Equação exponencial

O que são?

São quaisquer equações nas quais a incógnita, ou termo desconhecido, se encontra no expoente. A base da potência deve ser positiva e diferente de 1. Alguns exemplos serão apresentados.
*4^(x + 2) + 16^x= 8
* 3^x= 729
* 4^(x + 1)= 1024

Como resolvê-las:

Para resolver uma equação exponencial, é necessário o domínio dos seguintes conteúdos:

*Equação do primeiro grau

*Equação do segundo grau

*Propriedade das potências

Além disso, existe uma propriedade indispensável para sua resolução:

a^x= a^y <=> x= y ( a>0 e diferente de 1)

Isso significa dizer que se duas potências tem bases iguais, os seus expoentes também serão iguais. Essa propriedade pode ser conhecida como propriedade das equações exponenciais.

Observe a solução da seguinte equação:

4^x= 64

* Fatorando 64, temos que 64= 4^3

4^x=4^3

* Aplicando a propriedade das equações exponenciais, temos que:

x=3

Exemplo 1) Resolva a equação 2^ x + 7= 1024

I) Fatorando 1024, temos que 1024= 2^10

II) Substituindo este valor na equação, teremos a seguinte igualdade:

2^ x + 7= 2^10

III) Aplicando a propriedade das equações exponenciais, teremos:

x + 7= 10

x= 10 - 7

x= 3

Exemplo 2) Resolva a equação 2^x=5√128

I) 2^x= 128^ 1/5

II) Fatorando 128, temos que 128= 2^7

III) Aplicando a propriedade das equações exponenciais, temos que:
2^x= (2^7)^1/5
x= 7 • 1/5
x=7/5

Exemplo 3) Encontre o valor de x que satisfaça a equação 3^(x^2 - x - 6)= 1
I) Podemos determinar 1=3^0

II) Igualando as bases, a partir da regra: "todo número elevado a zero é igual um", podemos afirmar que 3^0= 1 temos que:

3^(x^2 - x - 6)= 3^0
x^2 - x - 6= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara

∆= b^ 2 - 4ac

∆= (-1)^2 - 4 • 1 • (-6)

∆= 1 + 24
∆= 25

x= - b ± √∆     x'= 1 + 5     x"=  1 - 5
2a 2 2

x= 1 ± √25   x'=  6     x"=- 4
2 • 1 2 2
x=1 ± 5
2 x'= 3 x"= -2

Resposta: x'= 3 e x"= -2

Exemplo 4) Determine o conjunto verdade da equação 9^x - 4 • 3^x + 3= 0
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação:
9^x - 4 • 3^x + 3= 0
(3^2)^x - 4 • 3^x + 3= 0
3^2x - 4 • 3^x + 3= 0
(3^x)^2 - 4 • 3^x + 3

II) Assumindo y= 3^x, reescrevemos a equação em função de y
y^2 - 4y + 3= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara
∆= b^ 2 - 4ac
∆= (-4)^2 - 4 • 1 • 3
∆= 16 - 12
∆= 4

y= - b ± √∆   y'= 4 + 2 y"= 4 - 2
2a 2 2
y= 4 ± √4 y'=   6 y"= 2
2 2 2
y= 4 ± 2 y'= 3 y"= 1
2

IV) Pela equação 3^x= y, os valores de x serão

3^x= 3 3^x= 1
3^x= 3^1 3^x= 3^0
x'= 1 x"= 0

Resposta: S={0, 3}.

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Se x é um número real, resolva a equação exponencial abaixo:
3^2x + 3^ (x+1)= 18

Questão 2) Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial:

2^(x - 3) + 2^(x - 1) + 2^x= 52

Questão 3) O número de raízes da equação 3^(2x^2 - 7x + 7)= 9 é:
a) 0
b) 2
c) 1
d) 4

Questão 4) (UFJF) Dada a equação 2^(3x - 2) • 8^(x+1)= 4^(x - 1), podemos afirmar que sua solução é um número:
a) Natural
b) Maior que 1
c) De módulo maior que 1
d) Par
e) De módulo menor que 1

Questão 5) (Mackenzie - SP) A soma das raízes da equação
2^(2x + 1) - 2^(x + 4)= 2^(x + 2) - 32 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7

Questão 6) Determine o conjunto verdade da seguinte equação exponencial:
25^x -30 • 5^x= -125

Resoluções:

Questão 1)

I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação

3^2x + 3^(x + 1)= 18

(3^x)^2 +3 • (3^x)=18

II) Assumindo y= 3^x, reescrevemos a equação:

y^2 + 3y= 18

y^2 + 3y - 18= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara:

