O que é módulo?
Para que se possa compreender o conceito de uma equação modular, precisamos entender o que é um módulo.
Módulo é a distância de um número ao zero. Como a distância é uma grandeza sempre positiva, o módulo de um número real sempre será positivo
O que são?
São equações nas quais a incógnita se encontra " dentro" de um módulo. Para resolvê-las, é necessário que seja seguida a definição de módulo de um número real. Alguns tipos de equações e suas resoluções serão logo apresentados.
Exemplo 1:
|x|= 6
Neste exemplo, queremos saber quais números apresentam o módulo igual a 6. Pelo conceito de módulo, podemos inferir que este número pode ser +6 e -6.
S={+ 6, -6}
Exemplo 2:
|x + 2|= 4
Primeiro caso:
x + 2= 4
Segundo caso:
x + 2= -4
I) Primeiro caso
x + 2= 4
x= 4 - 2
x= 2
II) Segundo caso:
x + 2= -4
x= -4 - 2
x= -6
Resposta: S= {-6, 2}
Exemplo 3:
|10 - 2x|= 2x - 5
Condição de existência:
2x - 5 ≥ 0
2x ≥ 5
x ≥ 5
2
Primeiro caso:
10 - 2x= 2x + 5
Segundo caso:
10- 2x= -2x - 5
I) Primeiro caso:
10 - 2x= 2x - 5
-2x - 2x= -5 - 10
-4x= -15
4x= 15
x= 15
4
II) Segundo caso:
10 - 2x= -2x + 5
-2x + 2x= -10 + 5
0x= -5
0= -5 ( falsa, afirmação inválida)
Resposta: S= {15/4}
Exemplo 4:
|2x - 7|= | x + 4|
Primeiro caso:
2x - 7= x + 4
Segundo caso
2x - 7= -x - 4
I)
2x - 7= x + 4
2x - x= 7 + 4
x= 11
II)
2x - 7= -x - 4
2x + x= 7 - 4
3x= 3
x= 3/3
x= 1
Resposta: S={1, 11}
Exemplo 5:
|x² - 5x + 8|= 2
Primeiro caso:
x² - 5x + 8= 2
x² -5x + 8 - 2= 0
x²2 - 5x + 6=0
Segundo caso:
x² - 5x + 8= -2
x² - 5x + 8 + 2= 0
x² - 5x + 10= 0
I)
x² - 5x + 6= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 6
∆= 25 - 24
∆= 1
x= 5 ± √1
2
x= 5 ± 1
2
x'= 6
2
x'= 3
x"= 4
2
x"=2
II)
x² - 5x + 10= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 10
∆= 25 - 40
∆= - 15 (a equação não possui raízes reais)
Resposta: S={( 3, 2)}
Exemplo 7:
|x|² - 10|x| + 24= 0
I) Para resolvermos esta questão precisaremos fazer |x|= y, sendo que y > 0
y² - 10y + 24= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-10)² - 4 • 1 • 24
∆= 100 -96
∆= 4
y= -b ± √∆
2a
y= 10 ± √4
2
y= 10 ± 2
2
y'= 12
2
y'= 6
y"= 8
2
y"= 4
II) Como |x|= y teremos que:
i) |x|= 6
Assim, x= 6 ou x= -6
ii) |x|= 4
Portanto x= 4 ou x= -4
Resposta: S={6, -6, 4, -4}
Questão 4) Encontre o conjunto solução da equação |3x + 1|= |x- 3|
Questão 5) Resolva a equação modular |3x -1|= |2x + 6|
Questão 6) (UEPA) O conjunto solução da equação |x|² - 2|x| - 3= 0 é igual a:
a) S={-1, 3}
b) S={-3 ,3}
c) S={-1, 1}
d) S={-3, 1}
e) S= { 1, 3}
Questão 7) (U.F. Juiz de Fora- MG) O número de soluções negativas da equação |5x - 6|= x² é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Primeiro caso:
