Soma e subtração de arcos

Introdução:

No estudo de trigonometria, é possível reparar que a relação sen (a + b)= sen a + sen b não se prova verdadeira para quaisquer valores de a e b. Observe o exemplo abaixo:

sen 60° + sen 60°= 0,5 + 0,5= 1 

Nota-se que esta relação é falsa, pois sabe-se que sen 120°= 0,5. Nem todos os valores de a e b satisfazem-na. O mesmo ocorre com estas seguintes relações abaixo:
sen (x - y)= sen x - sen y

cos (x + y)= cos x + cos y

cos (x - y)= cos x - cos y

tg (x + y)= tg x + tg y

tg (x - y)= tg x - tg y

Fórmulas de adição e subtração de arcos:

As reais fórmulas de adição e subtração de arcos são estas:

sen (a +b)= sen a • cos b + sen b • cos a
sen (a - b)= sen a • cos b - sen b • cos a
cos (a + b)= cos a • cos b - sen a • sen b
cos (a - b)= cos a • cos b + sen a • sen b

tg (a + b)=   tg a + tg b     

                 (1- tg a • tg b)

tg (a - b)=     tg a - tg b       
                  (1+ tg a • tg b)

Exemplo: A partir das fórmulas de adição e subtração, calcule sen 75°,cos 15° e tg 105°.
Resolução:
* sen 75°
I) Aplicando o seno da soma de dois ângulos teremos:

sen 75°= sen (45° + 30°)= sen 45° • cos 30° + sen 30° • cos 45°

sen 75°= √2   •  √3  +  1   •  √2  

                 2         2       2         2
sen 75°= √6  + √2 
                4        4
sen 75°= √6 + √2 
                    4
* cos 15°
I) Aplicando o cosseno da diferença de dois ângulos, teremos:
cos 15°= cos (45° - 30°)= cos 45° • cos 30° + sen 30° • sen 45°

cos 15°=  √2   •  √3   +   1   •  √2  

                2        2         2        2

cos 15°=  √6   +  √2  

                  4         4

cos 15°=  √6 + √2 

                     4
* tg 105°
I)Aplicando a tangente da soma de dois ângulos teremos:

tg 105°= tg (60° + 45°)=     tg 60° + tg 45°       
                                          (1- tg 60° • tg 45°)

tg 105°=   √3 + 1      
                   1 - √3
Racionalizando:

tg 105°=   √3 + 1      •  1 + √3   
                  1 - √3         1 + √3

tg 105°=  2 • (2 + √3)  
                     (-2)
tg 105°= - (2 + √3)

tg 105°= -2 - √3 

Arco duplo

Se fizemos a=b nas fórmulas anteriores, teremos:

sen (a + a)=  sen a • cos a + sen a • cos a

sen 2a= 2sen a • cos a

cos (a + a)= cos a • cos a - sen a • sen a
cos 2a= cos² a - sen² a

tg (a + a)=    tg a + tg a     
                  (1- tg a • tg a)


tg 2a=   2 tg a    
            1- tg² a

Exemplo: Determine cos 2a, sabendo que sen a= 1/4

I) Primeiramente, devemos lembrar que o cosseno de um arco duplo é dado por:

cos 2a= cos² a - sen² a

Escreveremos esta expressão somente em função de sen a por meio da relação fundamental da trigonometria.

sen² a + cos² a= 1

cos² a= 1 - sen² a

Substituindo a igualdade acima na fórmula do arco duplo, teremos:

cos 2a= cos² a - sen² a

cos 2a= 1 - sen² a - sen² a

cos 2a= 1 - 2 sen² a

II) Agora, determinaremos cos 2a utilizando sen a.

cos 2a= 1 - 2 sen² a

cos 2a= 1 - 2 (1/4)²

cos 2a= 1 - 2/16

cos 2a= 1 -1/8

cos 2a= 8/8 - 1/8

cos 2a= 7/8

Resposta: cos 2a= 7/8

Arco metade:

Sabe-se que cos 2a= 2cos² a - 1 e cos 2a= 1 - 2 sen² a; portanto, se fizermos 2a= x, teremos:

