Equação exponencial

O que são?

São quaisquer equações nas quais a incógnita, ou termo desconhecido, se encontra no expoente. A base da potência deve ser positiva e diferente de 1. Alguns exemplos serão apresentados.
*4^(x + 2) + 16^x= 8
* 3^x= 729
* 4^(x + 1)= 1024

Como resolvê-las:

Para resolver uma equação exponencial, é necessário o domínio dos seguintes conteúdos:

*Equação do primeiro grau

*Equação do segundo grau

*Propriedade das potências

Além disso, existe uma propriedade indispensável  para sua resolução:

a^x= a^y <=> x= y ( a>0 e diferente de 1)

Isso significa dizer que se duas potências tem bases iguais, os seus expoentes também serão iguais.  Essa propriedade pode ser conhecida como propriedade das equações exponenciais.

Observe a solução da seguinte equação:

4^x= 64

* Fatorando 64, temos que 64= 4^3

4^x=4^3

* Aplicando a propriedade das equações exponenciais, temos que:

x=3

Exemplo 1) Resolva a equação 2^ x + 7= 1024

I) Fatorando 1024, temos que 1024= 2^10

II) Substituindo este valor na equação, teremos a seguinte igualdade:

        2^ x + 7= 2^10

III) Aplicando a propriedade das equações exponenciais, teremos:

         x + 7= 10

         x= 10 - 7

         x= 3

Exemplo 2) Resolva a equação 2^x=5√128

I) 2^x= 128^ 1/5

II) Fatorando 128, temos que 128= 2^7

III) Aplicando a propriedade das equações exponenciais, temos que:
2^x= (2^7)^1/5
x= 7 • 1/5
x=7/5

Exemplo 3) Encontre o valor de x que satisfaça a equação 3^(x^2 - x - 6)= 1
I) Podemos determinar 1=3^0

II) Igualando as bases, a partir da regra: "todo número elevado a zero é igual um", podemos afirmar que 3^0= 1 temos que:

3^(x^2 - x - 6)= 3^0
x^2 - x - 6= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara

∆= b^ 2 - 4ac                                   

∆= (-1)^2 - 4 • 1 • (-6)

∆= 1 + 24
∆= 25

x= - b ± √∆         x'= 1 + 5           x"=  1 - 5 
          2a                       2                        2

x= 1 ± √25          x'=  6                 x"=- 4 
       2 • 1                    2                         2
x=1 ± 5              
       2                    x'= 3                  x"= -2



Resposta: x'= 3 e x"= -2

Exemplo 4) Determine o conjunto verdade da equação 9^x - 4 • 3^x + 3= 0
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação:
               9^x - 4 • 3^x + 3= 0
               (3^2)^x - 4 • 3^x + 3= 0
                 3^2x - 4 • 3^x + 3= 0
                 (3^x)^2 - 4 • 3^x + 3

II) Assumindo y= 3^x, reescrevemos a equação em função de y
              y^2 - 4y + 3= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara
∆= b^ 2 - 4ac
∆= (-4)^2 - 4 • 1 • 3
∆= 16 - 12
∆= 4

y= - b ± √∆       y'= 4 + 2        y"= 4 - 2 
          2a                     2                    2
y= 4 ± √4          y'=   6             y"=  2 
         2                       2                    2
y= 4 ± 2             y'= 3               y"= 1
        2

IV) Pela equação 3^x= y, os valores de x serão

3^x= 3             3^x= 1
3^x= 3^1         3^x= 3^0
x'= 1                 x"= 0

Resposta: S={0, 3}.

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Se x é um número real, resolva a equação exponencial abaixo:
3^2x + 3^ (x+1)= 18

Questão 2) Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial:

2^(x - 3) + 2^(x - 1) + 2^x= 52

Questão 3) O número de raízes da equação 3^(2x^2 - 7x + 7)= 9 é:
a) 0
b) 2
c) 1
d) 4

Questão 4) (UFJF) Dada a equação 2^(3x - 2) • 8^(x+1)= 4^(x - 1), podemos afirmar que sua solução é um número:
a) Natural 
b) Maior que 1
c) De módulo maior que 1
d) Par
e) De módulo menor que 1

Questão 5) (Mackenzie - SP) A soma das raízes da equação 
2^(2x + 1) - 2^(x + 4)= 2^(x + 2) - 32 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6 
e) 7

Questão 6) Determine o conjunto verdade da seguinte equação exponencial:
25^x -30 • 5^x= -125

Resoluções:

Questão 1)

I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação

             3^2x + 3^(x + 1)= 18

           (3^x)^2 +3 • (3^x)=18

II) Assumindo y= 3^x, reescrevemos a equação:

            y^2 + 3y= 18

            y^2 + 3y - 18= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara:

