O que são?
As relações matemáticas entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são conhecidas como relações trigonométricas. Conheça as relações fundamentais:sen² (x) + cos² (x)= 1
tg (x)= sen (x)/ cos (x)
sec (x)= 1/cos (x)
cossec (x)= 1/ sen (x)
cotg (x)= cos (x)/sen (x)
Estas relações são ditas fundamentais porque nos permite determinar outras razões trigonométricas a partir de uma razão já conhecida. Para que tudo se torne mais claro, utilizaremos o seguinte exemplo:
Exemplo: Considere que sen (x)= 1/3, com π/2 < x < π, determine o valor de cotg (x).
I) Visto que já temos o valor de sen (x), utilizaremos a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos (x).
sen² (x) + cos² (x)= 1
(1/3)^2 + cos² (x)= 1
1/9 + cos² (x)= 1
cos² (x)= 1 - 1/9
cos² (x)= 8/9
cos (x)= √8/9
cos (x)=2√2/3
cos (x)= 2√2
3
II) Sabendo que cotg (x)= cos (x)/sen (x), temos:
cotg (x)= cos (x) = 2√2
sen (x) 3
1
3
cotg (x)= 2√2 • 3
3
cotg (x)= 2√2
Resposta:cotg (x)= 2√2
Aviso:
Quem estiver lendo esta postagem no computador, verá que ela teve problemas no alinhamento das frações com os denominadores. Este problema não existe para os que estão lendo esse artigo no celular, por isso, sugiro aos leitores que leiam esse artigo somente pelo celular.Relações decorrentes:
Elas são assim conhecidas por serem desenvolvidas a partir das relações fundamentais. Tais relações também são muito importantes para a trigonometria. Vejamos como determiná-las:*Primeira relação decorrente:
Considere a relação sen² (x) + cos² (x)= 1.Vejamos o que acontece se dividirmos tudo por
cos² (x).
sen² (x) + cos² (x)= 1
sen² (x) + cos² (x)= 1
cos² (x)
sen² (x) + cos² (x) = 1
cos² (x) cos² (x) cos² (x)
Com isso, temos:
tg² (x) + 1= sec² (x)
*Segunda relação decorrente:
Considere a relação sen² (x) + cos² (x)= 1.Vejamos o que acontece se dividirmos tudo por
sen² (x).
sen² (x) + cos² (x)= 1
sen² (x) + cos² (x)= 1
sen² (x)
sen² (x) + cos² (x) = 1
sen² (x) sen² (x) sen² (x)
Com isso, temos:
1 + cotg² (x)= cossec² (x)
ou
cotg² (x)= cossec² (x) - 1
Exercícios:
Questão 1) (Ufscar) Sendosen (a) + cos (a)= 1/5, determine sen (a) e cos (a)
Questão 2) (Vunesp) A expressão cos^2 (θ)/1 - sen (θ), com sen (θ)≠ 1, é igual a:
a) sen (θ)
b) sen (θ) + 1
c) tg (θ) • cos (θ)
d) 1
e) sen (θ)/ sec (θ)
Questão 3) (Câmara FJC - FIP 2009) Se sen (x)= 3/5, com 0 ≤ x ≤ π/2, então o valor de cotg (x) é:
a) 1/2
b) 4/3
c) 4/5
d) 1
e) 3/4
Questão 4) (Fei) Se cotg (x) + tg (x)= 3, então sen (2x) é igual a:
a) 1/3
b) 3/2
c) 3
d) 2/3
e) Nenhuma das anteriores
Resoluções:
Questão 1)(Ufscar)I) A partir da equação fundamental da trigonometria e a equação dada, desenvolvemos o seguinte sistema:
{sen² (a) + cos² (a)= 1
{ sen (a) + cos (a)= 1/5= 0,2
II) Isolando cos a na segunda equação e substituindo este termo na primeira, temos:
cos (a)= 0,2 - sen (a)
sen²(a) + cos² (a)= 1
sen² (a) + (0,2 - sen (a))²= 1
sen^2 (a) +0,04 - 0,4sen (a) +sen² (a)= 1
2sen² (a) - 0,4sen (a) + 0,04 - 1= 0
2sen² (a) - 0,4sen (a) - 0,96= 0
(dividindo ambos os membros por 2)
sen² (a) - 0,2sen (a) - 0,48= 0
III) Fazendo sen (a)= x
x² - 0,2x - 0,48= 0
IV) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-0,2)^2 - 4 • 1 • (-0,48)
∆= 0,4 + 1,92
∆= 1,96
x= -b ± √∆
2a
x= 0,2 ± √1,96
2 • 1
x= 0,2 ± 1,4
2
x'= (0,2 + 1,4)/2 = 0,8= 4/5
x"= (0,2 - 1,4)/2= -1,2/2= -0,6= -3/5
V) Retornando a substituição:
sen (a)= 4/5 => cos a= 1/5 -4/5= -3/5
ou
sen (a)= -3/5=> cos a= 1/5 - (-3/5)= 4/5
Resposta: Sen (a)= 4/5 e cos (a)= -3/5 ou sen (a)= -3/5 e cos (a)= 4/5.
Questão 2) (Vunesp)
I) Para resolver esta questão, devemos lembrar da relação fundamental da trigonometria que nos garante:
sen² (θ) + cos² (θ)= 1
cos^2 (θ)= 1 - sen^2 (θ)
II) A partir disso, devemos
uir o valor de cos^2 (x) na expressão cos^2 (θ)/1 - sen (θ)
cos² (θ) = 1 - sen² (θ)
1 - sen (θ) 1 - sen (θ)
III)Temos que concordar que
1 - sen^2 (θ) pode ser escrito como
1^2 - sen^2 (θ). Com isso, podemos visualizar um produto notável conhecido como "produto da soma pela diferença". De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:
1 - sen² (θ)= (1 + sen (θ)) • (1 - sen (θ))
Substituindo essa igualdade na expressão, temos:
cos² (θ) = 1 - sen² (θ)
1 - sen (θ) 1 - sen (θ)
1 - sen² (θ) = (1 + sen (θ)) • (1 - sen (θ))
1 - sen (θ) 1- sen (θ)
cos² (θ) = 1 + sen (θ)
1 - sen (θ)
Resposta: Item b
Questão 3)
I) Visto que já temos o valor de sen (x), utilizaremos a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos (x).
sen² (x) + cos² (x)= 1
(3/5)^2 + cos² (x)= 1
(0,6)^2 + cos² (x)= 1
0,36 + cos² (x)= 1
cos² (x)= 1 - 0,36
cos² (x)= 0,64
cos (x)= √0,64
cos (x)= 0,8= 4/5
II) Sabendo que cotg (x)= cos (x)/sen (x), temos:
cotg (x)= cos (x) = 4
sen (x) 5
3
5
cotg (x)= 4 • 5
5 3
cotg (x)= 4/3
Resposta:Item b
Questão 4)
I) Lembrando-se de duas importantes relações trigonométricas
(tg (x)= sen (x)/cos (x)) e
(cotg (x)= cos (x)/sen (x)), temos:
cotg (x) + tg (x)= 3
cos (x) + sen (x) = 3
sen (x) cos (x)
Reduzindo toda a equação temos:
cos² (x) + sen² (x)= 3sen (x) • cos (x) sen (x) • cos (x)
cos² (x) + sen² (x)= 3sen (x) • cos (x)
II) Utilizando a relação fundamental da trigonometria.
1= 3