-cos (x/2)
cos 2a= 2cos² a - 1

cos x= 2cos² (x/2)- 1 ⇒ cos (x/2)=±√[(1 + cos x)/2]

-sen (x/2)

cos 2a= 1 - 2sen² a

cos x= 1 -  2sen² (x/2) ⇒ sen (x/2)=±√[(1 + cos x)/2]

-tg (x/2)
tg (x/2)= sen (x/2)/cos (x/2) ⇒ tg (x/2)=±√[(1 - cos x)/(1 + cos x)]

Dominando o conhecimento:

Questão 1)(PUC – SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:

Questão 2) (Mackenzie - 2009) Na figura, tg β é igual a:

Fonte:https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=17098#p42613

a)   16  

      81

b)    8   

      27

c)  19  

     63

d)  2  

     3

e)  1  

     4

Questão 3) Determine o valor de A= sen 105° + cos 105°

Resoluções:

Questão 1)
I) Para se descobrir tg y, basta utilizar a fórmula da tangente da soma de dois arcos, sabendo que 
tg x=3 e que tg (x + y)= 33.

tg (x + y)=      tg x + tg y      

                    (1 - tg x • tg y)

33=       3 + tg y     

           (1 - 3tg y)

33 • (1 - 3tg y)= 3 + tg y

33 - 99tg y= 3 + tg y

-99tg y - tg y= 3 -33

-100tg y= -30

100 tg y= 30

tg y= 30/100

tg y= 0,3

Resposta: tg y= 0,3

Questão 2)

I) Pelos dados do problema, teremos:

tg (α + β)=  2 + 0,5  =  2,5 = 1 

                      10           10     4

tg α=  0,5  =   1   

           10       20

II) Aplicando a tangente da soma, teremos:

tg (α + β)=      tg α + tg β      

                      (1 - tg α • tg β)

       

          1    + tg β

 1 =   20                

 4      1 - tg β  

               20

1-   tg β  =    4    +  4tg β   

       20         20         

Para facilitar os cálculos, multiplicaremos ambos os lados da equação por 20.

20 - tg β= 4 + 80tg β

-80tg β - tg β = 4 -20

-81tg β = -16

81tg β = 16

tg β=  16  

          81

Resposta: Item a

Questão 3)

I) Primeiramente, devemos identificar sen 105° e cos 105°. Para isso, podemos considerar 
105°= 60° + 45°. Através do seno da soma de dois arcos, teremos:

sen 105°= sen (60° + 45°)
sen 105°= sen 60° • cos 45° + sen 45° • cos 60° 
sen 105°=   √3   •  √2    +   √2   •   1  
                    2         2           2        2

sen 105°=  √6   +   √2 

                    4          4

sen 105°=  √6  + √2  
                        4
A partir do cosseno da soma de dois arcos, teremos:

cos 105°= cos (60° + 45°)
cos 105°= cos 60° • cos 45° - sen 45° • sen 60° 
cos 105°=  1   •   √2   -   √2   •   √3  
                  2         2         2         2
cos 105°=   √2   -   √6  
                    4          4
cos 105°=  √2 - √6   
                       4

II) Agora que os valores de sen 105° e cos 105° são conhecidos, basta substituí-los na expressão:

A= sen 105° + cos 105°

A=   √6  + √2   +   √2 - √6   
              4                   4
A=  √6  + √2 + √2 - √6   
                     4
A=  2 √2  
         4

A=  √2  
         2

Resposta: A= √2/2.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:    

1-https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/soma-e-subtracao-de-arcos-trigonometria/ 
2- https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/adicao-e-subtracao-de-arcos-resolucao-de-equacoes-e-inequacoes.htm            
3- https://www.colegioweb.com.br/funcoes-trigonometricas-de-arco/adicao-e-subtracao-de-arcos.html                                                                                                                                              
4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-adicao-arcos.htm
5- https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas-formulas-adicao.htm     
6-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-formulas-adicao-arcos.htm                                                
7 -http://matematicarev.blogspot.com/2011/08/adicao-e-subtracao-de-arcos.html              
8-http://nsaulasparticulares.com.br/wp-content/uploads/2014/07/Trigonometria-soma-de-arcos-sen-a-b.pdf
9-http://renataquartieri.com/wp-content/uploads/2017/04/aula-8-adicao-e-subtracao-de-arcos.pdf 
10-https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=17098                           

