Tira- Dúvidas:Polígonos

O que são?

São figuras geométricas formadas por linhas fechadas, que por sua vez são constituídas por segmentos de reta que não se cruzam e que estão em um mesmo plano. Eles podem ser classificados em polígonos regulares e irregulares. Esta classificação é dada em função do tamanho dos lados e de seus ângulos. Polígonos regulares possuem ângulos e lados congruentes, enquanto os polígonos irregulares apresenta estas medidas com valores distintos.
Além disso, estas figuras podem ser convexas e não convexas. Se os ângulos que formam o polígono forem menores que 180 graus, o polígono será regular. Caso os ângulos sejam maiores que 180 graus, o polígono será não convexo.

Fonte:https://www.estudopratico.com.br/poligonos/

Elementos dos polígonos.

Vértices: Ponto onde dois segmentos do polígono se encontram

Ângulo interno: ângulo formado por dois segmentos consecutivos de um polígono. Para obter a soma dos ângulos internos de um polígono, basta aplicar a seguinte expressão:

Si=(n-2) • 180
n= número de lados do polígono
Si= Soma dos ângulos internos

Qual a soma dos ângulos internos do eneágono?
Sabendo que o eneágono possui nove lados (n=9), podemos obter a soma dos ângulos internos a partir da fórmula acima

Si= (9-2) • 180= 7 • 180= 1260°

Também é possível obter o valor de cada ângulo interno do polígono a partir da seguinte expressão:

Âi= Si
n
Onde
Âi= ângulo interno
n= número de lados do polígono
Si= Soma dos ângulos internos

Qual o valor do ângulo interno do eneágono?

Âi= Si
n

Âi= 1260°

9
Âi= 140°

Ângulo externo: ângulo formado por um lado e do prologamento do lado sucessivo a ele. Importante mencionar que o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno, ou seja a soma destes dois ângulos é igual a 180 graus.
A soma de todos os ângulos externos de um polígono é igual a 360°.
O ângulo externo pode ser calculado pela seguinte expressão:

Âe = 360º
n

Onde
Âe= ângulo externo
n= número de lados do polígono

Exemplo: Determine o ângulo externo do eneágono
Sabendo que o eneágono tem 9 lados (n=9) o ângulo externo deste polígono é:

Âe= 360º= 360º = 40º
n 9

Lado: Segmentos de reta que unem dois vértices consecutivos.

Diagonal: Segmento que liga dois vértices não consecutivos de um polígono. O número de diagonais de um polígono depende do seu número de lados a partir da seguinte expressão:

d= n (n-3)
2
d= número de diagonais
n=número de lados do polígono

Exemplo 1: Determine o número de diagonais de um decágono
Sabendo que o decágono tem 10 lados (n=10), podemos concluir que o número de diagonais deste polígono é:

d= 10•(10-3)/2 = (10•7)/2 = 70/2 =35

Exemplo 2: Determine o número de lados de um polígono com 90 diagonais
Sabendo a relação entre o número de diagonais e lados de um polígono, obtemos a seguinte equação.

n(n-3) =90
2
Multiplicando as duas equações por dois

( • 2) n(n-3) =90 ( • 2)
2

n(n-3)= 180
n² - 3n= 180
n² - 3n -180= 0

Visto que a equação desenvolvida é uma equação completa do segundo grau temos os seguintes coeficientes.
a=1
b= -3
c= -180

Dado os coeficientes, será necessário aplicar a fórmula de Bhaskara para a resolução da equação.
∆=b² - 4ac
∆= (-3)² - 4 • 1 • (-180)
∆=9 + 720
∆=729

x= -b ± √∆
2a

x=-(-3) ± √729
2 • 1

x= 3 ± 27
2

x'= 3 + 27= 30 =15
2 2

x''= 3 - 27 = -24= -12
2 2

Resposta: Como não existe polígonos com número de lados negativo, este polígono possui 15 lados.
Observação: o termo n-3 indica o número de diagonais que partem de cada vértice do polígono.

Nomenclatura dos polígonos com:

3 lados- triângulo

4 lados- quadrilátero

5 lados- pentágono

6 lados- hexágono

7 lados- heptágono

8 lados- octógono

9 lados- eneágono

10 lados-decágono

11 lados- undecágono

12 lados- dodecágono

15 lados-Pentadecágono

20 lados- icoságono

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Calcule o número de diagonais de um polígono de 15 lados.

