Desafios de matemática 10.0

Questão 1)(ESPCEX) O valor de sen x + cos x, sabendo que 3sen x + 4cos x= 5, é:
a) 3/5
b) 4/5
c) 1
d) 6/5
e) 7/5

Questão 2)Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM = MN = NC. Sendo α a medida, em radianos, do ângulo MÂN, então o valor de cos α é
a) 13/14
b) 14/15
c) 15/16
d) 16/17
e) 17/18

Questão 3) (OMABC-SP) Seja f:R => R uma função definida por f(x)= 6 sen (x) + 8 cos (x) + 1. Pode-se afirmar que os valores máximo e mínimo são respectivamente:
a) 15 e 14
b) 15 e 0
c) 7 e -11
d) 11 e -9
e) 12 e 10

Resoluções:
Questão 1)

I) Conhecida a relação fundamental da trigonometria e a equação dada, obtemos o seguinte sistema:

3sen x + 4cos x= 5 (equação I)

sen² x + cos² x= 1 (equação II)

II) Isolando sen x na equação II

sen² x= 1 - cos² x

sen x= √(1 - cos² x)

III) Substituindo o valor obtido na equação I, teremos:

3 •[√(1 - cos² x)] + 4cos x= 5 

3 •[√(1 - cos² x)]= 5 - 4cos x

IV) Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado

9 • (1 - cos² x)= 25 - 40cos x + 16cos² x

9 - 9cos² x= 25 - 40cos x + 16cos² x => 25cos² x -  40cos x  + 16= 0

V) Resolvendo a equação obtida:

∆=b² - 4ac
∆=(-40)² - 4 • 25 • 16
∆= 1600 - 1600
∆= 0

cos x=   40 ± √0   =   40   = 4/5

               2 • 25          50

cos x= 4/5

VI) Substituindo o valor de cos x na equação II, teremos:

sen x= 3/5

VII) Somando os dois valores obtidos:

sen x + cos x= 3/5 + 4/5= 7/5

sen x + cos x= 7/5

Resposta: Item e

Questão 2)

I) Sendo L a medida do triângulo equilátero, teremos:

BM= MN=NC= L/3

AB=BC= AC= L (triângulo equilátero)

II) Recorrendo a lei dos cossenos no triângulo ABM, teremos:

AM²= L² + (L/3)² - 2 • L • (L/3) • cos 60°

AM²= L² + (L/3)² - 2 • L • (L/3) • (1/2) 

AM²= L² + (L²/9) - (L²/3)= (7L²)/9

AM=(L√7)/3

III) AM= AN=(L√7)/3, pois os triângulos ABM e ANC são congruentes.

IV) Aplicando a lei dos cossenos novamente no triângulo AMN, teremos:

(L/3)²= [(L√7)/3]²  + [(L√7)/3]²- 2 • [(L√7)/3] • [(L√7)/3] • cos α

(L²/9)= (7L²/9) + (7L²/9) - [14L²)/9]• cos α

(L²/9)= (14L²/9)- [14L²)/9]• cos α

Simplificando a equação:

 1= 14 - 14 • cos α

14 • cos α= 14 - 1= 13

cos α= 13/14

Resposta: Item a

Questão 3)

I) Para encontrar os valores  máximo e o mínimo da função, deve-se derivar a função e igualar a derivada a zero.

  d  (6 sen (x) + 8 cos (x) + 1)= 6 cos (x) - 8 sen (x)
 dx

Igualando a zero

6 cos (x) - 8 sen (x)= 0 => cos (x)= (4 sen (x))/3(eq.I)
                                                           

II) Substituindo o valor de (eq.I) na relação fundamental da trigonometria

sen² x + cos² x= 1
sen² x +[(4 sen (x))/3]²= 1

sen² (x) + 16sen² (x)/9= 1
25 sen² (x)/9= 1

Logo,
25 sen² (x)= 9 => sen (x)'= +0,6 e sen (x)"= -0,6

III) Substituindo em cos (x)

cos (x)'= 4/3 • (+0,6)= + 0,8
cos(x)"= 4/3 • (-0,6)= -0,8

IV) Substituindo estes valores em f(x), descobre-se que o máximo e mínimo serão:
-Máximo
f(x)'= 6 sen (x) + 8 cos (x) + 1= 6 • (0,6) + 8 • (0,8) + 1= 3,6 + 6,4 + 1= 11
f(x)'= 11
-Mínimo
f(x)"= 6 sen (x) + 8 cos (x) + 1= 6 • (-0,6) + 8 • (-0,8) + 1= -3,6 - 6,4 + 1= -9
f(x)"= -9

Resposta:Item d.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Desejo também a todos os leitores um feliz natal e um excelente ano novo.

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.