Equações trigonométricas

O que são?

Equações trigonométricas são igualdades que possuem uma ou mais funções trigonométricas, onde  a variável representa um ângulo desconhecido. Tal ângulo é,  geralmente, escrito em radiano.
Para resolvê-las, é importante que se tenha  conhecimento das relações fundamentais da trigonometria.

Exemplos:

 cos(x)= 1/2  

sen (x) + cos (x)= 1

 tg (x)= √3

As equações trigonométricas podem ser reduzidas a uma destas três equações abaixo :

cos (x)= cos (a)
sen (x)= sen (a)  
tg (x)= tg (a)     

Aviso:

Quem estiver lendo esta postagem no computador, verá que ela teve problemas no alinhamento das frações com os denominadores. Este problema não existe para os que estão lendo esse artigo no celular, por isso, sugiro aos leitores que leiam esse artigo somente pelo celular.       

Fórmulas resolutivas para as equações fundamentais: 

As equações fundamentais podem ser resolvidas através de fórmulas, que são obtidas pelo uso do círculo trigonométrico.  Tais fórmulas são:
 I)  sen (x)= sen a   
   sen (x)= sen (a) 
    x= a + 2kπ ou  x=  (π - a) +  2kπ                                 

Exemplo: sen (x) = 1/2                               
                                   

Como o seno de 30º (π/6 em radiano) é igual  a 1/2, temos que:
 sen x = 1/2 =>  sen x= sen π/6                                         
x= π/6 + 2kπ  ou  x=  5π/6  + 2kπ                                    
                                   
S={x ∈ IR| x=  π/6  + 2kπ  ou  x=  5π/6  + 2kπ, k ∈ Z}    
                                                   
II) cos (x)= cos (a)                   
 cos (x)= cos (a)                                                                                                                                
         x=± a + 2kπ

A segunda parte dessa resolução percorre o ciclo trigonométrico em sentido anti-horário. A solução em que ambas as partes percorrem o ciclo em sentido horário e que também pode ser dada como solução da equação cos (x)= cos (a) é: 
       cos (x)= cos (a)

x= a +  2kπ ou  x= (2π - a) + 2kπ

Exemplo: cos x = - √3/2                              
                                                                             
                           
Como o cosseno de 150º (5π/6 em radiano) é igual  a  -√3/2, temos que:
     cos (x) =- √3/2  =>  cos (x)= cos 5π/6                                          
                                                               
x=± 5π/6 + 2kπ    
                                       
S={x ∈ IR| x= ± 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z}    
                                                                             

III) tg (x)=  tg (a)
       
 tg (x)= tg (a)

          
 x= a + kπ

Exemplo:  tg x = √3                            
                                                                             
Como o cosseno de 60º (π/3 em radiano) é igual  a √3, temos que:
     tg (x) =√3 =>  tg  (x)= tg  π/3                                           

x = a  + kπ                                                      

x= π/3 + kπ                                 
                                  

*S={x ∈ IR| x= π/3 + kπ, k ∈ Z}     
                         
 

 Outros tipos de equações trigonométricas:

As equações trigonométricas não apresentam uma fórmula pronta que as resolvam. Por isso, deve-se estudar bem a equação para tentar chegar em uma das equações fundamentais. Para que isso se torne mais claro, alguns exemplos serão apresentados:

Exemplo 1: Resolva a seguinte equação:  tg (x) + cotg (x)= 2           

* Solução:
I) Visto que a cotangente é o inverso da tangente (cotg (x)= 1/tg (x)), temos que:   
tg (x) +  cotg (x)= 2  

tg (x) +    1      = 2
              tg (x)   

  [(tg² (x) + 1)/tg (x)= 2 tg (x)]/tg (x)                                                                                            
          

tg² (x) + 1= 2 tg (x)

tg² (x) - 2 tg (x) + 1= 0

II) Agora, substituindo y=tg (x), temos:

y² - 2y + 1= 0

III)  Resolvendo a equação do segundo grau
y² - 2y + 1= 0

IV) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-2)^2 - 4 • 1 •  1
∆= 4 - 4
∆= 0

y= -b ± √∆ 
         2a

y= 2 ± √0 
         2

y= 2 
     2
y= 1

V) Retornando a substituição:
tg (x)= y
tg (x)= 1 => tg (x)= tg 45º => tg (x)= tg π/4  
                                                           
 x= π/4 + kπ                             
        
                               
Resposta: S={x ∈ IR| x= π/4  + kπ, k ∈ Z}                                                                   
                                        
   

