Os catetos b e c de um triângulo retângulo de altura h (relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões: b = √︂( k + 1/k) e c = √︂( k − 1/k) onde k é um número real maior que 1. Calcule o valor de h em função de k.
Questão 2) (C.N)
O aluno Mauro, da a 8 série de um certo colégio, para resolver a equação x⁴ - x² + 2x - 1=0, no conjunto dos números reais, observou que x⁴= x² - 2x + 1 e que o segundo membro da equação é um produto notável. Desse modo, concluiu que é igual a (2x + 1)²:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Questão 3) (EUA) Se r² – r –10= 0, então (r + 1)(r + 2)(r –4) é:
a) Inteiro
b) Positivo e irracional
c) Negativo e irracional
d) Racional e não inteiro
e) Não real
Questão 4) (OBM – 2002) Se xy = 2 e x² + y²= 5, então x²/y² + y²/x² + 2 é:
a) 5/2
b) 25/4
c) 5/4
d) 1/2
e) 1
Questão 5) (OMPARA) A soma √(6 + 4√2) - √(6- 4√2) é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resoluções:
Questão 1) (ITA)
I) Primeiramente, será determinada a hipotenusa deste triângulo retângulo a partir do Teorema de Pitágoras
a²= b² + c²
a²= k + 1/k + k - 1/k= 2k
a=√2k
II) Agora, a relação métrica a • h= b • c, determina-se que a altura do triângulo retângulo em função de k será:
a • h= b • c
√2k • h= √︂( k + 1/k) • √︂( k - 1/k)
√2k • h= √︂( k² + 1/k²)=√︂[(k⁴ - 1)/k²]
h= √︂[(k⁴ - 1)/k² •2k]
h=√︂[(k⁴ - 1)/2k³]
Questão 2) (C.N)
I) Fatorando o segundo membro da equação, obtém-se:
x⁴= x² - 2x + 1
x⁴= (x - 1)²
x⁴ - (x - 1)²= 0
II) A partir disso, obtém-se uma diferença de quadrados que resultará em duas equações quadráticas:
(x²)² - (x - 1)²= 0
(x² + x - 1) (x² - x + 1)= 0
III) Resolvendo x² + x - 1= 0 através da fórmula resolutiva (Bhaskara)
∆= b² - 4ac= 1² - 4 • 1 • (-1)
∆= 1 + 4= 5 (a equação apresenta raízes reais diferentes)
x= -1 ± √5 = -1 ± √5
2 • 1 2
x'= -1 + √5
2
x"= -1 - √5
2
IV) Resolvendo x² - x + 1= 0 através da fórmula resolutiva (Bhaskara)
∆= b² - 4ac= (-1)² - 4 • 1 • (1)
∆= 1 - 4= -3 (esta equação não apresenta raízes reais)
V) Conjunto solução nos reais é S={(-1 ± √5)/2}. Substituindo estes valores, conclui-se que
(2x + 1)²= 5
Resposta: Item c
Questão 3) (EUA)
I) Primeiramente, deve-se resolver a equação quadrática dada. Para isso, aplicaremos a fórmula de Bhaskara.
r² – r –10= 0
∆= b² - 4ac= 1² - 4 • 1 • (-10)
∆= 1 + 40= 41 (a equação apresenta raízes reais diferentes)
r= -1 ± √41 = -1 ± √41
2 • 1 2
*É possível observar que √41 é irracional e, por isso,utilizaremos √41≅ 6,4. Com isso, teremos:
r'≅ (-1 + 6,4)/2≅ 2,7
r"≅ (-1 - 6,4)/2≅ -3,7
III) Por fim, observe que ao utilizar a primeira solução na expressão (r + 1)(r + 2)(r –4), o valor de
(r -4) ficará negativo e os demais termos serão positivos. Com isso, teremos um valor irracional e negativo para a express;ao.
Ao substituir a segunda solução na expressão (r + 1)(r + 2)(r –4), todos os termos da expressão são negativos e irracionais, assim como o valor da expressão. Assim, a resposta será o item c.
