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sexta-feira, 15 de março de 2019

Sistema de equações do segundo grau

O que é?

Um sistema de equações do segundo grau é um conjunto de equações que apresentam mais de uma variável, onde se encontra uma equação quadrática ou a resolução do sistema nos leva a uma.
A solução destas equações nos mostra os valores que satisfazem ambas as equações por meio de dois pares ordenados.
Este tipo de sistema pode ser resolvido através do método de substituição.
Sistemas de equações do segundo grau são muito práticos na resolução de diversos problemas e agora mostraremos alguns exemplos de sistemas.

Exemplos:

E.1) 
{x² + y²= 20 
{x + y= 6

I) Para começarmos, iremos isolar x na segunda equação.

x + y= 6
x= 6 - y

II) Agora, substituiremos o valor de x na primeira equação

x² + y²= 20
( 6 - y)² + y²= 20
36 - 12y + y² + y²= 20
2y² - 12y + 36= 20
2y² - 12y + 36 - 20= 0
2y²- 12y + 16= 0 (dividindo ambos os lados da equação por dois)
y² - 6y + 8= 0

III) Aplicaremos a fórmula de Bhaskara para obter o valor de y.

y² - 6y + 8= 0

 Coeficientes da equação
a= 1
b= -6
c= 8

Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(-6)² - 4 • 1 • 8
∆=36 - 32
∆=4

 y= -b ± √∆ 
         2a

y= -(-6) ± √4  
          2 • 1

 y= 6  ± 2  
         2

 y'= 6 + 2 
         2

 y'= 8 
      2

 y'= 4

 y"= 6 - 2 
         2

y"= 4 
       2

y"= 2

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'=6 - y'
x'=6 - 4
x'= 2

x"= 6 - y"
x"= 6 - 2
x"= 4

Resposta: S= {(2, 4) e ( 4, 2)}

E.2)
{x + y= 2
{4xy= 3

I) Para começarmos, iremos isolar x na segunda equação.

x + y= 2
y= 2 - x

II) Agora, substituiremos o valor de x na primeira equação

4xy=3
4 • x • ( 2 - x)= 3
4 • ( 2x - x²)= 3
8x - 4x²= 3 (multiplica a equação por -1)
4x² - 8x= -3
4x² - 8x + 3= 0

III) Aplicaremos a fórmula de Bhaskara para obter o valor de x
4x² - 8x + 3= 0

 Coeficientes da equação
a= 4 
b= 8
c= 3

Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(8)^2 - 4 • 4 • (3)
∆=64 - 48
∆=16

 x= -b ± √∆ 
         2a

x= -(-8) ± √16  
          2 • 4

 x= 8  ± 4  
         8

 x'= 8  + 4 
         8

 x'= 12 
       8

 x'= 3 
      2

 x"= 8 - 4 
         8

x"= 4 
       8

x"= 1 
       2

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

y'=2 - x'
y'=2 - 3 
          2
y'= 2 - 1,5
y'= 0,5
y'= 1 
      2

y"= 2 - x"
y"= 6 - 1 
            2
y"= 2 -  0,5
y"= 1,5
y"= 3 
       2

Resposta: S= {(3/2 , 1/2), ( 1/2, 3/2)}

Exercícios:

Questão 1) (Cefet- SP) Sabendo que as equações de um sistema são x • y=50 e x + y= 15, os possíveis valores para x e y são:
a){(5, 15)}, (10, 5)}
b){(10, 5), ( 10, 5)}
c){(5, 10), (15,5)}
d){(5,10), (5,10)}
e){(10 ,5), ( 5, 10)}

Questão 2) Resolva o sistema a seguir utilizando números reais:
{3x - y²=4
{3x + 2y=3

Questão 3) Resolva o sistema a seguir utilizando números reais:
{x - y= 5
{x² + y²= 13

Questão 4) Um retângulo com lados x e y mede 32 cm de perímetro e sua área 60 cm^2 de área. Determine as medidas x e y deste retângulo.