∆= b^ 2 - 4ac
∆= 3^2 - 4 • 1 • (-18)
∆= 9 + 72
∆= 81

y= - b ± √∆                      
          2a                                                      
y= - 3 ± √81                              
        2 • 1                       

y= - 3 ± 9                   
          2

y'= - 3 + 9 
           2
y'= 3

y"= - 3 - 9 
           2
y"= - 6

IV) Pela equação 3^x= y, os valores de x serão

3^x= 3                       3^x= -6
3^x= 3^1                   3^x= {} 
x= 1

Resposta: x=1

Questão 2)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação
   2^(x - 3) + 2^(x - 1) + 2^x= 52
   2^x  + 2^x  + 2^x= 52
     8         2
   
II) Assumindo y= 2^x, teremos a seguinte equação

   y  + y  + y=52
   8     2

III) Igualando o denominador de ambos os membros da equação, temos que:

       y + 4y + 8y= 416 
               8              8
          13y= 416
             y= 416 
                   13
             y= 32
IV) A partir da equação 2^x= y, determinamos que x será:

2^x= 32
2^x=2^5
x= 5

Resposta: x= 5

Questão 3)

I) Fatorando 9= 3^2

II) Agora, os expoentes serão igualados

3^(2x^2 - 7x + 7)= 3^2
2x^2 - 7x + 7= 2
2x^2 -7x + 7 - 2= 0
2x^2 -7x + 5= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara

∆= b^ 2 - 4ac                          

∆= (-7)^2 - 4 • 2 • 5

∆= 49 - 40
∆= 9

x= - b ± √∆               
          2a                             

x=  7 ± √9                           
       2 • 2                                          

x=  7 ± 3                   
         4    
 x'=  7 + 3  =  10 
           4           4
x'=  5 
       2

x"=  7 - 3 
           4
x"= 1                     
  
IV) Como a equação apresenta duas soluções, a equação apresenta duas raízes.

Resposta: Item c.

Questão 4)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação
     2^(3x - 2) • 8^(x+1)= 4^(x - 1)
    2^(3x - 2) • (2^3)^(x + 1)= (2^2)^ (x -1)
   2^(3x - 2) • 2^(3 •( x + 1))= 2^(2 • (x - 1))
         2^(3x -2) • 2^(3x + 3)= 2^ 2x -2

II) Como todos os termos desta equação exponencial estão escritos sobre a base 2, igualamos os expoentes
             3x - 2 + 3x + 3= 2x - 2
             6x + 1= 2x - 2
            6x - 2x = -2 - 1
             4x= - 3
               x= -  3 
                       4
                      
                |x|=  3   
                           4
Resposta: Como o módulo do resultado da equação é menor que 1, a resposta corresponde ao item e.

Questão 5)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação;
       2^(2x + 1) - 2^(x + 4)= 2^(x + 2) - 32
       2^2x • 2 ^1 - 2^x • 2^4= 2^x • 2^2 - 32
           (2^x)^2 • 2 - 2^x • 16= 2^x • 4 - 32

II) Assumindo 2^x= y
             2y^2 - 16y= 4y - 32
              2y^2 - 16y - 4y + 32= 0
             2y^2 - 20y + 32= 0

III) Dividiremos ambos os membros da equação por 2 para simplificar as equações, sem causar prejuízos na equação.
                y^2 - 10y + 16= 0

IV) Aplicando a fórmula de Bhaskara
∆= b^ 2 - 4ac                  
∆= (-10)^2 - 4 • 1 • 16
∆= 100 - 64
∆= 36

y= - b ± √∆              
          2a                                            
y= 10 ± √36            
           2                                               
y= 10 ± 6                       
          2

y'=  10 + 6 
            2
y'= 8

y"=  10 - 6 
            2
y"= 2

V) A partir da equação 2^x= y, determinamos que os valores de x serão:

2^x= 8          2^x= 2
2^x= 2^3      2^x= 2^1
x'= 3              x"= 1

VI) Como o problema exige o valor da soma das raízes da equação, somaremos as raízes.

x' + x"= 3 + 1
x' + x"= 4

Resposta: Item c.

