Matrizes- Determinantes de ordem 1, 2 e 3.

O que são?

Determinante é todo número relacionado com uma matriz quadrada, ou seja, qualquer número associado com uma matriz que possua o mesmo número de linhas e colunas.
Esse número é calculado através de operações com os elementos da matriz.
O determinante de uma matriz A é escrito como det A e ele é escrito entre duas barras, enquanto os elementos da matriz são escritos em parênteses, colchetes ou barras duplas.

Matriz de Ordem 1:

Matriz de Ordem 1 é aquela que possui apenas um elemento. O determinante deste tipo de matriz é igual ao próprio elemento da matriz.

Exemplos:

Se A= [-9], o seu determinante será det A= | -9|= -9

Se B= [10], o seu determinante será det B= |10|= 10

Matriz de ordem 2:

Matriz de ordem 2 ou matriz 2 x 2 é aquela que possui quatro elementos dispostos em duas linhas e duas colunas. O determinante dessa matriz é obtido pelo produto dos elementos da diagonal primária menos a diagonal secundária.

|| a11 a21||

X= || a12 a22 ||

det A= a11 • a22 - a21 • a12

Exemplo:

  || 2 9||
A= || -1 6||


Det A= 2 • 6 - 9 • (-1)
Det A= 12 + 9
Det A= 21

Matriz de ordem 3:

Matriz de Ordem 3 ou matriz 3 x 3 é toda matriz com três linhas e três colunas. O determinante deste tipo de matriz é determinado através da regra de Sarrus.

|| 5 0 1 ||

C= || -2 3 4 ||

|| 0 2 1 ||

Primeiramente repetimos as duas primeiras colunas desta matriz à seguir da terceira.

|| 5 0 1|| 5 0

C= || -2 3 4 || -2 3

|| 0 2 1|| 0 2

Em seguida, devemos calcular os produtos das diagonais principal e secundária
Diagonal principal
5 • 3 • (-1) + 0 • 4 • 0 + 1 • (-2) • 2
-15 + 0 - 4
-19

Diagonal secundária
1 • 3 • 0 + 5 • 4 • 2 + 0 • (-1) • (-2)
0 + 40 + 0=
40

Agora, basta subtrair o valor da diagonal primária como da diagonal secundária

Det C= -19 - 40
Det C= -59

Os determinantes de matrizes 2 x 2 são calculados de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e subtraindo o produto da diagonal principal com o da diagonal secundária. Nas matrizes 3 x 3, utilizamos a regra de Sarrus descrita anteriormente. A demonstração geral da regra de Sarrus se encontra na imagem abaixo:

Resultado de imagem para regra geral de Sarrus

Fonte:https://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

Dominando o conhecimento- exercícios:

Questão 1) Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual 8.

|| x -3||

A= || x + 2 x -2||

Questão 2) Resolva a equação
|| x² x|| = |-1|

|| 2 1||

Questão 3) (Vunesp) Dada as matrizes
|| 1 3 || || -1 2||
A= || 2 4 || e B= || 3 1||, o determinante da matriz A • B é:

a) -1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Questão 4) (Unicap - PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante A seja nulo

|| 1 2 1 ||

A= || 4 9 4 ||

|| 6 x x - 7 ||

Questão 5) Resolva a equação
|| 1 0 2||
|| 2 4 1|| = |x|

|| 3 2 0||

Questão 6) U.F. Ouro Preto - M.G

Considere a matriz

|| x + 1 1 1 ||

M=|| - 1 ||

|| x - 1 3x 1 ||

|| ||

|| 1 0 2||

Resoluções:

Questão 1)
I) Primeiramente devemos lembrar que det A= 8

det A= 8 => x (x - 2) - (-3) (x + 2)= 8

x² - 2x - (-3x -6)= 8
x² -2x + 3x + 6= 8

x² + x + 6 - 8= 0
x² + x - 2= 0

II) Aplicando a fórmula de Bhaskara:
∆= b² - 4ac
∆= 1^2 - 4 • 1 • (-2)
∆= 1 + 8
∆= 9

x= -b ± √∆   x'= -1 + 3   x"= -1 - 3
2a 2 2

x= -1 ± √9   x'= 2   x"= - 4
2 2 2

x= -1 ± 3    x'= 1 x"= -2
2

Resposta: Os valores de x que fazem det A= 8 são x'= 1 e x"= -2. S={ x ∈ IR| x= -2 e x=1}

Questão 2)
I) Esta questão nos garante que o determinante da matriz de ordem 2 é igual ao da matriz de ordem 1. Por isso, desenvolveremos a seguinte igualdade:
  || x² x|| = |-1|
|| 2 1||

x²- 2x= -1
x² - 2x + 1= 0

II) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-2)^2 - 4 • 1 • 1
∆= 4 - 4
∆= 0

x= -b ± √∆
2a

x= 2 ± √0
2

x= 2
2
x= 1

Resposta: x=1

Questão 3)
I) Primeiramente, devemos determinar os determinantes das matrizes A e B.
*Determinante da matriz A *Determinante da matriz B
Det A= 4 • 1 - 2 • 3 DetB= (-1) • 1 - 3 • 2
Det A= 4 - 6 Det B= -1 - 6
Det A= -2 Det B= - 7

II) Agora que obtivemos os determinantes das matrizes A e B, basta multiplicá-los para obtermos o determinante de A • B

Det A• B= Det A • Det B
Det A • B= (-2) • (-7)
Det A • B= 14

Resposta: Item e.

Questão 4)
I) Ao aplicarmos a regra de Sarrus, o determinante da matriz A será:

  || 1 2 1 || 1 2
A= || 4 9 4 || 4 9 = 0
  || 6 x x - 7 || 6 x

Det A= 9(x - 7) + 2 • 4 • 6 + 1 • 4  • x - 6 • 9 - 1 • 4 • x - 8 (x - 7) =0
Det A= 9(x - 7) + 48+ 4 x - 54 - 4x - 8 (x - 7)= 0
Det A= x - 7 - 6= 0 => x= 7 + 6 => x= 13

Resposta: x=13

Questão 5)
I) Para resolver esta questão, é importante observar que o determinante da matriz da ordem 3 é igual ao determinante da matriz de ordem 1. Aplicando a regra de Sarrus, temos que x será igual a:
  || 1 0 2|| 1 0
|x|= || 2 4 1|| 2 4
  || 3 2 0|| 3 2

|x|= 4 • 1 • 0 + 0 • 1 •3 + 2 • 2 • 2 - 2 • 4 • 3 - 1 • 1 • 2 - 0 • 2 • 0
|x|= 8 - 24 - 2
|x|= -18

Resposta: x= -18.

Questão 6)
I) Ao aplicarmos a regra de Sarrus, o determinante da matriz M será:

|| x + 1 1 1 || x + 1 1

Det M=|| - 1 || - 1

|| x - 1 3x 1 || x - 1 3x

|| ||

|| 1 0 2|| 1 0

Det M= -2x - 2   + 1 +  1  - 2x + 2 ≥ 0
3x 3x

Det M= -2x - 2   + 3x + 1  - 6x ^2+ 6x ≥ 0
3x

Det M= -6x² + 7x -1 ≥ 0

II) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta inequação do segundo grau
∆= b² - 4ac
∆= 7² - 4 • (-6) • (-1)
∆= 49 - 24
∆= 25

x= -b ± √∆   x'= -7 + 5   x"= -7 - 5
2a (-12) (-12)

x= -7 ± √25    x'=  (-2) x"= (-12)
2 • (-6) (-12) (-12)

x= -7 ±  5   x'= 1   x"= 1
(-12) 6

Resposta: S={ x ∈ IR| 1 < x < 1}
6

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.