Questão 5) Resolva o seguinte sistema:
{x - y= 1
{x² + y²= 5

Questão 6) Um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dimensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área da região determinada por esse triângulo, sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que x < y.

Resoluções:

Questão 1)
{xy=50
{x + y= 15

I) Primeiramente, isolaremos x na segunda equação
x + y= 15
x= 15 - y

II) Em seguida, substituiremos o valor de x na primeira equação.

x • y=50
(15 - y) •  y=50
15y - y²= 50 ( multiplicando os dois lados da equação por -1)
y² - 15y= -50
y² - 15y + 50=0


III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.
y² - 15y + 50=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= -15
c= 50
Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(-15)^2 - 4 • 1 • 50
∆=225 - 200
∆=25

y= -b ± √∆ 
         2a

y= -(-15) ± √25  
           2 • 1

y= 15  ± 5  
          2

y'= 15 + 5 
           2

y'= 20 
       2

y'= 10

y"=15 - 5 
          2

y"= 10 
        2

y"= 5

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'=15 - y'
x'=15 - 10
x'= 5

x"= 15 - y"
x"= 15 - 5
x"= 10

Resposta: Item e. V={(10,5), (5, 10)}

Questão 2)
{3x - y²=4
{3x + 2y= 3

I) Primeiramente, isolaremos 3x na primeira equação
3x - y²=4
3x =4 + y²
3x= y² + 4

II) Em seguida, substituiremos o valor de 3x na primeira equação.
3x + 2y= 3
y² + 4 + 2y= 3
y² + 2y + 4 - 3=0
y² + 2y + 1= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.
y² + 2y + 1=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= 2
c= 1

 Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(2)² - 4 • 1 • 1
∆= 4 -4
∆= 0
y= -b ± √∆ 
         2a

y= - (2) ± √0  
           2 • 1

y= - 2 ± 0  
          2

y= -  2  
         2

y= -1

IV) Como obtivemos o valor de y, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

3x= y² + 4
x=  y² + 4  
           3
x= (-1)² + 4 
            3

x= 1 + 4 
        3

x= 5 
     3

Resposta: V={(5/3, -1)}

Questão 3)
{x - y= 5
{x² + y²= 13

I) Primeiramente, isolaremos x na primeira equação
x - y= 5
x= 5 + y

II) Substituiremos o valor de x na segunda equação

(5 + y)² + y²= 13
25 +10y + y² + y²= 13
2y² + 10y + 25= 13
2y² + 10y + 25 - 13= 0
2y² + 10y + 12= 0 (dividiremos os dois lados da equação por dois para facilitar os cálculos)
y² + 5y + 6= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.
y² + 5y + 6=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= 5
c= 6

Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(5)² - 4 • 1 • 6
∆= 25 - 24
∆= 1

y= -b ± √∆ 
         2a

y= -(5) ± √1  
          2 • 1

y= -5 ± 1   
         2

y'= -5 + 1 
          2
y'= - 4 
        2
y'= -2

y''= -5 - 1 
          2
y"= -6 
        2

y"= -3

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'= 5 + y'
x'= 5 + (-2)
x'= 5 - 2
x'= 3

x"= 5 + y"
x"= 5 + (- 3)
x"= 5 - 3
x"= 2

Resposta: O sistema apresenta duas soluções reais: (3, -2), (2, -3).

Questão 4)
I) Primeiramente montaremos o sistema com base nos dados que o problema forneceu e com alguns conceitos básicos.

Área: x • y
Perímetro: x + x + y + y= 2x + 2y

Montando o sistema:
{2x + 2y= 32 (dividindo os dois lados da primeira equação por dois)
{xy= 60

{x + y= 16
{xy= 60

II) Isolando y na primeira equação:
x+ y= 16
y= 16 - x

III) Substituindo o valor de y na segunda equação
xy= 60
x • (16 - x)= 60
16x - x²= 60 ( organizando a equação)
-x² + 16x= 60 (multiplicando os dois lados da equação por -1)
x² -16x= -60
x² - 16x + 60= 0