Polígonos regulares inscritos - fórmulas gerais para lado e apótema

Introdução:

Polígonos são figuras geométricas formadas por linhas fechadas, que por sua vez são constituídas por segmentos de reta que não se cruzam e que estão em um mesmo plano. Eles podem ser classificados em polígonos regulares e irregulares. Esta classificação é dada em função do tamanho dos lados e de seus ângulos. Polígonos regulares possuem ângulos e lados congruentes, enquanto os polígonos irregulares apresenta estas medidas com valores distintos.Além disso, estas figuras podem ser convexas e não convexas. Se os ângulos que formam o polígono forem menores que 180°, o polígono será regular. Caso os ângulos sejam maiores que 180°, o polígono será não convexo. Tendo estes conhecimentos em vista, abordaremos o cálculo do lado e da apótema de um polígono regular.

O que é um polígono regular inscrito?

Um polígono regular inscrito em uma circunferência é aquele que se encontra dentro de uma circunferência, de modo que os seus vértices fiquem na circunferência.

                                   

Fonte:https://blogdoenem.com.br/calculo-do-lado-e-do-apotema-de-alguns-poligonos-regulares-matematica-enem/

É importante lembrarmos que: "todo polígono regular é inscritível em uma circunferência".

Elementos:

Todo polígono regular  apresenta os seguintes elementos:

Ln=> Lado do polígono

R => Raio da circunferência inscrita em um polígono

an => medida de um apótema
n => número de lados do polígono
ac=> ângulo central do polígono

Apótema:

A maioria dos elementos mencionados são conhecidos por muitos, mas alguns se perguntam o que é apótema.

Apótema é o segmento cujas extremidades são: o centro de um polígono regular, que coincide com o centro da circunferência inscrita e circunscrita simultaneamente, e o ponto médio do seu lado.

                       

Fonte:https://blogdoenem.com.br/calculo-do-lado-e-do-apotema-de-alguns-poligonos-regulares-matematica-enem/

Fórmula geral para lado de um polígono regular inscrito com número "n" de lados:

Para evitar "decorebas" de fórmulas para muitos lados e apótemas dos polígonos inscritos, demonstraremos a fórmulas generalizadas para o lado e apótema de qualquer polígono regular inscrito de "n" lados.

Fonte:http://matprofrenatas.blogspot.com/2012_03_11_archive.html

Primeiramente, devemos observar que o triângulo ∆COD é isósceles e que o seu ângulo CÔD (ac) representa o ângulo central do polígono.
Sendo CÔD= ac= 360°/ n e utilizando a Lei dos cossenos, temos que o lado de um polígono regular inscrito com número "n" de lados é dado por:

Ln²= R² + R² - 2 • R • R • cos ac
Ln²= 2R² - 2R² • cos ac
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)

*Exemplo: determine a medida do lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo raio mede 8 cm.
Primeiramente, devemos determinar o ângulo central do polígono em questão, sabendo que o hexágono tem seis lados. Logo, teremos:

ac= 360°/ n
ac= 360°/ 6
ac= 60°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito temos:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L6²= 2 • 8² • (1 - cos 60°)
L6²= 2 • 64 • (1 - 0,5)
L6²= 2 • 64 • 0,5
L6²= 64
L6=√64
L6= 8 cm


-Resposta: O lado deste polígono mede 8 cm.