∆= b^ 2 - 4ac
∆= 3^2 - 4 • 1 • (-18)
∆= 9 + 72
∆= 81

y= - b ± √∆
2a
y= - 3 ± √81
2 • 1

y= - 3 ± 9
2

y'= - 3 + 9
2
y'= 3

y"= - 3 - 9
2
y"= - 6

IV) Pela equação 3^x= y, os valores de x serão

3^x= 3 3^x= -6
3^x= 3^1 3^x= {}
x= 1

Resposta: x=1

Questão 2)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação
2^(x - 3) + 2^(x - 1) + 2^x= 52
2^x  + 2^x  + 2^x= 52
8 2

II) Assumindo y= 2^x, teremos a seguinte equação

y  + y  + y=52
8 2

III) Igualando o denominador de ambos os membros da equação, temos que:

y + 4y + 8y= 416
8 8
13y= 416
y= 416
13
y= 32
IV) A partir da equação 2^x= y, determinamos que x será:

2^x= 32
2^x=2^5
x= 5

Resposta: x= 5

Questão 3)

I) Fatorando 9= 3^2

II) Agora, os expoentes serão igualados

3^(2x^2 - 7x + 7)= 3^2
2x^2 - 7x + 7= 2
2x^2 -7x + 7 - 2= 0
2x^2 -7x + 5= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara

∆= b^ 2 - 4ac

∆= (-7)^2 - 4 • 2 • 5

∆= 49 - 40
∆= 9

x= - b ± √∆
2a

x=  7 ± √9
2 • 2

x=  7 ± 3
4
x'=  7 + 3  =  10
4 4
x'=  5
2

x"=  7 - 3
4
x"= 1

IV) Como a equação apresenta duas soluções, a equação apresenta duas raízes.

Resposta: Item c.

Questão 4)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação
2^(3x - 2) • 8^(x+1)= 4^(x - 1)
2^(3x - 2) • (2^3)^(x + 1)= (2^2)^ (x -1)
2^(3x - 2) • 2^(3 •( x + 1))= 2^(2 • (x - 1))
2^(3x -2) • 2^(3x + 3)= 2^ 2x -2

II) Como todos os termos desta equação exponencial estão escritos sobre a base 2, igualamos os expoentes
3x - 2 + 3x + 3= 2x - 2
6x + 1= 2x - 2
6x - 2x = -2 - 1
4x= - 3
x= - 3
4

|x|= 3
4
Resposta: Como o módulo do resultado da equação é menor que 1, a resposta corresponde ao item e.

Questão 5)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação;
2^(2x + 1) - 2^(x + 4)= 2^(x + 2) - 32
2^2x • 2 ^1 - 2^x • 2^4= 2^x • 2^2 - 32
(2^x)^2 • 2 - 2^x • 16= 2^x • 4 - 32

II) Assumindo 2^x= y
2y^2 - 16y= 4y - 32
2y^2 - 16y - 4y + 32= 0
2y^2 - 20y + 32= 0

III) Dividiremos ambos os membros da equação por 2 para simplificar as equações, sem causar prejuízos na equação.
y^2 - 10y + 16= 0

IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara
∆= b^ 2 - 4ac
∆= (-10)^2 - 4 • 1 • 16
∆= 100 - 64
∆= 36

y= - b ± √∆
2a
y= 10 ± √36
2
y= 10 ± 6
2

y'=  10 + 6
2
y'= 8

y"=  10 - 6
2
y"= 2

V) A partir da equação 2^x= y, determinamos que os valores de x serão:

2^x= 8 2^x= 2
2^x= 2^3 2^x= 2^1
x'= 3 x"= 1

VI) Como o problema exige o valor da soma das raízes da equação, somaremos as raízes.

x' + x"= 3 + 1
x' + x"= 4

Resposta: Item c.

Questão 6- item a)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação:
25^x - 30 • 5^x= -125
(5^2)^x - 30 • 5^x= -125
5^2x - 30 • 5^x= -125
(5^x)^2 - 30 • 5^x= -125

II) Assumindo 5^x= a, reescrevemos a equação em função de a
a^2- 30a= -125
a^2 - 30a + 125= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara:
∆= b^ 2 - 4ac
∆= (-30)^2 - 4 • 1 • 125
∆= 900 - 500
∆= 400

a= - b ± √∆
2a

a=  30 ± √400
2 • 1
a=  30 ± 20
2
a'=  30 + 20
2
a'= 25

a"=  30 - 20
2
a"= 5

IV) Através da equação 5^x= a, podemos determinar que os valores de x são:

5^x= 25 5^x= 5
5^x= 5^2 5^x=5^1
x'= 2 x"= 1

Resposta: S={ 1, 2}