele deste triângulo mede 10 cm. As outras duas medidas são catetos

a= 10 cm

II) Como precisamos da altura do triângulo para determinar a sua área e sabemos as medidas dos catetos, utilizaremos a seguinte relação métrica:

a • h= b • c
10 • h= 6 • 8
10h= 48
h= 48
10
h= 4,8 cm

III) Agora que temos a altura deste triângulo podemos determinar a sua área.

A= a • h
2
A= 10 • 4,8
2
A= 48
2
A= 24 cm²

Dominando o conhecimento exercícios

Questão 1) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

Fonte:http://cantinhomaissaber.blogspot.com/2015/08/relacoes-metricas-no-triangulo.html?m=1
a) 12 cm
b) 30 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 20 cm

Questão 2) A altura baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a
a) 10, 15, 20
b) 12, 17, 22
c) 15, 20 25
d) 16, 21, 25
e) 17, 23 e 28

Questão 3) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 m e 1 m, respectivamente. Calcule a área deste triângulo retângulo.
a) 5 cm²
b) 50 cm²
c)50 000 cm²
d) 50 dm²
e)5 dm²

Questão 4) Em um triângulo retângulo, os catetos medem 7 cm e 24 cm. Determine:
a) Medida da hipotenusa
b) Altura relativa a hipotenusa

Questão 5) Determine m e n na figura.

Fonte:http://matematicaseriada.blogspot.com/2014/11/exercicios-relacoes-metricas-no.html?m=1

Questão 6) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (x + 5) cm e (x + 1) cm e a hipotenusa mede (x + 9) cm. O perímetro deste triângulo retângulo vale:
a) 33 cm
b) 58 cm
c) 38 cm
d) 48 cm
e) N.D.A

Resoluções

Questão 1)

I) Neste problema, podemos observar que a altura do prédio e a distância da escada até a base do prédio são os catetos de um triângulo retângulo no qual o comprimento da escada é a sua hipotenusa. Com isso, o comprimento da escada (L) será dado pelo teorema de Pitágoras.

L^2= 8^2 + 15^2

L^2= 64 + 225

L^ 2= 289

L= √ 289

L= 17 m

Resposta: Item d

Questão 2)

I) Sabendo que as projeções dos catetos diferem em 7 cm e que o produto deles é igual ao quadrado da altura, desenvolvemos o seguinte sistema:

m • n= 12^2

{m • n= 144

{m - n= 7

II) Isolando m na segunda equação temos:
m= n + 7

III) Substituindo o valor de m na primeira equação temos a seguinte igualdade:

m • n= 144
(n + 7) • n= 144
n² + 7n= 144
n² + 7 n -144= 0

IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara
∆= b² - 4ac
∆= 7² - 4 • 1 • (-144)
∆= 49 + 576
∆= 625

n= -7 ± √625
2

n= -7 ± 25
2
n'= -7 + 25
2
n'= 18
2

n' = 9

n"= -7 - 25
2

n"= -32
2

n"= -16 ( não satisfaz o problema)

V) Substituindo o valor de n na segunda equação, temos que:
m= 7 + 9
m= 16 cm

VI) Agora, a hipotenusa será calculada através de:
a= m + n
a= 16 + 9
a= 25 cm

VII) Como conhecemos as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a hipotenusa, podemos determinar o valor dos catetos através dos seguintes cálculos:

b² = 25 • 16 c²= 25 • 9
b²2= 400 c²= 225
b= √400 c= √225
b= 20 cm c= 15 cm

VII) Como os lados do triângulo retângulo correspondem aos catetos e a hipotenusa, os lados deste triângulo medem 15 cm, 20 cm e 25 cm.

*Resposta: Item c.

Questão 3)
I) Como as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa do triângulo retângulo do problema são conhecidas, a hipotenusa pode ser obtida a partir delas.

a= m + n
a= 4 + 1= 5 m

II) A altura deste triângulo também pode ser calculada a partir da seguinte fórmula.

h² = m • n
h²= 4 • 1
h²= 4
h= √4
h= 2 m

III) Como temos os valores da altura e hipotenusa deste triângulo, podemos agora determinar a sua área

A= a • h
2

A= 5 • 2
2

A= 5 m²= 500 dm²= 50 000 cm²

Resposta: Item c

Questão 4)
a)
I ) Como sabemos as medidas dos catetos e queremos a medida da hipotenusa, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

a²= 7² + 24²
a²= 49 + 576
a²= 625
a= √ 625
a= 25 m

b)
I) Como temos os catetos e a hipotenusa do triângulo em que estão conhecidos, aaaltura será dada pelo seguinte cálculo:

25 h= 7 • 24
25h= 168
h= 168/25
h= 6,72 m

Questão 5)
I) Como os valores da hipotenusa e do cateto são conhecidos, a projeção m será dada por

c² = a • m
8²= 16m
16m= 64
m= 64/16
m= 4

II) Considerado que a soma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual a própria hipotenusa, o valor de n será

a= m + n
16= 4 + n
n= 16 - 4
n= 12

Resposta: m= 4 e n= 12

Questão 6)
I) Como sabemos que as medidas dos catetos e da hipotenusa deste triângulo retângulo estão escritas em função de x , basta aplicarmos o teorema de Pitágoras para relacioná-las.

(x + 5)²+ (x + 1)²= (x + 9)²
x²+ 10x + 25 + x²+ 2x + 1= x² + 18x + 81
2x²+ 12x + 26= x² + 18x + 81
2x² - x² + 12x - 18x + 26 - 81= 0
x² - 6x - 55= 0

II) Como a aplicação do teorema de Pitágoras resultou em uma equação do segundo grau, aplicaremos a fórmula de Bhaskara para determinar o valor de x:
∆= b² - 4ac
∆= (-6)^2 - 4 • 1 • (-55)
∆= 36 + 220
∆= 256

x= -b ± √∆   x'= (6 + 16)/2    x"= (6 - 16)/2
2a

x=  6 ± √256   x'= 22/2    x"= - 10/2
2

x= 6 ± 16   x'= 11 x"= -5 (medidas não podem ser negativas)
2

III) Como sabemos que x=11 cm, basta substituir o valor de x nas medidas dos catetos e da hipotenusa.

Primeiro cateto= x + 5
Primeiro cateto= 11 + 5
Primeiro cateto= 16 cm

Segundo cateto= x + 1
Segundo cateto= 11 + 1
Segundo cateto= 12 cm

hipotenusa= x + 9
hipotenusa= 11 + 9
hipotenusa= 20 cm

IV) Agora que as medidas deste triângulo, calcularemos seu perímetro.
Perímetro= 20 + 12 + 16
Perímetro= 20 + 28
Perímetro= 48 cm

Resposta: Item d.

Observação:

A resolução de uma das questões envolveu o uso de sistemas de equações do segundo grau. Quem não entendeu este conteúdo, basta ler a postagem que se encontra neste link: https://exatastasparatodos.blogspot.com/2019/03/sistema-de-equacoes-do-segundo-grau.html?m=1
Novamente, espero ajudar.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.