Transformações de soma em produto (Werner)

 Introdução:

As fórmulas de transformação de produto, também conhecidas como Fórmulas de Werner ou de Prostáferese, são amplamente utilizadas na fatoração de expressões como sen x + sen y, cos x - cos y, cos x + cos y e outras. Para obter as fórmulas mencionadas, utilizaremos algumas transformações trigonométricas já conhecidas (soma e subtração de arcos).

I) sen x + sen y e sen x - sen y

A partir do seno da soma e da diferença de dois ângulos, encontraremos as fórmulas de sen x + sen y e  sen x - sen y.

sen (a + b)= sen a cos b + sen b cos a (I)

sen (a - b)= sen a cos b - sen b cos a (II)

* sen x + sen y

Somando I e II

I + II=> sen (a + b) + sen (a - b)= sen a cos b + sen b cos a + sen a cos b - sen b cos a

sen (a + b) + sen (a - b)= 2 sen a cos b

* sen x - sen y

Subtraindo I e II

I - II=> sen (a +b) - sen (a - b)= sen a cos b + sen b cos a- sen a cos b + sen b cos a

sen (a + b) + sen (a - b)= 2 sen b cos a

Para trabalharmos melhor com as identidades encontradas, chamaremos a + b= x e a - b= y. Com isso, teremos:

a + b= x

a- b= y

Resolvendo o sistema, encontramos a= (x + y)/2 e b= (x - y)/2. Substituindo isso nas fórmulas encontradas anteriormente

sen x + sen y= 2 sen [(x + y)/2] cos [(x - y)/2)

sen x - sen y= 2 sen [(x - y)/2] cos [(x + y)/2)

II) cos x + cos y e cos x - cos y

A partir do cosseno da soma e diferença de dois arcos, encontraremos as fórmulas de cos x + cos y e  cos x - cos y.

cos (a + b)= cos a cos b - sen b sen a (III)

cos (a - b)= cos a cos b + sen b sen a

III + IV

cos (a + b) + cos (a - b)=  cos a cos b - sen b sen a + cos a cos b + sen b sen a

cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b

III - IV

cos (a + b) + cos (a - b)=  cos a cos b - sen b sen a - cos a cos b - sen b sen a

cos (a + b) - cos (a - b)= -2 sen a sen b

Analogamente ao caso do seno, utilizaremos a + b= x, a - b= y,a= (x + y)/2 e b= (x - y)/2 e, com isso, teremos:

cos (x) + cos (y)= 2 cos [(x + y)/2] cos [(x - y)/2]

cos (x) - cos (y)= -2 sen [(x + y)/2] sen [(x - y)/2]

III) tg x + tg y e tg x - tg y

A partir dos conhecimentos das fórmulas de soma e diferença de arcos, pode-se também deduzir as fórmulas de prostáferese para tg x + tg y e tg x - tg y.

* tg  x + tg y

tg x + tg y= sen x/cos x + sen y/cos y

tg x + tg y= (sen x cos y + sen y cos x)/cos x cos y

tg x + tg y= sen (x + y)/ cos x cos y

* tg x - tg y

tg x - tg y= sen x/cos x - sen y/cos y

tg x - tg y= (sen x cos y - sen y cos x)/(cos x cos y)

tg x - tg y= sen (x - y)/(cos x cos y)

Agradecimentos:

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Tive uns problemas de organização e, por isso, demorei mais para postar. Agradeço a compreensão de todos.

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.

Referências:

1-https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/formulas-de-prostaferese.html

2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-transformacao-soma-produto.htm

3-http://www.profcardy.com/cardicas/prostaferese.php

4-https://en.wikipedia.org/wiki/Prosthaphaeresis

Soma e diferença de dois arcos- demonstração geométrica

I) Demonstrações do seno da soma e diferença de dois arcos:

Em um triângulo qualquer, a área é igual ao semi produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles. Ou seja:

 

Fonte:http://pratico-e-basico.blogspot.com/2015/10/lei-dos-senos-e-cossenos.html

A= 1/2 • (b • c • sen Â) 

Logo, teremos as seguintes relações para os três triângulos da figura abaixo:

No triângulo ABC: A(ABC)= 1/2 • (b • c • sen (α + β))

No triângulo ABD: A(ABD)= 1/2 • (c • b • cos (α) • sen (β))

No triângulo ADC: A(ADC)= 1/2 •  (b • c • cos (β) • sen (α))

E sendo: A(ABC)= A(ABD) + A(ADC), temos:

1/2 • (b • c • sen (α + β))= 1/2 • (c • b • cos (α) • sen (β)) + 1/2 •  (b • c • cos (β) • sen (α))

Simplificando a expressão, temos:

sen (α + β)= cos (α) • sen (β) + cos (β) • sen (α)

Para encontrarmos o seno da diferença de dois ângulos, algumas propriedades das funções seno e cosseno serão necessárias. 

Sendo sen (-x)= -sen (x) e cos (-x)= cos (x), encontramos que:

sen (α + (-β))= cos (α) • sen (-β) + cos (-β)• sen (α)

sen (α - β)= cos (β) • sen (α) - cos (α) • sen (β)

II)Demonstrações do cosseno da soma e diferença de dois arcos:

Para demonstrarmos o cosseno da soma de dois arcos, aplicaremos a lei dos cossenos no triângulo ABC

[c • sen (β) + b • sen (α)]²= b² + c² - 2 • b • c • cos (α + β)

c² • sen² (β) + 2bc • sen (α) • sen (β) + b²• sen² (α)= b² + c² - 2bc • cos (α + β)

2bc • sen (α) • sen (β) + 2bc • cos (α + β)= b² - b² sen² (α) + c²- c² • sen² (β)

2bc • cos (α + β)= b²[1- sen² (α)] + c²[1- sen² (β)] - 2bc • sen (α) • sen (β)

2bc • cos (α + β)= b² cos² (α) + c² cos² (β) - 2bc • sen (α) • sen (β)

Dividindo ambos os membros por 2bc:

cos (α + β)= [b • cos² (α)]/2c + [c • cos² (β)]/2b - sen (α) • sen (β) (eq.i)

                        

Sendo c • cos (β)= b • cos (α), teremos:

b/c= cos (β)/cos (α) (eq.ii) 

c/b=cos (α)/cos (β) (eq.iii)  

Substituindo eq.ii e eq.iii em eq.i, teremos:

cos (α + β)= [cos (β) • cos (α)]/2 + [cos (α) • cos (β)]/2 - sen (α) • sen (β) 

cos (α + β)= cos (α) • cos (β) - sen (α) • sen (β) 

Para encontrarmos o cosseno da diferença de dois arcos, algumas propriedades das funções seno e cosseno serão necessárias. 

Sendo sen (-x)= -sen (x) e cos (-x)= cos (x), encontramos que:

cos (α + (-β))= cos (α) • cos (-β) - sen (α) • sen (-β) 

cos (α - β)= cos (α) • cos (β) + sen (α) • sen (β) 

Agradecimentos:

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.

Referências:

1-https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/24026/24026_4.PDF

2-http://pratico-e-basico.blogspot.com/2015/10/lei-dos-senos-e-cossenos.html