Exemplo 2: Resolva cos² (x)  + 2 sen² (x)= 7/4  , em U={0, 2π}
                                                                        

I) Utilizando a relação fundamental da trigonometria
cos² (x)  + 2 sen² (x)= 7/4 
                                     

1 - sen² (x) + 2 sen² (x)= 7/4                                                    
                                        
sen² (x) + 1= 7/4  
                     
sen² (x)= (7/4) - 1 => sen² (x)= 3/4   =>  sen (x)=±  √3/2  
                                                                                                

S={ π/3,  2π/3, 4π/3, 5π/3}                
       

Informações importantes:

Em qualquer equação trigonométrica, a parcela 2kπ existirá. Esta parcela indica o número de voltas dadas no ciclo trigonométrico com o objetivo de encontrar a solução das equações trigonométricas fundamentais.
Na solução da equação seno, imagine que essa equação seja definida para apenas uma volta,  ou seja, no intervalo de 0º a 360º, ou de 0 a 2π. A solução dessa equação será:
 
      sen (x)= sen (a)
       x= a ou x= π - a

Considere que a  mesma equação é válida para a segunda volta, ou seja, do intervalo de 0 a 4π. A solução da equação será:

            sen (x)= sen (a)
       x= a + 2π ou x= (π - a) + 2π

Com isso, pode-se considerar a solução válida para k + 1 voltas no círculo trigonométrico, ou seja no intervalo de 0 a 2(k + 1)π. Com isso, a solução da equação seno será:

       x= a + 2kπ ou  x=  (π - a) +  2kπ

O conceito de voltas é o mesmo para a solução da equação cosseno. Já na solução da equação tangente, uma ideia semelhante é aplicada, mas no intervalo π/2 ou -π/2.
                                      

Exercícios:

Questão 1) (Mackenzie) Em [0, 2π], o número de soluções reais da equação: √3 sen (x) + cos (x)= 2 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Questão 2)  Resolva a equação
4 cos (x) + 3 sec (x)= 8, no intervalo 0 ≤ x ≤ π/2              
                                                                                                                                      
Questão 3) Resolva a equação 
sen (x) + cos (x)= 1

Questão 4) Resolva a equação 
2 sen (x) - 1= 0

Questão 5) (Ufmg)  Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo (0, π) que satisfazem a equação: 
3 tg (x) + 2 cos (x)= 3 sec (x)

Questão 6) Resolva a equação tg (x)= √3
                                             

 Resoluções:

 Questão 1)
I) A partir da equação fundamental da trigonometria e a equação dada, desenvolvemos o seguinte sistema:
{sen² (x) + cos² (x)= 1
{ √3 sen (x) + cos (x)= 2

II) Isolando cos x na segunda equação e substituindo este termo na primeira, temos:
cos (x)= 2 - √3 sen (x)                                  

sen² (x) + cosv (x)= 1
sen² (x) + (2 - √3 sen x)²= 1
sen² (x) + (4 - 4√3 sen x + 3 sen² (x))=1
sen² (x) + 3 sen^2 (x) - 4√3 sen (x) + 4 - 1= 0
4 sen² (x) - 4√3 sen (x) + 3= 0

III) Fazendo sen (x)= y, temos:
4yv - 4√3y + 3= 0

IV) Resolvendo a equação quadrática
∆= b² - 4ac
∆= (-4√3)^2 - 4 • 4 •  3
∆= 48 - 48
∆= 0

y=  -b ± √∆ 
          2a
y= 4√3 ± √0       
          2 • 4  
y= 4√3         
       8
y= √3  
       2

V) Retornando a substituição:

sen (x) = √3/2  => cos (x)= 1/2 => x=  π/3  + 2kπ 
                                                                

No intervalo [0, 2π], temos: 

x=  π/3  => 1 solução       
      

Resposta: Item a         

Questão 2)  
I) Visto que a secante é o inverso do cosseno (sec (x)= 1/cos (x)), temos que:   
4 cos (x) + 3 sec (x)= 8

4 cos (x) +      3       = 8
                   cos (x)   

[4 cos² (x) + 3= 8 cos (x)]/cos (x)                                                         
         

4 cos² (x) + 3= 8 cos (x) 

4 cos² (x) - 8 cos (x) + 3= 0

III) Fazendo cos (x)= y, temos:            
4y² - 8y + 3= 0

IV) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-8)^2 - 4 • 4 •  3
∆= 64 - 48
∆= 16

y=  -b ± √∆ 
          2a
y=  8 ± √16  
        2 • 4   
 y=  8 ± 4  
          8
y'= 8 + 4  = 12 =  3 
         8          8      2

y"= 8 - 4 =  4   =  1  
         8        8       2

V) Retornando a substituição

cos (x)= 3/2  (impossível, pois -1≤ cos (x) ≤ 1)
                      

cos (x)= 1/2  => x= π/3 + 2kπ             
                               

No intervalo  0 ≤ x ≤ π/2, temos:
                                     