Questão 6- item a)
I) Organizando as equação a partir das propriedades da potência, temos a seguinte equação:
              25^x - 30 • 5^x= -125
              (5^2)^x - 30 • 5^x= -125
                5^2x - 30 • 5^x= -125
                (5^x)^2 - 30 • 5^x= -125

II) Assumindo 5^x= a, reescrevemos a equação em função de a
                 a^2- 30a= -125
                 a^2 - 30a + 125= 0

III) Aplicando a fórmula de Bhaskara:
∆= b^ 2 - 4ac
∆= (-30)^2 - 4 • 1 • 125
∆= 900 - 500
∆= 400 

a= - b ± √∆             
          2a                                                   

a=  30 ± √400          
          2 • 1                       
a=  30 ± 20              
            2
a'=  30 + 20 
            2
a'= 25

a"=  30 - 20 
            2
a"= 5

IV) Através da equação 5^x= a, podemos determinar que os valores de x são:

5^x= 25         5^x= 5
5^x= 5^2       5^x=5^1
x'= 2              x"= 1

Resposta: S={ 1, 2}

Referências:

1-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-exponencial.htm

2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm

3-https://www.infoescola.com/matematica/equacao-exponencial/

4-https://www.professorferretto.com.br/equacoes-exponenciais/

5-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-exponencial.htm

6-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-equacao-exponencial.htm

Matrizes- Determinantes de ordem 1, 2 e 3.

O que são?

Determinante é todo número relacionado com uma matriz quadrada, ou seja, qualquer número associado com uma matriz que possua o mesmo número de linhas e colunas.
Esse número é calculado através de operações com os elementos da matriz.
O determinante de uma matriz A é escrito como det A e ele é escrito entre duas barras, enquanto os elementos da matriz são escritos em parênteses, colchetes ou barras duplas.

Matriz de Ordem 1:

Matriz de Ordem 1 é aquela que possui apenas um elemento. O determinante deste tipo de matriz é igual ao próprio elemento da matriz.

Exemplos:

Se A= [-9], o seu determinante será det A= | -9|= -9

Se B= [10], o seu determinante será det B= |10|= 10

Matriz de ordem 2:

Matriz de ordem 2 ou matriz 2 x 2 é aquela que possui quatro elementos dispostos em duas linhas e duas colunas. O determinante dessa matriz é obtido pelo produto dos elementos da diagonal primária menos a diagonal secundária. 

   
      || a11    a21||

X= || a12  a22 ||

det A= a11 • a22 - a21 • a12

Exemplo:
      
      ||  2   9||
A= || -1  6||
      

Det  A= 2 • 6 -  9 • (-1)
Det A= 12 + 9
Det A= 21

Matriz de ordem 3:

Matriz de Ordem 3 ou matriz 3 x 3 é toda matriz com três linhas e três colunas. O determinante deste tipo de matriz é determinado através da regra de Sarrus. 

      || 5   0   1 ||

C= || -2  3   4 ||

      || 0   2   1 ||

Primeiramente repetimos as duas primeiras colunas desta matriz à seguir da terceira.

     || 5   0    1||   5   0 

C= || -2  3   4 || -2    3

     || 0   2    1||   0    2

Em seguida, devemos calcular os produtos das diagonais principal e secundária
Diagonal principal
5 • 3 • (-1) + 0 • 4 • 0 + 1 • (-2) • 2
-15 + 0 - 4
-19

Diagonal secundária
1 • 3 • 0 + 5 • 4 • 2 + 0 • (-1) • (-2)
0 + 40 + 0=
40

Agora, basta subtrair o valor da diagonal primária como da diagonal secundária

Det C= -19 - 40
Det C= -59

Os determinantes de matrizes 2 x 2 são calculados de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e subtraindo o produto da diagonal principal com o da diagonal secundária. Nas matrizes 3 x 3, utilizamos a regra de Sarrus descrita anteriormente. A demonstração geral da regra de Sarrus se encontra na imagem abaixo:

             
Fonte:https://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

Dominando o conhecimento- exercícios:

Questão 1) Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual 8.

      || x             -3||

A= || x + 2    x -2||

                                                   

Questão 2) Resolva a equação
|| x²   x|| = |-1|

|| 2    1||

                                                                            

Questão 3) (Vunesp) Dada as matrizes
      || 1   3 ||          || -1   2||
A= || 2   4 || e  B= ||  3   1||, o determinante da matriz A • B é:

a) -1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Questão 4) (Unicap - PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante A seja nulo

      || 1   2       1   ||

A= || 4   9       4   ||

      || 6   x    x - 7 ||

                                                 

Questão 5) Resolva a equação
|| 1   0   2||
||  2  4   1|| = |x|

||  3  2   0||

Questão 6) U.F. Ouro Preto - M.G

Considere a matriz

      || x + 1     1          1 ||

M=||             - 1            ||

      || x - 1      3x        1 ||

      ||                             ||

      ||  1           0          2||

Resoluções:

