Relações métricas na circuferência

O que são?

 Relações métricas são propriedades matemáticas que possibilitam o cálculo de medidas de figuras geométricas e seus elementos. Visto que esse conceito é válido para qualquer figura geométrica, a circunferência apresenta relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Por meio dessas relações, determinamos os segmentos mencionados.

Cruzamento entre cordas:

 O cruzamento entre duas cordas gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as duas partes de uma corda é igual ao produto das duas medidas.

                                            
Fonte:https://iranmarkus.wordpress.com/2015/10/09/relacoes-metricas-na-circunferencia/

 
AP • PB = CP •  DP               

 Exemplo 1:

                                        

Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-referentes-circunferencia.htm

I) Utilizando a relação entre duas cordas:                                                                                              

6 • x=  24 • 8
6x= 192                                                              
x= 192/6
x= 32

Resposta: x= 32.

 Segmentos secantes que partem de um mesmo ponto: 

 Ao traçarmos dois segmentos secantes em qualquer circunferência, o produto de um segmento pela sua parte externa é igual ao produto do segundo pela sua parte externa.

                     

Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-referentes-circunferencia.htm

RP • RQ= RT • RS                                           

Exemplo 2:
   
                       

                       

Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-referentes-circunferencia.htm  

I) Utilizando a relação entre dois segmentos secantes, temos:                               
x • (x + 42)= 10 • (30 + 10)
x² + 42x= 400
x² + 42x - 400= 0      

II) Aplicando a fórmula resolutiva de uma equação do segundo grau:                                                    
∆=b² - 4ac       
∆=(42)^2 - 4 • 1 • (-400)
∆= 1764 + 1600
∆= 3364 
                          
x=   -42 ± √3364            
           2 • 1
x=   -42 ± 58   
             2
x'=  -42 + 58   = 8
             2             

x"=  -42 - 58   = -50   (não convém) 
             2               

Resposta: Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar apenas o valor x= 8 como resposta.

 Segmento secante e tangente partindo de um mesmo ponto:

Nesta situação, o quadrado do segmento tangente é igual ao produto do segmento secante e sua parte externa em relação a circunferência. 

 
Fonte:https://iranmarkus.wordpress.com/2015/10/09/relacoes-metricas-na-circunferencia/

(PA)^2= PB • PC

Exemplo  3:

                                      

 Fonte:http://nsaulasparticulares.com.br/wp-content/uploads/2014/09/Geometria-Plana-Potencia-de-um-ponto-ou-Relacoes-metricas-na-circunferencia-B.pdf

I) Utilizando a relação métrica entre um segmento secante e outro tangente a uma circunferência, temos:

12^2= (x + 10) • x
144= x² + 10x
-x² - 10x + 144= 0  (-1)
x² + 10x - 144= 0


II) Aplicando a fórmula resolutiva de uma equação do segundo grau:                                                    
∆=b² - 4ac       
∆=(10)^2 - 4 • 1 • (-144)
∆= 100 + 576
∆= 676

x=   -10 ± √676   
            2 • 1

x=   -10 ± 26   
             2

x'=  -10 + 26   = 8
             2

x"=  -10 - 26   = -18 (não convém)
              2

Resposta: Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar como resposta apenas  x= 8 metros.      

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.   

 Referências:

1-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-referentes-circunferencia.htm
2-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-metricas-na-circunferencia-relacao-entre-cordas.htm
3-https://blogdoenem.com.br/relacoes-metricas-no-circulo/
4-https://www.professorferretto.com.br/relacoes-metricas-na-circunferencia/
5-http://www.matematicamuitofacil.com/circulo02.html
6-https://casadamatematica.com.br/as-5-relacoes-metricas-no-circulo/
7-https://ensinodematemtica.blogspot.com/2013/08/relacao-metricas-na-circunferencia.html
8-http://nsaulasparticulares.com.br/wp-content/uploads/2014/09/Geometria-Plana-Potencia-de-um-ponto-ou-Relacoes-metricas-na-circunferencia-B.pdf 
9-https://iranmarkus.wordpress.com/2015/10/09/relacoes-metricas-na-circunferencia/