Desafios de matemática 7.0

Questão 1 - IME 2008) Um quadrado ABCD o segmento AB', com comprimento igual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, conforme indicado na figura. Determine o ângulo BÂB' correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do segmento B'C e o lado do quadrado vale √(3 -  √6).

                                                         

                       

  Fonte:https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=21431

Questão 2 -Ufrn 2000) Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que o ângulo RPQ do triângulo QPR é igual ao ângulo  do triângulo RPS. O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é: 

a) 8,5 

b) 8,8 

c) 9,4 

d) 10,2

                         

Fonte da imagem: https://www.professor.bio.br/matematica/provas_vestibular.asp?origem=Ufrn&curpage=8

Questão 3- Mackenzie) No triângulo ABC temos AB = AC e sen x = 3/4. Então cos y é igual a: (imagem abaixo) 

a) 9/16 

b) 3/4 

c) 7/9 

d) 1/8 

e) 3/16

                                                                                     

Fonte:http://professor.bio.br/matematica/comentarios.asp?q=6350&t=Trigonometria

Questão 4-ITA 1973) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e c. Quando o navio está em A, o comandante observa um farol em L, e calcula o ângulo 

LÂC= 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica o angulo LBC = 75º. Quantas milhas separam o farol do ponto B?

a) 4

b) 2√2

c) 8/3

d)(√2)/2

e) Nenhuma das anteriores

Resoluções:

Questão 1 - IME 2008)

I) Pelo enunciado, obtemos a seguinte relação entre o segmento B'C e o lado do quadrado (L):

B'C/L= √(3 -  √6)

B'C=  √(3 -  √6) • L

II) Da reconstrução da figura, temos o ângulo B'ÂB= α, AC=L√2 por ser diagonal do quadrado ABCD e, pelo mesmo motivo, BÂC= 45°e  B'ÂC= 45° - α.

Aplicando a Lei dos Cossenos

B'C²= AB'² + AC² - 2 • AB' • AC • cos (45° - α)

[√(3 - √6) • L]²= L² + (L√2)² - 2 • L • L√2 • cos (45° - α)

(3 - √6) • L²= L² + 2L² - (2√2)L² • cos (45° - α)

(3 - √6) • L²= L² [3 - (2√2) • cos (45° - α)]

Dividindo tudo por L²:

3 - √6= 3 - (2√2) • cos (45° - α)

-√6= - (2√2) • cos (45° - α) 

√6= (2√2) • cos (45° - α) 

cos (45° - α)= (√6)/(2√2)= (√3)/2

cos (45° - α)= (√3)/2 =>  45°- α= ± 30°

 45°- α= ± 30° => α=15° ou α= 75°

Resposta:  α=15° ou α= 75°

Questão 2)

I) Denotando o lado QP como x e utilizando α= β juntamente com trigonometria, teremos:

tg (α)= RQ/QP= 6/x= y

tg (α + β)= SQ/QP= 24/x= 4 • (6/x)= 4y

tg (2α)= 24/x= 4y

II) Usando a relação do arco duplo da tangente

tg (2α)= 2tg (α)/(1 - tg² α)

tg (2α)= 2y/ (1 - y²)

4y= 2y/(1- y²)

[4y(1- y²)]/2y= 1

2(1- y²)=1

2 - 2 y²= 1 => y= 1/(√2)

Substituindo y= 6/x

6/x=1/(√2) => x=6√2 = 8,46 m (utilizando √2=1,41)

x~8,5 metros

Resposta: Item a

Questão 3- Mackenzie)

I) Sabendo que o triângulo ABC é isósceles e utilizando a soma dos ângulos internos de um triângulo, encontramos:

2x + y= 180 => y= 180 - 2x

cos y=cos (180 - 2x)= - cos (2x)

cos y= - cos (2x)= sen² x - cos² x (eq.i) 

II) Somando a relação relação fundamental da trigonometria com a equação i, encontramos:

*sen² x + cos² x= 1 (relação fundamental da trigonometria)

1 + cos y= sen² x + cos² x + sen² x - cos² x

1 + cos y= 2 • sen² x

cos y= 2 • sen² x - 1= 2 • (3/4)² - 1

cos y= 2 • (9/16) - 1= (18/16) - 1

cos y=(18-16)/16= 2/16

cos y= 2/16= 1/8

Resposta: cos y= 1/8. Item d.

Questão 4)

Dado: AB= 4 milhas (só para relembrar)

I) A situação descrita é representada pela seguinte imagem:

Fonte:https://pir2.forumeiros.com/t19471-questao-de-geometria

II) A partir do teorema do ângulo externo, encontramos o seguinte valor para o ângulo ALB:

LÂB + ALB= ABL

30° + ALB= 75° => ALB= 45°

III) A partir da lei dos senos:

AB/sen 45°= LB/ sen 30°

4/sen 45°= LB/ sen 30° 

Lembrando que sen 45°= (√2)/2 e sen 30°= 1/2

8/√2= 2LB => LB= 4/√2

-Racionalizando:

LB= (4√2)/2

LB= 2√2 milhas  => item b

Resposta: Item b

Agradecimentos:

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.

 

Desafios de Matemática 6.0

Desafio 1- (EFOMM 2011) Um hexágono regular regular de lado igual a 8 cm está inscrito na base de um cone de revolução de volume igual a 128π cm³. A razão entre a área total do cone e a área total de um cilindro, com o mesmo volume e a mesma base do cone é de:
a) 0,3
b) 0,6
c) 0,9
d) 0,27
e) 0,36

Desafio 2- (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. 
Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4.