IV) Agora, obteremos os valores de x através da fórmula de Bhaskara.
x² - 16x + 60= 0

 Coeficientes da equação
a=1
b= -16
c= 60

Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(-16)² - 4 • 1 • 60
∆= 256 - 240
∆= 16

x= -b ± √∆ 
         2a

 x= -(-16) ± √16 
             2 • 1

 x= 16 ± 4 
          2

 x'= 16 + 4 
          2

 x'= 20 
       2
x'= 10

 x"= 16 - 4 
           2
x"= 12 
        2

 x"= 6

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

 y'= 16 - x'
y'= 16 - 10
y'= 6

 y"= 16 - x"
y"= 16 - 6
y"= 10

 Resposta: As dimensões desta quadra de tênis são 10 cm e 6 cm.

Questão 5)
{x - y= 1
{x² + y²= 5

I) Primeiramente, isolaremos x na primeira equação
x - y= 5
x= 1 + y

II) Substituiremos o valor de x na segunda equação

(1 + y)² + y²= 5
1 +2y + y² + y²= 5
2y² + 2y + 1= 5
2y² + 2y + 1 - 5= 0
2y² + 2y - 4= 0 (dividiremos os dois lados da equação por dois para facilitar os cálculos)
y²+ y -  2= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.
y² + y - 2=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= 1
c= -2

Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(1)² - 4 • 1 • (-2)
∆= 1 + 8
∆= 9

y= -b ± √∆ 
         2a

y= -(1) ± √9  
          2 • 1

y= -1 ± 3   
         2

y'= -1 + 3 
          2
y'=  2 
       2
y'= 1

y''= -1 - 3 
          2
y"= -4 
        2

y"= -2

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'= 1 + y'
x'= 1 + 1
x'= 2

x"= 1 + y"
x"= 1 + (- 2)
x"= 1 - 2
x"= -1



Resposta: O sistema apresenta duas soluções reais: (2, 1), (-1, -2).

Questão 6)
I) Primeiramente montaremos o sistema com base nos dados que o problema forneceu e com alguns conceitos básicos.
Pelo teorema de Pitágoras:
x² + y² = 13²
x² + y²= 169

Sabendo o perímetro do triângulo e que a hipotenusa tem 13 cm. A soma x + y é:

x + y + 13= 30
x+ y= 30 - 13
x+ y= 17

Montando o sistema:
{x + y= 17
{x² + y²=169

I) Primeiramente, isolaremos x na primeira equação
x + y= 17
x= 17 - y

II) Substituiremos o valor de x na segunda equação

(17 - y)² + y²= 169
289 - 34y + y² + y²= 169
2y² - 34y + 289= 169
2y² - 34y + 289 - 169= 0
2y² - 34y + 120= 0 (dividiremos os dois lados da equação por dois para facilitar os cálculos)
y² - 17 y + 60= 0

III) Agora, obteremos os valores de y através da fórmula de Bhaskara.
y² - 17y + 60=0

Coeficientes da equação
a= 1
b= -17
c= 60

Discriminante:
∆=b² - 4ac
∆=(-17)² - 4 • 1 • 60
∆= 289 - 240
∆= 49

y= -b ± √∆ 
         2a

y= -(-17) ± √49  
           2 • 1

y= 17 ± 7   
         2

y'= 17 + 7 
          2
y'=  24 
        2
y'= 12

y''= 17 - 7 
          2
y"= 10 
        2

y"= 5

IV) Agora que os valores de y são conhecidos, podemos obter os valores de x substituindo os de y em qualquer uma das equações.

x'= 17 - y'
x'= 17 - 12
x'= 5

x"= 17 - y"
x"= 17 - 5
x"= 12

*OBS: Como o enunciado diz que x < y, temos que x= 5 cm e y= 12 cm.

V) Como o enunciado também exige o valor da área do triângulo, iremos calculá - lo.

Área= x • y 
              2
Área=  5 • 12 
               2

Área= 60 
            2

Área= 30 cm²


Resposta: A área do triângulo mede 30 cm².

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

às

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