Desafios de matemática 10.0

Questão 1)(ESPCEX) O valor de sen x + cos x, sabendo que 3sen x + 4cos x= 5, é:
a) 3/5
b) 4/5
c) 1
d) 6/5
e) 7/5

Questão 2)Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM = MN = NC. Sendo α a medida, em radianos, do ângulo MÂN, então o valor de cos α é
a) 13/14
b) 14/15
c) 15/16
d) 16/17
e) 17/18

Questão 3) (OMABC-SP) Seja f:R => R uma função definida por f(x)= 6 sen (x) + 8 cos (x) + 1. Pode-se afirmar que os valores máximo e mínimo são respectivamente:
a) 15 e 14
b) 15 e 0
c) 7 e -11
d) 11 e -9
e) 12 e 10

Resoluções:
Questão 1)

I) Conhecida a relação fundamental da trigonometria e a equação dada, obtemos o seguinte sistema:

3sen x + 4cos x= 5 (equação I)

sen² x + cos² x= 1 (equação II)

II) Isolando sen x na equação II

sen² x= 1 - cos² x

sen x= √(1 - cos² x)

III) Substituindo o valor obtido na equação I, teremos:

3 •[√(1 - cos² x)] + 4cos x= 5 

3 •[√(1 - cos² x)]= 5 - 4cos x

IV) Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado

9 • (1 - cos² x)= 25 - 40cos x + 16cos² x

9 - 9cos² x= 25 - 40cos x + 16cos² x => 25cos² x -  40cos x  + 16= 0

V) Resolvendo a equação obtida:

∆=b² - 4ac
∆=(-40)² - 4 • 25 • 16
∆= 1600 - 1600
∆= 0

cos x=   40 ± √0   =   40   = 4/5

               2 • 25          50

cos x= 4/5

VI) Substituindo o valor de cos x na equação II, teremos:

sen x= 3/5

VII) Somando os dois valores obtidos:

sen x + cos x= 3/5 + 4/5= 7/5

sen x + cos x= 7/5

Resposta: Item e

Questão 2)

I) Sendo L a medida do triângulo equilátero, teremos:

BM= MN=NC= L/3

AB=BC= AC= L (triângulo equilátero)

II) Recorrendo a lei dos cossenos no triângulo ABM, teremos:

AM²= L² + (L/3)² - 2 • L • (L/3) • cos 60°

AM²= L² + (L/3)² - 2 • L • (L/3) • (1/2) 

AM²= L² + (L²/9) - (L²/3)= (7L²)/9

AM=(L√7)/3

III) AM= AN=(L√7)/3, pois os triângulos ABM e ANC são congruentes.

IV) Aplicando a lei dos cossenos novamente no triângulo AMN, teremos:

(L/3)²= [(L√7)/3]²  + [(L√7)/3]²- 2 • [(L√7)/3] • [(L√7)/3] • cos α

(L²/9)= (7L²/9) + (7L²/9) - [14L²)/9]• cos α

(L²/9)= (14L²/9)- [14L²)/9]• cos α

Simplificando a equação:

 1= 14 - 14 • cos α

14 • cos α= 14 - 1= 13

cos α= 13/14

Resposta: Item a

Questão 3)

I) Para encontrar os valores  máximo e o mínimo da função, deve-se derivar a função e igualar a derivada a zero.

  d  (6 sen (x) + 8 cos (x) + 1)= 6 cos (x) - 8 sen (x)
 dx

Igualando a zero

6 cos (x) - 8 sen (x)= 0 => cos (x)= (4 sen (x))/3(eq.I)
                                                           

II) Substituindo o valor de (eq.I) na relação fundamental da trigonometria

sen² x + cos² x= 1
sen² x +[(4 sen (x))/3]²= 1

sen² (x) + 16sen² (x)/9= 1
25 sen² (x)/9= 1

Logo,
25 sen² (x)= 9 => sen (x)'= +0,6 e sen (x)"= -0,6

III) Substituindo em cos (x)

cos (x)'= 4/3 • (+0,6)= + 0,8
cos(x)"= 4/3 • (-0,6)= -0,8

IV) Substituindo estes valores em f(x), descobre-se que o máximo e mínimo serão:
-Máximo
f(x)'= 6 sen (x) + 8 cos (x) + 1= 6 • (0,6) + 8 • (0,8) + 1= 3,6 + 6,4 + 1= 11
f(x)'= 11
-Mínimo
f(x)"= 6 sen (x) + 8 cos (x) + 1= 6 • (-0,6) + 8 • (-0,8) + 1= -3,6 - 6,4 + 1= -9
f(x)"= -9

Resposta:Item d.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Desejo também a todos os leitores um feliz natal e um excelente ano novo.