Questão 1)
I) Primeiramente devemos lembrar que det A= 8

det A= 8 =>  x (x - 2) - (-3) (x + 2)= 8

x² - 2x - (-3x -6)= 8
x² -2x + 3x + 6= 8

x² + x + 6 - 8= 0
x² + x - 2= 0

II) Aplicando a fórmula de Bhaskara:
∆= b² - 4ac
∆= 1^2 - 4 • 1 • (-2)
∆= 1 + 8
∆= 9

x= -b ± √∆         x'= -1 + 3       x"= -1 - 3 
          2a                      2                      2            
        
x= -1 ± √9           x'= 2              x"= - 4 
          2                      2                        2

x= -1 ± 3             x'= 1                x"= -2
          2      

Resposta: Os valores de x que fazem det A= 8 são x'= 1 e x"= -2. S={ x ∈ IR| x= -2 e x=1}   

Questão 2)
I) Esta questão nos garante que o determinante da matriz de ordem 2 é igual ao da matriz de ordem 1. Por isso, desenvolveremos a seguinte igualdade:
    || x²  x||  = |-1|
    || 2   1||

x²- 2x= -1
x² - 2x + 1= 0

II) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-2)^2 - 4 • 1 •  1
∆= 4 - 4
∆= 0

x= -b ± √∆ 
         2a

x= 2 ± √0 
         2

x= 2 
     2
x= 1

Resposta: x=1

Questão 3)
I) Primeiramente, devemos determinar os determinantes das matrizes A e B.
*Determinante da matriz A      *Determinante da matriz B
Det A= 4 • 1 - 2 • 3       DetB= (-1) • 1 - 3 • 2
Det A= 4 - 6                              Det B= -1 - 6
Det A= -2                                  Det B= - 7

II) Agora que obtivemos os determinantes das matrizes A e B, basta multiplicá-los para obtermos o determinante de A • B

Det A• B= Det A • Det B
Det A • B= (-2) • (-7)
Det A • B= 14

Resposta: Item e.

Questão 4)
I) Ao aplicarmos a regra de Sarrus, o determinante da matriz A será:

      || 1   2       1   ||  1   2
A= || 4   9       4   ||  4   9 = 0
      || 6   x   x - 7 ||  6   x

Det A= 9(x - 7) + 2 • 4 • 6 + 1 • 4  • x - 6 • 9 - 1 • 4 • x - 8 (x - 7) =0
Det A= 9(x - 7) + 48+ 4 x - 54 - 4x - 8 (x - 7)= 0
Det A= x - 7 - 6= 0 => x= 7 + 6 => x= 13

Resposta: x=13

Questão 5)   
I) Para resolver esta questão, é importante observar que o determinante da matriz da ordem 3 é igual ao determinante da matriz de ordem 1. Aplicando a regra de Sarrus, temos que x será igual a:                 
          ||  1  0   2|| 1  0 
|x|= ||  2  4   1|| 2  4
          ||  3  2   0|| 3  2

|x|= 4 • 1 •  0 + 0 • 1 •3 + 2 • 2 • 2 - 2 • 4 • 3 - 1 • 1 • 2 - 0 • 2 • 0
|x|= 8 - 24 - 2
|x|= -18

Resposta: x= -18.

Questão 6)
I) Ao aplicarmos a regra de Sarrus, o determinante da matriz M será:

             || x + 1     1          1 ||  x + 1      1

Det M=||             - 1            ||              -  1

             || x - 1      3x        1 ||  x - 1      3x

             ||                             ||

             ||  1           0          2||   1           0


Det M= -2x - 2   + 1 +  1  - 2x + 2 ≥ 0
                 3x                3x

Det M= -2x - 2   + 3x +  1  -  6x ^2+ 6x ≥ 0
                                3x

Det M= -6x² + 7x -1 ≥ 0

II) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta inequação do segundo grau
∆= b² - 4ac
∆= 7² - 4 • (-6) • (-1)
∆= 49 - 24
∆= 25

x= -b ± √∆                x'= -7 + 5           x"= -7 - 5  
         2a                            (-12)                   (-12)

x= -7 ± √25               x'=  (-2)             x"=  (-12) 
       2 • (-6)                     (-12)                    (-12)

x= -7 ±  5                 x'=  1                  x"= 1
       (-12)                         6

Resposta: S={ x ∈ IR|  1   < x < 1}
                                       6 

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:  

1-https://www.todamateria.com.br/determinantes/

2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm

3-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-determinantes.htm

4-https://www.stoodi.com.br/resumos/matematica/determinantes/

5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/determinante-matriz-ordem-1-2-ou-3.htm

6-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-determinante-matriz-ordem-1-2-ou-3.htm

7-https://sabermatematica.com.br/determinanteser.html

8-http://www.universiaenem.com.br/sistema/faces/pagina/publica/conteudo/texto-html.xhtml?redirect=30308708239382979944633412393
9-https://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php