Desafios de Matemática 6.0

Desafio 1- (EFOMM 2011) Um hexágono regular regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 128π cm³. A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone é de:
a) 0,3
b) 0,6
c) 0,9
d) 0,27
e) 0,36

Desafio 2- (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. 
Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4.

Desafio 3- (EFOMM 2011) Seja um contêiner, no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, a maior distância entre dois vértices do paralelepípedo é igual a 6√5 m. É correto afirmar que metade de sua área total é, em m², vale (a + b + c= 22 m):
a) 120
b) 148
c) 152
d) 188
e) 204

Resolução:

Desafio 1) (EFOMM 2011) 

I) Se um hexágono regular de 8 cm de lado está inscrito na base de um cone de revolução, significa que o raio da sua base mede 8 cm. Isso ocorre porque o lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência é igual ao raio da circunferência. 
Com isso, teremos:

R= L6
R= 8 cm

II) Sabendo o raio da base deste cone e o seu volume, descobriremos sua altura:

Vcone=  π • R² • h  
                     3

h= 3 • Vcone  
           πR²

h= 3 • 128 π =  384π  = 6 cm
        π • 8²         64π

h= 6 cm

III)Agora, calcularemos a medida da geratriz deste cone para facilitar o cálculo de sua área.

g²= h² + R²
g²= 6² + 8²
g²= 36 + 64= 100
g= √100
g= 10 cm

IV) Área total do cone:

At= πR² + πRg
At= πR(R + g)
At= 8π(8 + 10)
At= 8 • π • 18
At= 144π cm²

V) Agora, iremos determinar a altura do cilindro desta questão, sabendo que o mesmo possui o mesmo raio e volume do cone mencionado na questão.

R'= 8 cm
Vcilindro= 128π cm³
Vcilindro= π • R'² • h'

h'= Vcilindro  
        π • R'²

h'=  128π   =   128π   = 2 cm
       π • 8²         64π

h'= 2 cm

VI) Agora, calcularemos a área deste cilindro:

At'= 2πR'(R' + h')
At'=2 • π • 8 • (2 + 8)
At'= 160π cm²

VII) Para obtermos a resposta, iremos dividir a área total do cone pela do cilindro.

At/At'= 144π/160π= 9/10
At/At'= 0,9

Resposta: Item c

Desafio 2- (IME 2002)
I) Primeiramente, como a questão diz que o vértice do cone toca a outra base do cilindro e que ambos os sólidos têm uma base comum, podemos afirmar que ambos apresentam a mesma altura e o mesmo raio. Comparando a razão entre suas áreas, teremos:

Acil/Aco=2πr(r + h)/πr(r + g)= 7/4
Acil/Aco= 2(r + h)/(r + g)= 7/4

4 • 2(r + h)= 7(r + g)
8(r + h)= 7r + 7g
8r + 8h= 7r + 7g
8r - 7r = 7g -8h
r= 7g - 8h

II) No triângulo retângulo abaixo, formado neste cone, chamaremos de α o ângulo entre o eixo do cone (que corresponde a altura no centro da base superior do cilindro) e sua geratriz. Nesse triângulo, teremos:

sen α= r/g
cos α= h/g

Então, se dividirmos tudo por g, teremos:

r= 7g - 8h
r/g= 7g/g - 8(h/g)
sen α= 7 - 8 cos α

IV) Elevando os membros da equação ao quadrado teremos:

sen² α= (7 - 8 cos α)²
sen² α= 49 - 112 cos α + 64 cos² α

- Substituindo sen² α= 1 - cos² α e simplificando

1 - cos² α= 49 - 112 cos α + 64 cos² α
65 cos² α - 112 cos α + 48= 0

V) Agora, resolveremos esta equação trigonométrica pela fórmula de Bháskara, mas ela pode ser também resolvida por fatoração:
∆=b² - 4ac
∆=(-112)² - 4 • 65 • 48
∆= 12544 - 12480
∆= 64

cos α= [-(-112)  ± √64]/(2 • 65) =  (112 ± 8)/130
-As raízes desta equação serão:
cos α= (112 + 8)/ 130= 120/130= 12/13
                       ou
cos α= (112 - 8)/130= 104/130= 4/5