*Implicações desta fórmula:
Com esta fórmula podemos provar algumas relações métricas específicas do quadrado, triângulo equilátero e hexágono regular. Tais relações são:

-Relação entre lado e raio de um hexágono regular inscrito:
Primeiramente, o ângulo central do hexágono é dado por:
ac= 360°/n
ac= 360°/6
ac= 60°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito, teremos a seguinte relação:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L6²= 2 • R² • (1 - cos 60°)
L6²= 2 • R² • (1 - 0,5)
L6²= 2 • R² • 0,5
L6²= R²
L6=√R²
L6= R

Exemplo: Determine o lado de um hexágono cujo raio mede 15 m:
-Pela relação entre o lado e o raio de um hexágono, teremos:

L6= R
L6= 15 m

Resposta: O lado deste hexágono mede 15 metros.

-Relação entre lado e raio de um quadrilátero inscrito:

Primeiramente, o ângulo central do quadrilátero é dado por:

ac= 360°/n
ac= 360°/4
ac= 90°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito, teremos a seguinte relação:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L4²= 2 • R² • (1 - cos 90°)
L4²= 2 • R² • (1 - 0)
L4²= 2 • R² • 1
L4²= 2R²
L4=√2R²
L4= R√2

Exemplo: Determine o lado de um quadrado cujo raio mede 8 cm:
-Pela relação entre o lado e o raio de um quadrado inscrito, temos:

L4= R√2
L4= 8√2 cm
Resposta: O lado deste quadrado mede  8√2 centímetros.

-Relação entre lado e raio de um triângulo equilátero:

Primeiramente, o ângulo central do triângulo equilátero é dado por:

ac= 360°/n
ac= 360°/3
ac= 120°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito, teremos a seguinte relação:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L3²= 2 • R² • (1 - cos 120°)
L3²= 2 • R² • (1 - (-0,5))
L3²= 2 • R² • (1 + 0,5)
L3²= 2 • R² • 1,5
L3²= 3R²
L3=√3R²
L3= R√3

Exemplo: Determine o lado de um triângulo equilátero cujo raio mede 9 cm.
-Pela relação entre o lado e o raio de um quadrado inscrito, temos:

L3= R√3
L3=9√3 cm

Resposta: O lado deste triângulo equilátero mede  9√3 centímetros.

-Fórmula para o apótema de um polígono regular inscrito com número "n" de lados:
Para demonstrar esta fórmula generalizada do apótema de um polígono regular em função do seu raio "R". Para calcular o apótema,, vamos considerar um hexágono regular cujo raio mede 6 cm.

Fonte: https://www.oblogdomestre.com.br/2015/12/inscritoOucircunscrito.Matematica.html

Primeiramente devemos saber qual o ângulo no ponto de sai o apótema. Para isso basta determinar o ângulo central deste polígono, que é igual a 60°. Como o apótema divide o ângulo em dois outros ângulos de mesma medida,nesse caso, o ângulo mede 30°. Agora, poderemos utilizar algumas relações trigonométricas para determinar o apótema deste hexágono:

cos 30°=    a    
                  R     

R • cos 30°=  a
                     
a= R • cos 30°

Sendo R= 6 cm, teremos:

a= R • cos 30°

a= 6 • cos 30°

a=  6 • √3 
             2
a= 2√3 cm

Generalizando o caso para um polígono regular de lado L, apótema a. O ângulo do apótema, ou ângulo central, é dado por 360°/ n. Como devemos dividir este ângulo por dois para aplicar trigonometria, teremos:
        360° 
a'=     n      =  360°  •   1  
          2            n          2
a'= 180 °
        n

Considerando novamente o raio "R" da circunferência inscrita como hipotenusa deste triângulo retângulo e utilizando algumas relações trigonométricas, teremos:


Fonte:https://www.infoescola.com/matematica/area-de-poligonos-regulares/

cos (180°/n)= an  
                                   R

an= R • cos (180°/n)

Exemplo: Determine o apótema de um triângulo equilátero inscrito cujo raio mede 40 cm.