x + 3= 7
Segundo caso:
x + 3= -7
I) Primeiro caso
x + 3= 7
x= 7 - 3
x= 4
II) Segundo caso:
x + 3= -7
x= -7 - 3
x= -10
Resposta: S= {(-10, 4)}
b)
Primeiro caso:
3x - 8= 13
Segundo caso:
3x - 8= -13
I) Primeiro caso
3x - 8= 13
3x= 13 + 8
3x= 21
x= 21
3
x=7
II) Segundo caso:
3x - 8 = -13
3x= -13 +8
3x= -5
x= - 5
3
Resposta: S= {-5/3, 7}
Questão 2)
|x + 2|= 3x - 6
*Condição de existência da equação
3x - 6 ≥ 0
3x ≥ 6
x ≥ 6
3
x ≥ 2
Primeiro caso:
x + 2= 3x - 6
Segundo caso:
x + 2= -3x + 6
I) Primeiro caso:
x + 2= 3x - 6
x - 3x= -6 - 2
-2x= -8
x= (-8)
(-2)
x= 4
II) Segundo caso:
x + 2= -3x + 6
x+ 3x= 6 - 2
4x= 4
x= 4
4
x= 1 (não satisfaz a condição de existência da equação)
Resposta: S= {4}
Questão 3)
|2x - 1|= x - 1
* Condição de existência:
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1
Primeiro caso:
2x - 1= x - 1
Segundo caso:
2x - 1= -x + 1
I) Primeiro caso:
2x - 1= x - 1
2x - x= 1 -1
x= 0 (não satisfaz a condição de existência da equação)
II) Segundo caso
2x - 1= - x + 1
2x + x= 1 + 1
3x = 2
x= 2 (não satisfaz a condição de existência da equação)
3
III) O conjunto solução da equação seria S={0, 2/3}, mas pela condição de existência da equação, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores que 1. Por isso, a solução correta é S={}
Resposta: S={}. Item c.
Questão 4)
|3x + 1|= |x- 3|
Primeiro caso:
3x + 1= x - 3
Segundo caso:
3x + 1= 3 - x
I) Primeiro caso:
3x + 1= x - 3
3x -x= -3 -1
2x= -4
x= - 4
2
x= -2
II) Segundo caso:
3x + 1= 3 - x
3x + x= 3 - 1
4x = 2
x = 2
4
x= 1
2
Resposta: S= { 1/2, -2}
Questão 5)
|3x -1|= |2x + 6|
Primeiro caso:
3x - 1= 2x +6
Segundo caso:
3x - 1= -2x - 6
I) Primeiro caso:
3x - 1= 2x + 6
3x - 2x= 6 + 1
x= 7
II) Segundo caso:
3x - 1= -2x - 6
3x + 2x= -6 + 1
5x= -5
x= - 5
5
x= -1
Resposta: S= { -1, 7}
∆= 25 - 24
∆= 1
x= -b ± √∆
2a
x= 5 ± √1
2
x= 5 ± 1
2
x'= 6
2
x'= 3
x"= 4
2
x"= 2
II) Segundo caso
x² + 5x - 6= 0
∆=b² - 4ac
∆= 5² - 4 • 1 • (-6)
∆= 25 + 24
∆= 49
x= -b ± √∆
2a
x= -5 ± √49
2
2-https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacoes-modulares-tipos-e-estrategias-de-resolucao.htm
3-https://www.infoescola.com/matematica/equacao-modular/
4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-modular-1.htm
6-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-modular.htm
7-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-modular.htm
8-https://casadamatematica.com.br/10-exercicios-resolvidos-de-equacoes-modulares/
Exemplo 1:
|x|= 6
Neste exemplo, queremos saber quais números apresentam o módulo igual a 6. Pelo conceito de módulo, podemos inferir que este número pode ser +6 e -6.