VI) Substituiremos as raízes desta equação quadrática na primeira igualdade desenvolvida para conferir as respostas. 
-Primeira raiz:
sen α= 7 - 8 cos α
sen α= 7 - 8 • (12/13)
sen α= 7 - 96/13= (91 - 96)/13
sen α= -5/13 (não serve, pois α < 90°)

-Segunda raiz:
sen α= 7 - 8 cos α
sen α= 7 - 8 • (4/5)
sen α= 7 - 32/5= (35 - 32)/5
sen α= 3/5 

Com isso, temos que o cosseno do ângulo procurado é 4/5. Como o problema pediu o ângulo, podemos escrever:

α= arccos 4/5

Resposta: α= arccos 4/5

Questão 3 - (EFOMM 2011)
Dados:
d= 6√5 m
a + b + c= 22 m
I) Sabendo que a maior distância entre dois vértices de um paralelepípedo corresponde a sua diagonal e conhecendo os dados fornecidos, teremos:
d²= a² + b² + c²
a² + b² + c²= (6√5)²= 180
a² + b² + c²= 180

II) A área total do paralelepípedo é:

At= 2(ab + ac + bc)= (a + b + c)² - (a² + b² + c²)= 22² - 180
At= 2(ab + ac + bc)= 484 - 180= 384
At= 384 m²

-Logo, metade da sua área total será:

At/2= 304/2
At/2= 152 m²

Resposta: Item c

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=2&t=73999]
2-http://madematica.blogspot.com/2014/04/exercicios-resolvidos-de-geometria.html

Semelhança de triângulos- Dominando o conhecimento exercícios

Questão 1) Enem 2018 A inclinação de uma rampa é calculada da seguinte maneira: para cada metro medido na horizontal, mede-se x centímetros na vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem inclinação de x%, como no exemplo da figura:

Fonte:https://descomplica.com.br/gabarito-enem/questoes/2018/segundo-dia/para-atender-normas-tecnicas-municipio-o-nivel-da-garagem-devera-ser/

A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento.

Fonte: https://descomplica.com.br/gabarito-enem/questoes/2018/segundo-dia/para-atender-normas-tecnicas-municipio-o-nivel-da-garagem-devera-ser/

Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do município onde ela está localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial seja de 20%. Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para diminuir o percentual de inclinação, mantendo o comprimento da base da rampa. Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser:

a) elevado em 40 cm. 

b) elevado em 50 cm. 

c) mantido no mesmo nível. 

d) rebaixado em 40 cm. 

e) rebaixado em 50 cm.

Questão 2) Enem - 2009 - A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

a) 1,16 metros
b) 3,0 metros
c) 5,4 metros
d) 5,6 metros
e) 7,04 metros

Questão 3) Enem 2013 - O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Fonte:https://descomplica.com.br/artigo/4-questoes-de-triangulos-que-caem-todo-ano-no-enem/4qt/

a) 1 m 

b) 2 m 

c) 2,4 m 

d) 3 m 

e) 2√6 m

Resoluções:

Questão 1)

*Visto que apenas o nível da rua sofrerá alteração em sua medida, teremos a seguinte relação de semelhança.

x/8= 0,2  => x= 1,6 metros

* A rampa deve ter 1,6 metros para a inclinação ser de 20%. Assim sendo, o nível da garagem deve ser elevado em 40 cm.