Utilizando as informações fornecidas e sabendo que o triângulo equilátero tem 3 lados, teremos:

an= R • cos (180°/n)

a3= 40 • cos (180°/3)

an= 40 • cos 60°

a3= 40 •  0,5

a3= 20 cm

*Implicações desta fórmula:
Assim como a fórmula geral do lado de um polígono regular, esta fórmula geral do apótema nos permite desenvolver relações métricas simples do triângulo equilátero, quadrado e hexágono. Tais relações são:

Apótema de um hexágono regular:
* Sabendo que um hexágono apresenta seis lados, teremos a seguinte relação:
an= R • cos (180°/n)
a6= R • cos (180°/6)
a6= R • cos 30°

a6= R •  √3  
               2
a6=  R√3 
         2
*Exemplo: Determine a apótema de um hexágono inscrito cujo raio mede 14 cm.
-Pela relação entre o raio de um quadrado inscrito e o seu apótema, teremos:
R= 14 cm
a6=  R√3 
         2
a6=  14√3 
          2
a6= 7√3 cm

Resposta: O apótema deste hexágono mede 7√3 cm.

Apótema de um quadrado:
* Sabendo que um quadrado apresenta quatro lados, temos a seguinte relação:
an= R • cos (180°/n)
a4= R • cos (180°/4)
a4= R • cos 45°

a4= R •  √2  
               2
a4=  R√2 
          2

*Exemplo: Determine a apótema de um quadrado inscrito cujo raio mede 20 cm.
-Pela relação entre o raio de um quadrado inscrito e o seu apótema, teremos:
R= 20 cm

a4=  R√2 
         2
a4= 20√2 
         2

a4= 10√2 cm

Resposta: O apótema deste quadrado mede 10√2 cm.

Apótema de um triângulo equilátero:
* Sabendo que um triângulo equilátero apresenta três lados, teremos:
an= R • cos (180°/n)
a3= R • cos (180°/3)
a3= R • cos 60°
a3= R •   1  
              2
a3= R/2

Exemplo: Determine o lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cujo raio mede 10 cm.
-Pela relação entre o raio de um triângulo equilátero inscrito e o seu apótema, teremos:
a3= R/2
a3= 10/2
a3= 5 cm

Resposta: O apótema deste triângulo equilátero regular mede 5 cm.

Dominando o conhecimento - exercícios:

Questão 1) Calcule com aproximação de uma casa decimal a medida do lado do decágono regular inscrita em uma circunferência cujo raio mede 6 cm. (Use cos 36°= 0,81)

Questão 2) O apótema de um hexágono regular mede 5√3 cm. Determine o perímetro do hexágono.

Questão 3) Calcule as medidas do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo raio mede 12 cm.

Questão 4) Calcule a medida do lado e do apótema de um triângulo equilátero inscrito cujo raio mede 10 cm.

Questão 5) O perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de 25π cm² de área é igual a:
a) 150 cm
b) 75 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 30 cm

Resoluções:

Questão 1)
Primeiramente, devemos determinar o ângulo central do polígono em questão, sabendo que o decágono tem dez lados. Logo:

ac= 360°/ 10
ac= 360°/ 10
ac= 36°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito temos:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L10²= 2 • 6² • (1 - cos 36°)
L10²= 2 • 36 • (1 - 0,81)
L10²= 2 • 64 • 0,19
L10²= 13,68
L10=√13,68
L10= 3,7 cm

Questão 2)
I) Sabendo que o apótema deste hexágono mede 5√3 cm e que o hexágono regular apresenta 6 lados, devemos determinar a medida do raio de um polígono deste por meio da fórmula geral do apótema.

a6= R • cos (180°/n)
5√3= R • cos (180°/6)
5√3= R • cos (180°/6)
5√3= R • cos 30°
5√3= R√3 
            2
R√3= 5√3 • 2
R√3= 10√3
R= 10 cm

II) Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito, teremos:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L6²= 2 • 10² • (1 - cos 60°)
L6²= 2 • 10² • (1 - 0,5)
L6²= 2 • 10² • 0,5
L6²= 10²
L6=√10²
L6= 10 cm

III) Agora que a medida do lado deste polígono é conhecida, teremos:

2p= 10 • 6
2p= 60 cm

Resposta: 2p= 60 cm

Questão 3) 
I) Primeiramente, devemos determinar o ângulo central do polígono em questão, sabendo que o hexágono tem dez lados. Logo, teremos:

ac= 360°/ 6
ac= 360°/ 6
ac= 60°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito e sabendo que o R= 12 cm, teremos:
Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L6²= 2 • 12² • (1 - cos 60°)
L6²= 2 • 144 • (1 - 0,5)
L6²= 2 • 144 • 0,5= 144
L6²= 144
L6=√144
L6= 12 cm

II) A apótema será dada por:
a6= R • cos (180°/n)
a6= 12 • cos (180°/6)
a6= 12 • cos 30°
a6= 12√3  
         2
a6=6√3 cm

Resposta: L= 12 cm e a= 6√3 cm

Questão 4)
Primeiramente, devemos determinar o ângulo central do polígono em questão, sabendo que o triângulo equilátero tem três lados e o raio da sua circunferência inscrita mede 8 cm. Logo, teremos:

ac= 360°/ 3
ac= 360°/ 3
ac= 120°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito e relembrando que R= 8 cm, teremos:
Ln²= 2R^2 • (1 - cos ac)
L3²= 2 • 8^2 • (1 - cos 120°)
L3²= 2 • 64 • (1 - (-0,5))
L3²= 2 • 64 • 1,5
L3²= 3 • 64
L3=√3 • 64
L3= 8√3 cm

an= R • cos (180°/n)
a3= 8 • cos (180°/3)
a3= 8 • cos 60°
a3= 8 • 0,5
a3= 4 cm


Resposta: L= 8√3 cm e a= 4 cm

Questão 5)
I) Primeiramente, determinaremos o raio da circunferência.

A= πR²
25π= πR²
R²= 25π/π
R²= 25
R= √25
R= 5 cm

II) Agora, devemos determinar o ângulo central do polígono em questão, sabendo que o hexágono tem seis lados e o raio da sua circunferência inscrita mede 5 cm. Logo, teremos:

ac= 360°/ 6
ac= 360°/ 6
ac= 60°

Utilizando a fórmula geral do lado de um polígono regular inscrito e relembrando que R= 8 cm, teremos:

Ln²= 2R² • (1 - cos ac)
L6²= 2 • 5² • (1 - cos 60°)
L6²= 2 • 25 • (1 - 0,5)
L6²= 2 • 25 • 0,5
L6²= 25
L6=√25
L6= 5 cm

III) Sabendo a medida do lado do hexágono, basta multiplicá-la pelo número de lados do hexágono (n=6)

2p= 6 • L6
2p= 6 • 5
2p= 30 cm

Resposta: Item e. 

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/apotema.htm
2-https://blogdoenem.com.br/calculo-do-lado-e-do-apotema-de-alguns-poligonos-regulares-matematica-enem/
3-https://www.infoescola.com/matematica/area-de-poligonos-regulares/
4-https://pt.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%B3tema
5-https://alunosonline.uol.com.br/matematica/Area-poligono-regular.html
6-https://www.ime.unicamp.br/~chico/ma092/ma092_10_geo_pol_regulares.pdf
7-https://www.calcularporcentagem.net/como-calcular-area-do-poligono-regular/
8-https://www.stoodi.com.br/blog/2018/06/19/poligonos-regulares/
9-https://docplayer.com.br/27202577-3o-bimestre-geometria-autor-leonardo-werneck.html
10-https://www.youtube.com/watch?v=xQ5PJmnV580
11-http://matprofrenatas.blogspot.com/2012_03_11_archive.html
12-https://www.youtube.com/watch?v=N0pMTfKoF-o
13-https://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular
14-https://www.oblogdomestre.com.br/2015/12/inscritoOucircunscrito.Matematica.html
15-https://www.stoodi.com.br/exercicios/ifrj/outros/questao/o-perimetro-de-um-hexagono-regular-inscrito-em-um-circulo-de/
16-http://nsaulasparticulares.com.br/wp-content/uploads/2014/07/Poligonos-regulares-inscritos-e-circunscritos.pdf
17-https://canal.cecierj.edu.br/052019/df45c26ca50e31a43758284df00d61b6.pdf