Resposta: Item c
Questão 4)
I) Igualando o denominador em todos os termos da expressão, obtém-se
x²/y² + y²/x² + 2= (x⁴ + 2x²y² + y⁴)/x²y²
II) Fatorando a expressão e utilizando x² + y²= 5 e xy=2, conclui-se que:
x²/y² + y²/x² + 2= (x⁴ + 2x²y² + y⁴)/x²y²=
= (x² + y²)²/(xy)²= 5²/2²
x²/y² + y²/x² + 2= 25/4
Resposta: Item b
Questão 5) (OMPARA)
x²= 12 + 4
x²= 16
x= √16
x= 4
Resposta: Item d
a • h= b • c
√2k • h= √︂( k + 1/k) • √︂( k - 1/k)
√2k • h= √︂( k² + 1/k²)=√︂[(k⁴ - 1)/k²]
h= √︂[(k⁴ - 1)/k² •2k]
h=√︂[(k⁴ - 1)/2k³]
Questão 2) (C.N)
I) Fatorando o segundo membro da equação, obtém-se:
x⁴= x² - 2x + 1
x⁴= (x - 1)²
x⁴ - (x - 1)²= 0
II) A partir disso, obtém-se uma diferença de quadrados que resultará em duas equações quadráticas:
(x²)² - (x - 1)²= 0
(x² + x - 1) (x² - x + 1)= 0
III) Resolvendo x² + x - 1= 0 através da fórmula resolutiva (Bhaskara)
∆= b² - 4ac= 1² - 4 • 1 • (-1)
∆= 1 + 4= 5 (a equação apresenta raízes reais diferentes)
x= -1 ± √5 = -1 ± √5
2 • 1 2
x'= -1 + √5
2
x"= -1 - √5
2
IV) Resolvendo x² - x + 1= 0 através da fórmula resolutiva (Bhaskara)
∆= b² - 4ac= (-1)² - 4 • 1 • (1)
∆= 1 - 4= -3 (esta equação não apresenta raízes reais)
V) Conjunto solução nos reais é S={(-1 ± √5)/2}. Substituindo estes valores, conclui-se que
(2x + 1)²= 5
Resposta: Item c
Questão 3) (EUA)
I) Primeiramente, deve-se resolver a equação quadrática dada. Para isso, aplicaremos a fórmula de Bhaskara.
r² – r –10= 0
∆= b² - 4ac= 1² - 4 • 1 • (-10)
∆= 1 + 40= 41 (a equação apresenta raízes reais diferentes)
r= -1 ± √41 = -1 ± √41
2 • 1 2
*É possível observar que √41 é irracional e, por isso,utilizaremos √41≅ 6,4. Com isso, teremos:
r'≅ (-1 + 6,4)/2≅ 2,7
r"≅ (-1 - 6,4)/2≅ -3,7
III) Por fim, observe que ao utilizar a primeira solução na expressão (r + 1)(r + 2)(r –4), o valor de
(r -4) ficará negativo e os demais termos serão positivos. Com isso, teremos um valor irracional e negativo para a express;ao.
Ao substituir a segunda solução na expressão (r + 1)(r + 2)(r –4), todos os termos da expressão são negativos e irracionais, assim como o valor da expressão. Assim, a resposta será o item c.
Resposta: Item c
Questão 4)
I) Igualando o denominador em todos os termos da expressão, obtém-se
x²/y² + y²/x² + 2= (x⁴ + 2x²y² + y⁴)/x²y²
II) Fatorando a expressão e utilizando x² + y²= 5 e xy=2, conclui-se que:
x²/y² + y²/x² + 2= (x⁴ + 2x²y² + y⁴)/x²y²=
= (x² + y²)²/(xy)²= 5²/2²
x²/y² + y²/x² + 2= 25/4
Resposta: Item b
Questão 5) (OMPARA)
I) Primeiramente, chamaremos o valor da soma de x para elevarmos ao quadrado ambos os lados da expressão e, então, aplicaremos os conceitos de produtos notáveis. Para facilitar os cálculos chamaremos 6 + 4√2de a e 6 - 4√2 de b. Reescrevendo a equação, teremos:
x= √a + √b
x²= (√a + √b)²
x²= a + 2 • √a • √b + b
x²= a + b + 2 √ab
II) Agora, iremos reinserir o valor de a e b para determinar o valor de x.
x²= a + b + 2 √ab
x²= 6 + 4√2 + 6 - 4√2 + 2 • √[( 6 + 4√2) • ( 6 - 4√2)]
x²= 12 + 2• √[6² - (4√2)²]
x²= 12 + 2• √[36 - 32]
x²= 12 + 2 • √4
x²= 12 + 2 • 2x²= 12 + 4
x²= 16
x= √16
x= 4
Resposta: Item d
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