S={+ 6, -6}
Exemplo 2:
|x + 2|= 4
Primeiro caso:
x + 2= 4
Segundo caso:
x + 2= -4
I) Primeiro caso
x + 2= 4
x= 4 - 2
x= 2
II) Segundo caso:
x + 2= -4
x= -4 - 2
x= -6
Resposta: S= {-6, 2}
Exemplo 3:
|10 - 2x|= 2x - 5
Condição de existência:
2x - 5 ≥ 0
2x ≥ 5
x ≥ 5
2
Primeiro caso:
10 - 2x= 2x + 5
Segundo caso:
10- 2x= -2x - 5
I) Primeiro caso:
10 - 2x= 2x - 5
-2x - 2x= -5 - 10
-4x= -15
4x= 15
x= 15
4
II) Segundo caso:
10 - 2x= -2x + 5
-2x + 2x= -10 + 5
0x= -5
0= -5 ( falsa, afirmação inválida)
Resposta: S= {15/4}
Exemplo 4:
|2x - 7|= | x + 4|
Primeiro caso:
2x - 7= x + 4
Segundo caso
2x - 7= -x - 4
I)
2x - 7= x + 4
2x - x= 7 + 4
x= 11
II)
2x - 7= -x - 4
2x + x= 7 - 4
3x= 3
x= 3/3
x= 1
Resposta: S={1, 11}
Exemplo 5:
|x² - 5x + 8|= 2
Primeiro caso:
x² - 5x + 8= 2
x² -5x + 8 - 2= 0
x²2 - 5x + 6=0
Segundo caso:
x² - 5x + 8= -2
x² - 5x + 8 + 2= 0
x² - 5x + 10= 0
I)
x² - 5x + 6= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 6
∆= 25 - 24
∆= 1
x= 5 ± √1
2
x= 5 ± 1
2
x'= 6
2
x'= 3
x"= 4
2
x"=2
II)
x² - 5x + 10= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 10
∆= 25 - 40
∆= - 15 (a equação não possui raízes reais)
Resposta: S={( 3, 2)}
Exemplo 7:
|x|² - 10|x| + 24= 0
I) Para resolvermos esta questão precisaremos fazer |x|= y, sendo que y > 0
y² - 10y + 24= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-10)² - 4 • 1 • 24
∆= 100 -96
∆= 4
y= -b ± √∆
2a
y= 10 ± √4
2
y= 10 ± 2
2
y'= 12
2
y'= 6
y"= 8
2
y"= 4
II) Como |x|= y teremos que:
i) |x|= 6
Assim, x= 6 ou x= -6
ii) |x|= 4
Portanto x= 4 ou x= -4
Resposta: S={6, -6, 4, -4}
Dominando o conhecimento- exercícios
Questão 1) Resolva as seguintes equações modulares
a) |x + 3|= 7
b) |3x - 8|= 13
Questão 2) Resolva a equação |x + 2|= 3x - 6
Questão 3)(PUC - SP) O conjunto solução S da equação |2x - 1|= x - 1 é:
a) S= {0, 2/3}
b) S={0, 1/3}
c) S={}
d)S= {0,-1}
e)S={0, 4/3}
a) S= {0, 2/3}
b) S={0, 1/3}
c) S={}
d)S= {0,-1}
e)S={0, 4/3}
Questão 4) Encontre o conjunto solução da equação |3x + 1|= |x- 3|
Questão 5) Resolva a equação modular |3x -1|= |2x + 6|
Questão 6) (UEPA) O conjunto solução da equação |x|² - 2|x| - 3= 0 é igual a:
a) S={-1, 3}
b) S={-3 ,3}
c) S={-1, 1}
d) S={-3, 1}
e) S= { 1, 3}
Questão 7) (U.F. Juiz de Fora- MG) O número de soluções negativas da equação |5x - 6|= x² é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resoluções:
Questão 1)
a)
|x + 3|= 7
Primeiro caso:
x + 3= 7
Segundo caso:
x + 3= -7
I) Primeiro caso
x + 3= 7
x= 7 - 3
x= 4
II) Segundo caso:
x + 3= -7
x= -7 - 3
x= -10
Resposta: S= {(-10, 4)}
b)
|3x - 8|= 13
Primeiro caso:
3x - 8= 13
Segundo caso:
3x - 8= -13
I) Primeiro caso
3x - 8= 13
3x= 13 + 8
3x= 21
x= 21
3
x=7
II) Segundo caso:
3x - 8 = -13
3x= -13 +8
3x= -5
x= - 5
3
Resposta: S= {-5/3, 7}
Questão 2)
|x + 2|= 3x - 6
*Condição de existência da equação
3x - 6 ≥ 0
3x ≥ 6
x ≥ 6
3
x ≥ 2
Primeiro caso:
x + 2= 3x - 6
Segundo caso:
x + 2= -3x + 6
I) Primeiro caso:
x + 2= 3x - 6
x - 3x= -6 - 2
-2x= -8
x= (-8)
(-2)
x= 4
II) Segundo caso:
x + 2= -3x + 6
x+ 3x= 6 - 2
4x= 4
x= 4
4
x= 1 (não satisfaz a condição de existência da equação)
Resposta: S= {4}
Questão 3)
|2x - 1|= x - 1
* Condição de existência:
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1
Primeiro caso:
2x - 1= x - 1
Segundo caso:
2x - 1= -x + 1
I) Primeiro caso:
2x - 1= x - 1
2x - x= 1 -1
x= 0 (não satisfaz a condição de existência da equação)
II) Segundo caso
2x - 1= - x + 1
2x + x= 1 + 1
3x = 2
x= 2 (não satisfaz a condição de existência da equação)
3
III) O conjunto solução da equação seria S={0, 2/3}, mas pela condição de existência da equação, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores que 1. Por isso, a solução correta é S={}
Resposta: S={}. Item c.