Questão 2) A soma dos ângulos internos de um polígono é 900 graus. Qual é o polígono?

Questão 3) Em um polígono, o número de diagonais é igual ao quádruplo do número de lados. Quantos lados e diagonais este polígono possui?

Questão 4) Um polígono que possui 170 diagonais é formado por quantos lados?

Questão 5) A soma dos ângulos internos de um polígono de um polígono convexo é igual a 1080. Calcule o número de diagonais deste polígono.

Resoluções:

Questão 1)

I) Sabendo que o polígono possui 15 lados (n=15), podemos concluir que o número de diagonais deste polígono é:

d= n(n-3)/2 = 15•(15 -3)/2 = (15•12)/2 =180/2 = 90

Resposta: O polígono de 15 lados possui noventa diagonais

Questão 2)
I) Sabendo o valor da soma dos ângulos internos do polígono e a sua relação com o número de lados de um polígono. Poderemos determinar o número de lados deste polígono a partir do seguinte cálculo

Si=(n-2) • 180º

(n-2) • 180= 900º

n-2= 900º
180º

n-2= 5

n= 5 + 2

n=7 lados (heptágono)

Resposta: Heptágono.

Questão 3) Sabendo que o número de diagonais é igual ao quádruplo do número de lados do polígono(d=4n) e a relação entre o número de lados e diagonais de um polígono temos que:

I) d= 4n

II) n (n - 3) = 4n
2
III) Multiplicando ambas as equações por dois temos que:

(•2) n(n - 3) = 4n (• 2)
2

n(n-3)=8n

n² - 3n=8n
n² - 3n - 8n=0
n² - 11n= 0
IV) Visto que a equação desenvolvida é uma equação incompleta do segundo grau temos os seguintes coeficientes.
a= 1
b= -11
c= 0

V) Uma das soluções da equação é:
n'=0

Mas ela não nos interessa porque não existe um polígono com 0 lados

VI) O número de lados do polígono se encontra segunda solução da equação. Ele é dado por:

n''= - b/a =- (-11)/1= 11

n''=11

VII) Como a questão também pede o número de diagonais do polígono e sabemos que o polígono possui oito lados, o seu número de diagonais será igual a:

d= n(n - 3)/2 = (11• (11- 3))/2 = (11• 8)/2 = 88/2 = 44


Resposta: O polígono possui 11 lados e 44 diagonais.

Questão 4)

Sabendo a relação entre o número de diagonais e lados de um polígono, obtemos a seguinte equação.

   n(n-3) =710
2
Multiplicando as duas equações por dois

( • 2) n(n-3) =170 ( • 2)
2

n(n-3)= 340
n² - 3n= 340
n² - 3n -340= 0

Visto que a equação desenvolvida é uma equação completa do segundo grau temos os seguintes coeficientes.
a=1
b= -3
c= -340

Dado os coeficientes, será necessário aplicar a fórmula de Bhaskara para a resolução da equação.
∆=b² - 4ac
∆= (-3)² - 4 • 1 • (-340)
∆=9 + 1360
∆=1369

x= -b ± √∆
2a

x=-(-3) ± √1369
2 • 1

x= 3 ± 37
2

x'= 3 + 37= 40 =20
2 2

x''= 3 - 37 = -34= -17
2 2

Resposta: Como não existe número de lados negativo, este polígono possui 20 lados.

Questão 5)
I) Sabendo o valor da soma dos ângulos internos do polígono e a sua relação com o número de lados de um polígono. Poderemos determinar o número de lados deste polígono a partir do seguinte cálculo

Si=(n-2) • 180º

(n-2) • 180= 1080º

n-2= 1080º
180º

n-2= 6

n= 6 + 2

n=8 lados (octógono)

II) Agora que o número de lados do polígono é conhecido, podemos determinar o que a questão pede, o seu número de diagonais.

d= n (n - 3)/2= 8 • (8 - 3)/2= (8 • 5)/2 = 40/2 = 20

Resposta: O número de diagonais deste polígono é igual a 20.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Observação:

A resolução de alguns problemas envolveu o uso da equação do segundo grau e da fórmula de Bhaskara. Quem não entendeu estes conteúdos, basta procurar a postagem que fiz sobre estes assuntos no seguinte link: https://exatastasparatodos.blogspot.com/2018/11/tira-duvidasequacao-do-segundo-grau.html
Novamente, espero ter ajudado alguém.