Desafio 3- (EFOMM 2011) Seja um contêiner, no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, a maior distância entre dois vértices do paralelepípedo é igual a 6√5 m. É correto afirmar que metade de sua área total é, em m², vale (a + b + c= 22 m):
a) 120
b) 148
c) 152
d) 188
e) 204

Resolução:

Desafio 1) (EFOMM 2011) 

I) Se um hexágono regular de 8 cm de lado está inscrito na base de um cone de revolução, significa que o raio da sua base mede 8 cm. Isso ocorre porque o lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência é igual ao raio da circunferência. 
Com isso, teremos:

R= L6
R= 8 cm

II) Sabendo o raio da base deste cone e o seu volume, descobriremos sua altura:

Vcone=  π • R² • h  
                     3

h= 3 • Vcone  
           πR²

h= 3 • 128 π =  384π  = 6 cm
        π • 8²         64π

h= 6 cm

III)Agora, calcularemos a medida da geratriz deste cone para facilitar o cálculo de sua área.

g²= h² + R²
g²= 6² + 8²
g²= 36 + 64= 100
g= √100
g= 10 cm

IV) Área total do cone:

At= πR² + πRg
At= πR(R + g)
At= 8π(8 + 10)
At= 8 • π • 18
At= 144π cm²

V) Agora, iremos determinar a altura do cilindro desta questão, sabendo que o mesmo possui o mesmo raio e volume do cone mencionado na questão.

R'= 8 cm
Vcilindro= 128π cm³
Vcilindro= π • R'² • h'

h'= Vcilindro  
        π • R'²

h'=  128π   =   128π   = 2 cm
       π • 8²         64π

h'= 2 cm

VI) Agora, calcularemos a área deste cilindro:

At'= 2πR'(R' + h')
At'=2 • π • 8 • (2 + 8)
At'= 160π cm²

VII) Para obtermos a resposta, iremos dividir a área total do cone pela do cilindro.

At/At'= 144π/160π= 9/10
At/At'= 0,9

Resposta: Item c

Desafio 2- (IME 2002)
I) Primeiramente, como a questão diz que o vértice do cone toca a outra base do cilindro e que ambos os sólidos têm uma base comum, podemos afirmar que ambos apresentam a mesma altura e o mesmo raio. Comparando a razão entre suas áreas, teremos:

Acil/Aco=2πr(r + h)/πr(r + g)= 7/4
Acil/Aco= 2(r + h)/(r + g)= 7/4

4 • 2(r + h)= 7(r + g)
8(r + h)= 7r + 7g
8r + 8h= 7r + 7g
8r - 7r = 7g -8h
r= 7g - 8h

II) No triângulo retângulo abaixo, formado neste cone, chamaremos de α o ângulo entre o eixo do cone (que corresponde a altura no centro da base superior do cilindro) e sua geratriz. Nesse triângulo, teremos:

sen α= r/g
cos α= h/g

Então, se dividirmos tudo por g, teremos:

r= 7g - 8h
r/g= 7g/g - 8(h/g)
sen α= 7 - 8 cos α

IV) Elevando os membros da equação ao quadrado teremos:

sen² α= (7 - 8 cos α)²
sen² α= 49 - 112 cos α + 64 cos² α

- Substituindo sen² α= 1 - cos² α e simplificando

1 - cos² α= 49 - 112 cos α + 64 cos² α
65 cos² α - 112 cos α + 48= 0

V) Agora, resolveremos esta equação trigonométrica pela fórmula de Bháskara, mas ela pode ser também resolvida por fatoração:
∆=b² - 4ac
∆=(-112)² - 4 • 65 • 48
∆= 12544 - 12480
∆= 64

cos α= [-(-112)  ± √64]/(2 • 65) =  (112 ± 8)/130
-As raízes desta equação serão:
cos α= (112 + 8)/ 130= 120/130= 12/13
                       ou
cos α= (112 - 8)/130= 104/130= 4/5

VI) Substituiremos as raízes desta equação quadrática na primeira igualdade desenvolvida para conferir as respostas. 
-Primeira raiz:
sen α= 7 - 8 cos α
sen α= 7 - 8 • (12/13)
sen α= 7 - 96/13= (91 - 96)/13
sen α= -5/13 (não serve, pois α < 90°)

-Segunda raiz:
sen α= 7 - 8 cos α
sen α= 7 - 8 • (4/5)
sen α= 7 - 32/5= (35 - 32)/5
sen α= 3/5 

Com isso, temos que o cosseno do ângulo procurado é 4/5. Como o problema pediu o ângulo, podemos escrever:

α= arccos 4/5

Resposta: α= arccos 4/5

Questão 3 - (EFOMM 2011)
Dados:
d= 6√5 m
a + b + c= 22 m
I) Sabendo que a maior distância entre dois vértices de um paralelepípedo corresponde a sua diagonal e conhecendo os dados fornecidos, teremos:
d²= a² + b² + c²
a² + b² + c²= (6√5)²= 180
a² + b² + c²= 180

II) A área total do paralelepípedo é:

At= 2(ab + ac + bc)= (a + b + c)² - (a² + b² + c²)= 22² - 180
At= 2(ab + ac + bc)= 484 - 180= 384
At= 384 m²

-Logo, metade da sua área total será:

At/2= 304/2
At/2= 152 m²

Resposta: Item c

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=2&t=73999]
2-http://madematica.blogspot.com/2014/04/exercicios-resolvidos-de-geometria.html