Definições básicas de seno, cosseno e tangente

Introdução:

Seno, cosseno e tangente de um ângulo são relações trigonométricas obtidas a partir das razões entre os lados de um triângulo retângulo. Vale mencionar que triângulos retângulos são aqueles cujo um dos ângulos internos vale 90°. O seu maior lado é conhecido como hipotenusa e os outros dois como catetos.


Fonte:https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Ficheiro:RelacTrig1.png

Definições:

Dado um triângulo retângulo e definimos um  dos dois ângulos agudos como sendo α, obtém-se que:

sen α= cateto oposto a α =  a  
               hipotenusa            c

cos α= cateto adjacente a α =   b  
                 hipotenusa               c

tg α=    cateto oposto a α       =   a  
           cateto adjacente a α         b 

-Macete 1: O seno é sempre a razão entre o lado "separado" do ângulo e a hipotenusa, enquanto o cosseno é sempre a razão entre o lado "colado" ao ângulo e a hipotenusa.

-Macete 2: Soh Cah Toa
Soh significa seno igual oposto sobre hipotenusa
Cah significa cosseno igual adjacente sobre hipotenusa
Toa significa tangente igual oposto sobre adjacente

Exemplos: Considerando o triângulo retângulo abaixo, calcule:

-Seno de α

sen α=  cateto oposto a α = 3/5

                 hipotenusa       

sen α= 0,6

-Cosseno de α

cos α=  cateto adjacente a α = 4/5

                  hipotenusa

cos α= 0,8

-Tangente de α

tg α=     cateto oposto a α       = 3/4

            cateto adjacente a α  

tg α= 0,75

Valores de Seno, Cosseno e tangente:

Os valores de seno, cosseno e tangente são números reais que variam de valor de acordo com a variação do ângulo α. Dois triângulos retângulos que apresentam  ângulos α de mesma medida são semelhantes e, portanto, as medidas destas razões trigonométricas são iguais e os segmentos destas figuras proporcionais.

Ou seja, não importa o quão grandes ou pequenas sejam as medidas dos lados de um triângulo retângulo cujo um dos ângulos mede 30°, pois o seno deste ângulo sempre medirá 1/2 pois em um triângulo retângulo cujo um dos ângulos mede 30°, a medida da hipotenusa sempre será o dobro da medida do lado oposto a esse ângulo.

A tabela abaixo apresenta valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, que são 30°, 45° e 60°.

Macete- Lembre-se desta canção:“um, dois, três. Três, dois, um. Tudo sobre dois, só não tem raiz o um!”

Estes valores podem ser encontrados através de cálculos nos quais as medidas dos lados e dos ângulos internos do triângulo são conhecidos. Tais valores,  são encontradas na tabela abaixo:

Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tabelas-razoes-trigonometricas.htm

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://matika.com.br/trigonometria-no-triangulo-retangulo/definicoes-basicas---seno-cosseno-e-tangente

2-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-seno-cosseno-tangente.htm

3-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente.htm

4-https://matematicabasica.net/seno-cosseno-e-tangente/

5-https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Ficheiro:RelacTrig1.png

6-https://vemqueteexplico.blogspot.com/2013/09/terno-pitagorico.html

7-http://matematicaeumaciencia.blogspot.com/2014/05/soh-cah-toa-uma-maneira-de-lembrar-como.html

Desafios de matemática 4.0

Questão 1) ITA
Os catetos b e c de um triângulo retângulo de altura h (relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões: b = √︂( k + 1/k) e c = √︂( k − 1/k) onde k é um número real maior que 1. Calcule o valor de h em função de k.

Questão 2) (C.N)
O aluno Mauro, da a 8 série de um certo colégio, para resolver a equação x⁴ - x² + 2x - 1=0, no conjunto dos números reais, observou que  x⁴= x² - 2x + 1  e que o segundo membro da equação é um produto notável. Desse modo, concluiu que é igual a (2x + 1)²:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Questão 3) (EUA) Se r² – r –10= 0, então (r + 1)(r + 2)(r –4) é:
a) Inteiro
b) Positivo e irracional
c) Negativo e irracional
d) Racional e não inteiro
e) Não real

Questão 4) (OBM – 2002) Se xy = 2 e x² + y²= 5, então x²/y² + y²/x² + 2 é:
a) 5/2
b) 25/4
c) 5/4
d) 1/2
e) 1

Questão 5) (OMPARA) A soma √(6 + 4√2) - √(6- 4√2) é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resoluções:

Questão 1) (ITA)

I) Primeiramente, será determinada a hipotenusa deste triângulo retângulo a partir do Teorema de Pitágoras

a²= b² + c²

a²= k + 1/k + k - 1/k= 2k

a=√2k

II) Agora, a relação métrica a • h= b • c, determina-se que a altura do triângulo retângulo em função de k será:

a • h= b • c
√2k • h= √︂( k + 1/k) • √︂( k - 1/k)
√2k • h= √︂( k² + 1/k²)=√︂[(k⁴ - 1)/k²]
h= √︂[(k⁴ - 1)/k² •2k]
h=√︂[(k⁴ - 1)/2k³]

Questão 2) (C.N)
I) Fatorando o segundo membro da equação, obtém-se:
x⁴= x² - 2x + 1
x⁴= (x - 1)²
x⁴ - (x - 1)²= 0

II) A partir disso, obtém-se uma diferença de quadrados que resultará em duas equações quadráticas:
(x²)² - (x - 1)²= 0
(x² + x - 1) (x² - x + 1)= 0

III) Resolvendo x² + x - 1= 0 através da fórmula resolutiva (Bhaskara)
∆= b² - 4ac= 1² - 4 • 1 • (-1)
∆= 1 + 4= 5 (a equação apresenta raízes reais diferentes)

x= -1 ± √5 =  -1 ± √5 
       2 • 1            2
x'= -1 + √5 
           2
x"=  -1 - √5  
            2
IV) Resolvendo x² - x + 1= 0 através da fórmula resolutiva (Bhaskara)
∆= b² - 4ac= (-1)² - 4 • 1 • (1)
∆= 1 - 4= -3 (esta equação não apresenta raízes reais)

V) Conjunto solução nos reais é S={(-1 ± √5)/2}. Substituindo estes valores, conclui-se que 
(2x + 1)²= 5

Resposta: Item c

Questão 3) (EUA)
I) Primeiramente, deve-se resolver a equação quadrática dada. Para isso, aplicaremos a fórmula de Bhaskara.
r² – r –10= 0
∆= b² - 4ac= 1² - 4 • 1 • (-10)
∆= 1 + 40= 41 (a equação apresenta raízes reais diferentes)


r= -1 ± √41 =  -1 ± √41 
       2 • 1              2 
*É possível observar que √41 é irracional e, por isso,utilizaremos √41≅ 6,4. Com isso, teremos:
r'≅ (-1 + 6,4)/2≅ 2,7
r"≅ (-1 - 6,4)/2≅ -3,7

III) Por fim, observe que ao utilizar a primeira solução na expressão (r + 1)(r + 2)(r –4), o valor de 
(r -4) ficará negativo e os demais termos serão positivos. Com isso, teremos um valor irracional e negativo para a express;ao.
Ao substituir a segunda solução na expressão (r + 1)(r + 2)(r –4), todos os termos da expressão são negativos e irracionais, assim como o valor da expressão. Assim, a resposta será o item c.

Resposta: Item c

Questão 4)
I) Igualando o denominador em todos os termos da expressão, obtém-se

x²/y² + y²/x² + 2= (x⁴ + 2x²y² + y⁴)/x²y²

II) Fatorando a expressão e utilizando x² + y²= 5 e xy=2, conclui-se que:

x²/y² + y²/x² + 2= (x⁴ + 2x²y² + y⁴)/x²y²=
= (x² + y²)²/(xy)²= 5²/2²
x²/y² + y²/x² + 2= 25/4

Resposta: Item b

Questão 5) (OMPARA)

I) Primeiramente, chamaremos o valor da soma de x para elevarmos ao quadrado ambos os lados da expressão e, então, aplicaremos os conceitos de produtos notáveis. Para facilitar os cálculos chamaremos 6 + 4√2de a e 6 - 4√2 de b. Reescrevendo a equação, teremos:

x= √a + √b

x²=  (√a + √b)²

x²= a + 2 • √a • √b + b

x²= a + b + 2 √ab

II) Agora, iremos reinserir o valor de a e b para determinar o valor de x.

x²= a + b + 2 √ab

x²=  6 + 4√2 +  6 - 4√2 + 2 • √[( 6 + 4√2) • ( 6 - 4√2)]

x²= 12 + 2• √[6² - (4√2)²]

x²= 12 +  2• √[36 - 32]

x²= 12 + 2 • √4

x²= 12 + 2 • 2
x²= 12 + 4
x²= 16
x= √16
x= 4

Resposta: Item d