Questão 4)
|3x + 1|= |x- 3|
Primeiro caso:
3x + 1= x - 3
Segundo caso:
3x + 1= 3 - x
I) Primeiro caso:
3x + 1= x - 3
3x -x= -3 -1
2x= -4
x= - 4
2
x= -2
II) Segundo caso:
3x + 1= 3 - x
3x + x= 3 - 1
4x = 2
x = 2
4
x= 1
2
Resposta: S= { 1/2, -2}
Questão 5)
|3x -1|= |2x + 6|
Primeiro caso:
3x - 1= 2x +6
Segundo caso:
3x - 1= -2x - 6
I) Primeiro caso:
3x - 1= 2x + 6
3x - 2x= 6 + 1
x= 7
II) Segundo caso:
3x - 1= -2x - 6
3x + 2x= -6 + 1
5x= -5
x= - 5
5
x= -1
Resposta: S= { -1, 7}
Questão 6)
* |x|² - 2|x| - 3= 0
I) Para resolvermos esta questão precisaremos fazer |x|= y, sendo que y > 0
y² - 2y - 3= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-2)² - 4 • 1 • (-3)
∆= 4 + 12
∆= 16
y= -b ± √∆
2a
y= 2 ± √16
2
y= 2 ± 4
2
y'= 6
2
y'= 3
y"=- 2
2
y"= -1 (não convém)
II) Como |x|= y teremos que:
|x|= 3
Assim, x= 3 ou x= -3
*S={3, -3}
Resposta: Item b.
Questão 7)
|5x - 6|= x^2
Primeiro caso:
5x - 6= x² => x² - 5x + 6= 0
Segundo caso
5x - 6= -x² => x² + 5x - 6= 0
I) Primeiro caso:
x² - 5x + 6= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 6 I) Para resolvermos esta questão precisaremos fazer |x|= y, sendo que y > 0
y² - 2y - 3= 0
∆= b² - 4ac
∆= (-2)² - 4 • 1 • (-3)
∆= 4 + 12
∆= 16
y= -b ± √∆
2a
y= 2 ± √16
2
y= 2 ± 4
2
y'= 6
2
y'= 3
y"=- 2
2
y"= -1 (não convém)
II) Como |x|= y teremos que:
|x|= 3
Assim, x= 3 ou x= -3
*S={3, -3}
Resposta: Item b.
Questão 7)
|5x - 6|= x^2
Primeiro caso:
5x - 6= x² => x² - 5x + 6= 0
Segundo caso
5x - 6= -x² => x² + 5x - 6= 0
I) Primeiro caso:
x² - 5x + 6= 0
∆= b² - 4ac
∆= 25 - 24
∆= 1
x= -b ± √∆
2a
x= 5 ± √1
2
x= 5 ± 1
2
x'= 6
2
x'= 3
x"= 4
2
x"= 2
II) Segundo caso
x² + 5x - 6= 0
∆=b² - 4ac
∆= 5² - 4 • 1 • (-6)
∆= 25 + 24
∆= 49
x= -b ± √∆
2a
x= -5 ± √49
2
x= -5 ± 7
2
x'= 2
2
x'= 1
x"= -12
2
x"= -6
III) Podemos constatar que existe apenas uma raiz negativa nesta equação.
Resposta: Item b.
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.
Referências:
1-https://www.professorferretto.com.br/equacoes-modulares-parte-1/2-https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacoes-modulares-tipos-e-estrategias-de-resolucao.htm
3-https://www.infoescola.com/matematica/equacao-modular/
4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-modular-1.htm
6-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-modular.htm
7-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-modular.htm
8-https://casadamatematica.com.br/10-exercicios-resolvidos-de-equacoes-modulares/
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