Resposta: Item a

Questão 2)

I) A rampa descrita na questão tem suas medidas representadas na seguinte figura:

Fonte:https://www.infoenem.com.br/garanta-as-melhores-apostilas-para-o-enem-2014/

II) A partir da semelhança entre o triângulo maior com o menor, teremos:

  (x + 3,2)  =  2,2  
       3,2          0,8

Desenvolvendo:

0,8 • (x + 3,2)= 3,2 • 2,2
0,8x + 2,56= 7,04
0,8x= 7,04 - 2,56
0,8x= 4,48
x= 4,48/0,8
x= 5,6 metros

Resposta: Item d.

Questão 3)

i) A partir da semelhança entre os triângulos ABC e EFB, teremos

EF/4= FB/AB (eq.I)

ii) A partir da semelhança entre os triângulos ADB e EFA , teremos

EF/6=AF/AB (eq.II)

iii) Somando eq.I e eq.II

EF/4 + EF/6= FB/AB + AF/AB

EF/4 + EF/6= (FB + AF)/AB

*Lembrando que AB= FB + AF, teremos

EF/4 + EF/6= AB/AB=1

EF/4 + EF/6= 1

6EF +4EF= 24

10EF= 24 => EF= 2,4 metros

Resposta: Item c

Referências:

1-https://descomplica.com.br/gabarito-enem/questoes/2018/segundo-dia/para-atender-normas-tecnicas-municipio-o-nivel-da-garagem-devera-ser/

2- https://descomplica.com.br/artigo/4-questoes-de-triangulos-que-caem-todo-ano-no-enem/4qt/

3- https://descomplica.com.br/gabarito-enem/questoes/2018/segundo-dia/para-atender-normas-tecnicas-municipio-o-nivel-da-garagem-devera-ser/

4-https://exatastasparatodos.blogspot.com/2020/03/teorema-de-tales.html

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Semelhança de triângulos

Definição:

A semelhança de triângulos trata-se de uma relação estabelecida entre triângulos quando eles possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Ou seja, dois triângulos serão semelhantes se existir uma proporcionalidade entre os seus lados correspondentes e os seus ângulos forem congruentes. A semelhança entre dois triângulos é indicada por ~.

Entretanto, semelhança entre dois triângulos pode ser verificada de outras formas mais simples. Basta verificar se ela segue os casos de congruências abaixo:

Casos de semelhança:

Primeiro caso de semelhança-Caso ângulo-ângulo.

Dois triângulos serão semelhantes se apresentarem dois ângulos correspondentes iguais. Observe que, quando isso ocorre, o terceiro ângulo de ambos também será congruente. Isso é garantido pelo fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre é 180 graus.
Logo, não é necessário verificar a proporção entre os lados homólogos (correspondentes) do triângulo. Na figura abaixo, encontra-se um exemplo desse tipo de semelhança.


Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-triangulos.htm

Segundo caso de semelhança- Critério Lado-Lado-Lado (LLL)

Dois triângulos serão semelhantes se apresentarem os seus lados homólogos (correspondentes) proporcionais. Logo, não é necessário verificar as medidas dos ângulos internos para observar que eles são semelhantes.
Na figura abaixo, encontra-se um exemplo desse caso de semelhança:


Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-semelhanca-triangulos.htm
Nesse exemplo, observa-se que a razão entre os lados homólogos apresentam o mesmo resultado:

k= 10/5=6/3= 8/4 =2

Terceiro caso de semelhança-Critério Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos (correspondentes) do outro triângulo e o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro, eles serão semelhantes.


Fonte:http://www.estudarmatematica.pt/2014/09/criterios-de-semelhanca-de-triangulos.html

Teorema fundamental da semelhança:

Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, forma-se um segundo triângulo semelhante ao primeiro.

Fonte:https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/

Nessa figura acima, representamos o triângulo ABC e a reta r, paralela ao lado BC do triângulo ABC.

Ao observamos a figura, nota-se que os ângulos B e D são congruentes, assim como os ângulos C e Ê porque a reta r é paralela ao lado BC. Logo, os triângulos ABC e ADE são congruentes pelo critério de semelhança ângulo-ângulo (critério AA).