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia. 

Teorema de Stewart

 Introdução:

Em geometria plana, o Teorema de Stewart é uma relação entre os lados de um triângulo e uma ceviana dada. Tem esse nome em homenagem ao matemático escocês Mattew Stewart, responsável por publicar o teorema no ano de 1746.

Teorema:

Seja a, b, c os lados do triângulo ABC da figura abaixo. Sendo p uma ceviana divide o lado a em dois segmentos de medidas m e n, teremos a seguinte relação:

b² • n + c² • m= a • (p² + m • n)

Demonstração:

Aplicando a lei dos cossenos nos dois triângulos formados pelo segmento CD na figura abaixo, teremos:

b²= p² + m² -2pm cos θ  (eq.I)

c²=p² + n² - 2pn cos (180° - θ) (eq.II)

Lembrando que cos (180° - θ)= -cos θ, teremos em eq.II:

c²=p² + n² + 2pn cos θ

Isolando cos θ em ambas as equações, teremos:

b²= p² + m² -2pm • cos θ =>cos θ= (p² + m² - b²)/2pm

c²=p² + n² + 2pn • cos θ => cos θ= (c² - p² - n²)/2pn

Visto que as duas expressões representam cos θ, teremos:

(p² + m² - b²)/2pm= (c² - p² - n²)/2pn

Simplificando:

(p² + m² - b²)/m=(c² - p² - n²)/n

n • (p² + m² - b²)= m • (c² - p² - n²)

n • p² + n • m² - n • b²= m •c² - m • p² - m • n²

n• p² + n • m² + m • p² + m • n²= m • c² + b² • n

p² • (m + n) + mn • (m + n)= m • c² + b² • n

Pela figura, a=m +n. Substituindo

p² • a+ mn • a= m • c² + b² • n

a • (p² + mn)= c² • m +  b² • n

c² • m +  b² • n= a • (p² + mn) (c.q.d)

Este teorema pode também ser provado pelo Teorema de Pitágoras.

Agradecimentos:

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Desafios de Matemática 9.0

Questão 1) (ITA - 1985) Dada a equação 5^2x + 3^2x- 15^x= 0, podemos afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça

b) x= log₃ 5 é a solução desta equação.

c) x= log₅ 3 é a solução desta equação.

d)x=log₅15 é a solução desta equação.

e)x= log₅ 15 é a solução desta equação.

Questão 2) (ITA-2000) A soma das raízes positivas 4^{x^2}- 5 • 2^{x^2} + 4= 0 vale:

a) 2

b) 5

c) √2

d) 1

e) √3

Questão 3)(ITA-1992) Seja α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]. O conjunto solução da desigualdade  

2^{sen x} ≤ (2/3)^α no intervalo [0, 2π) é:

a) [0, π/3] U [2π/3,2π)

b)[0, 7π/6] U [5π/3, 2π)

c) [0, π/4] U [5π/3, 2π)

d) [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Questão 4) (ITA-2008) Para x ∈ IR, o conjunto solução da equação |5^3x – 5^{2x + 1} + 4•5^x|= |5^x -1| é:

a) S= {0, 2 ±√5, 2 ±√3}

b) S= {0,1,log₅ (2 +√5)}

c) S= {0,1/2 • log₅ (3),log₅ (√2/2)}

d) S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

e) A única solução é x=0

Resoluções:

Questão 1)

I) Dividindo ambos os membros da equação dada por 15^x:

Obs:  15^x= 3^x • 5^x

(5^2x + 3^2x- 15^x= 0)/(15^x)

(5^x•5^x + 3^x•3^x - 3^x • 5^x= 0)/(3^x • 5^x)

(5/3)^x + (3/5)^x -1= 0

II) Chamando y=(5/3)^x, teremos:

y+ 1/y - 1= 0

III) Multiplicando ambos os membros por y:

y² +1 -y= 0

y²- y + 1= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-1)² - 4 • 1 • 1= 1 - 4

∆= -3 (equação não possui soluções reais)

IV) Visto que y não possui soluções reais, x também não possuíra. Assim sendo, não existe solução real que satisfaça a equação.

