Questão 1 - IME 2008) Um quadrado ABCD o segmento AB', com comprimento igual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, conforme indicado na figura. Determine o ângulo BÂB' correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do segmento B'C e o lado do quadrado vale √(3 - √6).
Questão 2 -Ufrn 2000) Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que o ângulo RPQ do triângulo QPR é igual ao ângulo do triângulo RPS. O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é:
a) 8,5
b) 8,8
c) 9,4
d) 10,2
Fonte da imagem: https://www.professor.bio.br/matematica/provas_vestibular.asp?origem=Ufrn&curpage=8
Questão 3- Mackenzie) No triângulo ABC temos AB = AC e sen x = 3/4. Então cos y é igual a: (imagem abaixo)
a) 9/16
b) 3/4
c) 7/9
d) 1/8
e) 3/16
Questão 4-ITA 1973) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e c. Quando o navio está em A, o comandante observa um farol em L, e calcula o ângulo
LÂC= 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica o angulo LBC = 75º. Quantas milhas separam o farol do ponto B?
a) 4
b) 2√2
c) 8/3
d)(√2)/2
e) Nenhuma das anteriores
Resoluções:
Questão 1 - IME 2008)
I) Pelo enunciado, obtemos a seguinte relação entre o segmento B'C e o lado do quadrado (L):
B'C/L= √(3 - √6)
B'C= √(3 - √6) • L
II) Da reconstrução da figura, temos o ângulo B'ÂB= α, AC=L√2 por ser diagonal do quadrado ABCD e, pelo mesmo motivo, BÂC= 45°e B'ÂC= 45° - α.
Aplicando a Lei dos Cossenos
B'C²= AB'² + AC² - 2 • AB' • AC • cos (45° - α)
[√(3 - √6) • L]²= L² + (L√2)² - 2 • L • L√2 • cos (45° - α)
(3 - √6) • L²= L² + 2L² - (2√2)L² • cos (45° - α)
(3 - √6) • L²= L² [3 - (2√2) • cos (45° - α)]
Dividindo tudo por L²:
3 - √6= 3 - (2√2) • cos (45° - α)
-√6= - (2√2) • cos (45° - α)
√6= (2√2) • cos (45° - α)
cos (45° - α)= (√6)/(2√2)= (√3)/2
cos (45° - α)= (√3)/2 => 45°- α= ± 30°
45°- α= ± 30° => α=15° ou α= 75°
Resposta: α=15° ou α= 75°
Questão 2)
I) Denotando o lado QP como x e utilizando α= β juntamente com trigonometria, teremos:
tg (α)= RQ/QP= 6/x= y
tg (α + β)= SQ/QP= 24/x= 4 • (6/x)= 4y
tg (2α)= 24/x= 4y
II) Usando a relação do arco duplo da tangente
tg (2α)= 2tg (α)/(1 - tg² α)
tg (2α)= 2y/ (1 - y²)
4y= 2y/(1- y²)
[4y(1- y²)]/2y= 1
2(1- y²)=1
2 - 2 y²= 1 => y= 1/(√2)
Substituindo y= 6/x
6/x=1/(√2) => x=6√2 = 8,46 m (utilizando √2=1,41)
x~8,5 metros
Resposta: Item a
Questão 3- Mackenzie)
I) Sabendo que o triângulo ABC é isósceles e utilizando a soma dos ângulos internos de um triângulo, encontramos:
2x + y= 180 => y= 180 - 2x
cos y=cos (180 - 2x)= - cos (2x)
cos y= - cos (2x)= sen² x - cos² x (eq.i)
II) Somando a relação relação fundamental da trigonometria com a equação i, encontramos:
*sen² x + cos² x= 1 (relação fundamental da trigonometria)
1 + cos y= sen² x + cos² x + sen² x - cos² x
1 + cos y= 2 • sen² x
cos y= 2 • sen² x - 1= 2 • (3/4)² - 1
cos y= 2 • (9/16) - 1= (18/16) - 1
cos y=(18-16)/16= 2/16
cos y= 2/16= 1/8
Resposta: cos y= 1/8. Item d.
Questão 4)
Dado: AB= 4 milhas (só para relembrar)
I) A situação descrita é representada pela seguinte imagem:
II) A partir do teorema do ângulo externo, encontramos o seguinte valor para o ângulo ALB:
LÂB + ALB= ABL
30° + ALB= 75° => ALB= 45°
III) A partir da lei dos senos:
AB/sen 45°= LB/ sen 30°
4/sen 45°= LB/ sen 30°
Lembrando que sen 45°= (√2)/2 e sen 30°= 1/2
8/√2= 2LB => LB= 4/√2
-Racionalizando:
LB= (4√2)/2
LB= 2√2 milhas => item b
Resposta: Item b
Agradecimentos:
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Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.