Razão entre os perímetros:

Se dois triângulos são semelhantes com uma razão de semelhança k, a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes também é k.
Assim, sejam ∆ABC e ∆A'B'C' semelhantes,  temos:
∆ABC ~ ∆A'B'C' => a/a'= b/b'= c/c'= k

Fonte da imagem:https://pt.wikipedia.org/wiki/Semelhan%C3%A7a_de_tri%C3%A2ngulos

Reescrevendo a proporção entre os lados:
a/a'= k => a=a' • k
b/b'= k => b= b' • k
c/c'=k => c= c' • k

Sabendo que o perímetro é a soma de todos os lados
P= a + b + c (perímetro de ∆ABC)
P'= a' + b' + c' (perímetro de ∆A'B'C')

A razão entre os perímetros será dada por:

  P  =   a + b + c   =  a' • k + b' • k + c' • k  =  k • (a' + b' + c') = k
  P'      a' + b' + c'           a' + b' + c'                     a' + b' + c'

Razão entre áreas:

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes de razão k será k².

Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Semelhan%C3%A7a_de_tri%C3%A2ngulos

Assim, sejam ∆ABC e ∆A'B'C' semelhantes,  temos:
∆ABC ~ ∆A'B'C' => a/a'= b/b'= c/c'= k

A área de ∆ABC será: AABC= (c • h) 
                                                    2
A área de ∆A'B'C' será: AA'B'C'= (c' • h')/2

Dividindo a área do primeiro pela área do segundo:

                 (c • h) 
  AABC  =       2        =   (c • h)   •       2       =  c   •  h 
 AA'B'C'       (c' • h')           2           (c' • h')      c'      h'

                     2

Por semelhança entre os triângulos, obtém-se c/c'= k e h/h'= k.
Logo,

  AABC  =   c   •   h  = k • k= k²
AA'B'C''      c'       h'

Exemplos:

Questão 1)  Qual o valor de x nos triângulos a seguir

Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-triangulos.htm
a) 48 cm
b) 49 cm
c) 50 cm
d) 24 cm
e) 20 cm

Resolução:
I) Primeiramente, observa-se que os triângulos ABC e DEF são semelhantes pelo critério ÂÂ. Contudo, o lado EF, de medida x, do triângulo maior é o lado correspondente do lado BC do triângulo menor, que apresenta medida desconhecida. Recorremos ao Teorema de Pitágoras para descobrir sua medida

BC² + 18²= 30²
BC² + 324= 900
BC²= 576 => BC= 24 m

II) Recorrendo a semelhança de triângulos para descobrir x, temos:

x/24= 36/18= 2
x/24= 2 => x= 48 cm

Resposta: Item a

Questão 2)Cefet/MG - 2015 A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 metros, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a mesma possa rebater e colidir com a preta.

Fonte:https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos-exercicios/
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente 
a) 67 
b) 70 
c) 74 
d) 81

Resolução:
I) Primeiramente, observa-se que os triângulos em vermelho são semelhantes pelo critério ÂÂ porque ambos possuem um ângulo reto e um ângulo de medida alfa.

Fonte:https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos-exercicios/

Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:

PQ/1= 0,8/1,2
PQ= 0,67 m

PQ=67 cm

Resposta: Item a

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado em meio a este período de isolamento social, importante para o combate ao COVID-19.

Referências:

1-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-triangulos.htm

2-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-semelhanca-triangulos.htm

3-https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/

4-https://pt.wikipedia.org/wiki/Semelhan%C3%A7a_de_tri%C3%A2ngulos
5-http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/moduloII/conteudos2_criterios1.html
7-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teorema-fundamental-semelhanca.htm
8-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-semelhanca-triangulos.htm
9-https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos-exercicios/
10-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-semelhanca-entre-triangulos.htm