Introdução:
As relações de arco duplo são relações utilizadas nos cálculos das relações de seno, cosseno e tangente do dobro de um determinado ângulo conhecido. Elas podem ser demonstradas de diversas formas. Nesta postagem, será apresentada uma destas demonstrações.
Demonstração:
A partir dos triângulos ABC e ADC, que se encontram na imagem logo abaixo, obtém-se as seguintes relações
I) Do triângulo ABC, temos: tg θ= t/1= t
II) A partir do teorema do ângulo externo, encontramos que:
ângulo ADC= θ + θ =2θ
III) A partir do teorema de Pitágoras, teremos:
a²= (1 - a)² + t²
a²= 1- 2a + a² + t²
a² - a²= 1- 2a + t²
0= t² - 2a + 1
2a= t² + 1 => a= (t² + 1)/2
IV) Aplicando trigonometria no triângulo ADC, encontramos:
-Arco duplo do seno
sen 2θ= t/a= t/[(t² + 1)/2]
sen 2θ= 2t/(t² + 1)
Sendo t= tg θ, teremos:
sen 2θ= 2 tg θ/( tg² θ + 1)
-Sendo tg θ= sen θ/cos θ, t= tg θ e tg² θ + 1= sec² θ= (1/ cos² θ), teremos:
sen 2θ= [2(sen θ/cos θ)]/[(1/ cos² θ)]
sen 2θ= 2(sen θ/cos θ) • cos² θ
sen 2θ= 2 • sen θ • cos θ
- Arco duplo do cosseno
cos 2θ= (1-a)/a= [1- (t² + 1)/2]/[(t² + 1)/2]
cos 2θ= (2 - t² - 1)/ (t² + 1)
cos 2θ= (1 - t²)/ (t² + 1)
-Sendo tg θ= sen θ/cos θ, t= tg θ e tg² θ + 1= sec² θ= (1/ cos² θ), teremos:
cos 2θ= (1 - tg² θ)/ (tg² θ + 1)
cos 2θ= (1 - (sen θ/cos θ)²)/ (tg² θ + 1)
cos 2θ= ((cos² θ - sen² θ)/cos² θ)/(1/ cos² θ)
cos 2θ= ((cos² θ - sen² θ)/cos² θ) • cos² θ
cos 2θ= (cos² θ - sen² θ)
A partir do teorema fundamental da trigonometria, sen² θ + cos² θ =1, temos que:
cos² θ =1 - sen² θ
Substituindo na fórmula do arco duplo, temos
cos 2θ= (1 - 2sen² θ)
De forma análoga, encontramos:
sen² θ =1 - cos² θ
Substituindo na fórmula do arco duplo, temos:
cos 2θ= (2cos² θ - 1)
Com isso, encontraram-se três fórmulas para o cosseno do arco duplo.
Tangente do arco duplo
tg 2θ= t/(1- a)
Sendo a= (t² + 1)/2, teremos
tg 2θ= t/(1- [(t² + 1)/2])
tg 2θ= t/((2 - t² - 1)/2)
tg 2θ= 2t/(1 - t²)
Substituindo t= tg θ, teremos:
tg 2θ= 2tg θ/(1 - tg² θ)
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