x= π/3
    

Resposta:S={x ∈ IR| x= π/3}      
                                          

Questão 3)
I) Elevando ambos os membros da equação ao quadrado

(sen (x) + cos (x))²= 1²
sen² (x) + 2 • sen (x) • cos (x) + cos² (x)= 1

II) Utilizando a equação fundamental da trigonometria (sen ^2 (x) + cos^2 (x)= 1), temos:

sen² (x) + cos² (x) + 2 • sen (x) • cos (x)= 1
1 + 2 • sen (x) • cos (x)= 1
2 • sen (x) • cos (x)= 1 - 1
2 • sen (x) • cos (x)= 0 
 sen (2x)= 0 => 2x= kπ, k ∈ Z
Então,
x= π/2 • k, k ∈ Z
    

Resposta: S={x ∈ IR| x= π/2 • k, k ∈ Z}
                                           

Questão 4)
I) Primeiramente, devemos determinar o valor do seno de x

2 sen (x) - 1= 0
2 sen (x)= 1
sen (x)=  1    
                2

II) Agora que o valor do seno de x é conhecido, temos que:

sen (x)=1/2=>  x=π/6 + 2kπ ou x=5π/6+ 2kπ
                                                   

Resposta: S={x ∈ IR| x=π/6+ 2kπ ou 5π/6+2kπ , k ∈ Z}
                    


Questão 5)

I) Lembrando-se de duas importantes relações trigonométricas (tg (x)= sen (x)/cos (x)) e 
(sec (x)= 1/cos (x)),  temos que:

3 tg (x) + 2 cos (x)= 3 sec (x)

[3 sen (x)   +  2 cos (x)= 3]/cos (x)                             

[3 sen (x) + 2cos² (x)= 3]/cos (x)    
  
3 sen (x) + 2 cos² (x)= 3 

II) Utilizando a equação fundamental da trigonometria, temos:

3 sen (x) + 2 • ( 1 - sen² (x))= 3
3 sen (x) + 2 - 2sen² (x)= 3

-2  sen² (x) + 3 sen (x) + 2= 3
-2 sen² (x) + 3 sen (x) + 2 - 3= 0
-2 sen² (x) + 3 sen (x) - 1= 0  • (-1)
2 sen² (x) - 3 sen (x) + 1= 0

III) Fazendo sen (x)= y

2y² - 3y + 1= 0

IV) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-3)^2 - 4 • 2 •1
∆= 9 - 8
∆= 1

y=  -b ± √∆ 
          2a
y=  3 ± √1    
       2 • 2 
y= 3 ± 1      
        4                                                          
y'= 3 + 1 
         4
y'= 1



y"=  3 - 1  =  2   =  1  
           4        4        2

V) Retornando a substituição:           

Sen (x)= 1= sen π/2=> cos π/2= 0 =>
=> tg π/2 (não existe em IR, logo, não convém)                       
                                                                                                                              
Sen (x)= 1/2  => cos (x)=√3/2 => tg (x)= √3 => x= π/2+  2kπ ou x= 5π/6  + 2kπ                               
                                                                                                    

No intervalo  (0, π), temos:

x= π/6  ou x= 5π/6


Resposta: S={x ∈ IR| x=  π/6  ou  5π/6}
                                                             
Questão 6)
I) Como a tangente de 60º (π/3 em radiano) é igual  a √3, temos que:
     tg (x) =√3 =>  tg  (x)= tg  π/3                                           
                                                     
x= π/3 + kπ                                 
                                  

Resposta:S={x ∈ IR| x=  π/3  + kπ, k ∈ Z}     
                                       

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado. 

                    

Referências:

1-https://www.somatematica.com.br/emedio/equacoest/equacoest.php
2-https://alunosonline.uol.com.br/matematica/equacoes-trigonometricas.html
3-https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacoes-trigonometricas-dicas-de-como-resolver.htm
4-https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/equacoes-e-inequacoes-trigonometricas/
5-https://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Trigonometria/Equa%C3%A7%C3%B5es_e_inequa%C3%A7%C3%B5es_envolvendo_fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas
6-http://www.campusdosertao.ufal.br/pet/petengenharias/cime/files/aulas/Funcoes_Trigonometricas.pdf
7-https://sabermatematica.com.br/equacoes-trigonometricas.html
8-https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacoes-e-inequacoes-trigonometricas-veja-como-resolve-las.htm
9-http://www.fund198.ufba.br/eqtrig/14eqtig.pdf
10-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/393/matematica_trigonometria_equacoes_trigonometricas.pdf
11-https://sabermatematica.com.br/exercicios-resolvidos-equacoes-trigonometricas.html