Resposta: Item a

   

Questão 2)

I) Ajustando alguns termos da equação:

 4^{x^2}- 5•2^{x^2} + 4= 0 

2^{2x^2}- 5•2^{x^2} + 4

II) Chamando y=2^{x^2}, teremos:

y²- 5y + 4= 0

* Resolvendo:

∆=b² - 4ac

∆=(-5)² - 4 • 1 • 4= 25 - 16

∆= 9

y=  5 ±  √9   =   5 ± 3  

         2•1              2

y'= (5 + 3)/2= 4

y"= (5 - 3)/2= 1

III) Visto que y= 2^{x^2}, teremos:

*Primeiro caso

y'= 4 =>  2^{x^2}=4 =>2^{x^2}=2² 

x² = 2 => x±√2

* Segundo caso

y'= 1 =>  2^{x^2}=1 =>2^{x^2}=2⁰ 

x² = 0=> x=0 

IV) A única raiz positiva da equação é √2, visto que as demais são iguais a zero ou negativas. Assim sendo, a soma das raízes positivas é √2.

Resposta: Item c.

Questão 3)

I) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/(log 2- log 3)]

α= (1/2) • [log 2/log (2/3)]

II) Mudando a base dos logaritmos em α para 2/3:

*log 2= log_2/3 (2)/log_2/3 (10)

*log2/3= log2/3(2/3)/log_2/3 (10)

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))/(log2/3(2/3)/log_2/3 (10))]

α= (1/2) • [(log_2/3 (2)/log_2/3 (10))] • [log_2/3 (10)/1]

α= (1/2) • log_2/3 (2)

α= log_2/3 (√2)

III) Substituindo α na desigualdade dada:

2^{sen x} ≤ (2/3)^α 

2^{sen x} ≤ (2/3)^log_2/3 (√2)

2^{sen x} ≤ √2

2^{sen x} ≤ 2^1/2 => sen x ≤ 1/2

IV) Resolvendo a inequação trigonométrica no círculo trigonométrico (solução na imagem abaixo).

* A parte pintada do círculo representa a solução da equação
-Gente, sei que o círculo não tá perfeito, mas pensem que tá (kkkkk).

A partir da solução apresentada no círculo trigonométrico é dada por:

S=  [0,π/6] U [5π/6, 2π)

Resposta: Item d

Questão 4)

I) Chamando y=5^x, teremos:

|5^3x – 5^{2x + 1} + 4• 5^x|= |5^x -1|

|5^3x – 5^2x • 5 + 4• 5^x|= |5^x -1|

|y³ – 5y² + 4y|= |y -1|

II) Visto que a equação é modular teremos duas equações para resolver:

* Primeiro caso

y³ – 5y² + 4y= y -1

y³ – 5y² + 3y + 1= 0

III) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontramos que:

y= 1 

y³ – 5y² + 3y + 1= (y -1) (y² - 4y - 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (-1)= 16 + 4

∆= 20

y=  4 ± √20   =   4 ± 2√5  

          2                  2

y=  2 ±√5 

OBS: y"=2 - √5  não é uma solução da equação, pois y= 5^x=> y > 0

IV) Segundo caso:

y³ – 5y² + 4y= -y + 1

y³ – 5y² + 5y - 1= 0

V) Considerando que a soma dos coeficientes da equação é zero, utilizaremos novamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos. Com isso, encontraremos que:

y= 1 (essa raiz já foi encontrada antes)

y³ – 5y² + 5y - 1= (y -1) (y² - 4y + 1)= 0

Resolvendo a equação quadrática encontrada:

∆=b² - 4ac

∆=(-4)² - 4 • 1 • (1)= 16 - 4

∆= 12

y=  4 ± √12   =   4 ± 2√3  

          2                   2

y=  2 ±√3 

As raízes encontradas são {1, 2 +√5, 2 +√3, 2 - √3)

VII) Sendo y=5^x, teremos:

 5^x= 1 => x= 0 

5^x= 2 + √5   => x= log₅ (2 +√5)

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 +√3) 

5^x= 2 + √3  => x= log₅ (2 - √3) 

VIII) Resolvidas as equações desenvolvidas, temos o seguinte conjunto solução para a equação dada:

S= {0,log₅ (2 +√5),log₅ (2 +√3), log₅ (2 -√3)}

Resposta: Item d

Agradecimentos:

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