Proporções e suas propriedades

O que é uma proporção?

Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Importante lembrar que uma razão é a divisão de dois números a e b, onde b ≠ 0 e pode ser escrita como a/b. Além destas
Observe os exemplos:
*Exemplo 1:

 3  =  15 
 5      25 

 Este é um exemplo de proporção, pois 3/5= 15/25.            
  
 
*Exemplo 2:

 2  =   8  
 3      12

 Este é um exemplo de proporção, pois 2/3= 8/12.   

Propriedades das proporções:

* Considerando que os quatro números a, b, c, d, formam ordenadamente uma proporção, temos : 
a)  Propriedade fundamental das proporções:          
      a  = c 
      b     d

a • d= b • c    

*O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Exemplo:Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?                                      

I) Para resolver este problema, estabelecemos a seguinte relação:                                         
600 ------- 100
  x  --------- 25 

 600  =  100  
   x         25

 600  = 4
   x 

4x = 600
x = 600  
        4
x= 150 pães

Resposta: Podem ser feitos 150 pães.


b) Primeira propriedade:            
     a  = c 
     b     d 
    a + b  =   c + d  
       b             d       

* Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou segundo) termo, assim como a soma dos últimos está para o terceiro (ou quarto) termo. 

Exemplo: Sabendo que a + b= 55, determine a e  b na proporção  a/b= 4/7                                                                                                                                                        
 I) Pela primeira propriedade da proporção, temos:

  a + b  =   4 + 7  =>    55  =  11  
     b             7               b        7

11b= 55 • 7
11b= 385
b= 385                       
      11
b= 35     
  
II) Sendo b=35, o valor será
a + b= 55 => a + 35= 55
a= 55 - 35
a= 20 

Resposta: a= 20; b= 35. 
                                                           
c) Segunda propriedade:
      a  = c       
      b     d

 a - b = c - d  
   b          d

* Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou segundo) termo, assim como a diferença dos últimos está para o terceiro (ou quarto) termo. 

Sabendo que  x - y= 18, determine x e y na proporção  x/y= 5/2                                                                                                                                                             
 I) Pela segunda propriedade da proporção, temos:

  x - y  =   5 - 2  =>    18  =  3  
     y           2               y        2

3y= 18 • 2
3y= 36
y= 36                       
      3
 y= 12   
  
Sendo y= 12, o valor será
x - y= 18 => x - 12= 18
x= 18 + 12
x= 30 

Resposta: x= 30, y= 12.                                                                                               

d) Terceira propriedade
    a  = c       
    b     d

 a + c =  c   =  a 
 b + d    d        b

* Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.           

d)  Quarta propriedade
    a  = c       
    b     d

 a - c =  c  =  a 
 b - d     d      b

                              
*  Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.     

Exemplo: Sabendo que a - b= -24, determine a e  b na proporção  a/5= b/7                                  
                                                                                                         
I)  Pela quarta propriedade da proporção, temos:

   a  = b  =>   a - b   =   (-24)  = 12
 5     7         5 - 7          (-2)

  a  = 12
  5

a= 12 • 5
a= 60

  b  = 12  
  7 

b= 12 • 7
b= 84

Resposta: a= 60, b= 84

e) Quinta propriedade:                             
       a  = c      
       b     d

 (c)^2 = (a)^2 = a • c                                                      
 (d)^2    (b)^2    b • d                       

*Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.  

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.                                                       

Referências:    

1-https://www.somatematica.com.br/fundam/propor6.php 
2-https://www.somatematica.com.br/soexercicios/proporcoes.php    
3-https://www.somatematica.com.br/fundam/propor7.php
4-https://www.somatematica.com.br/fundam/propor2.php            
5-https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/
6-https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm    
7-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao.htm
8-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-proporcao.htm      
9-https://escolakids.uol.com.br/matematica/propriedade-fundamental-das-proporcoes.htm
10-https://www.colegioweb.com.br/razoes-e-proporcoes/propriedades-das-proporcoes.html                                                                                                                                                                                                                                                                            

Trigonometria-relações fundamentais

 O que são?

As relações matemáticas entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são conhecidas como relações trigonométricas. Conheça as relações fundamentais:

sen² (x) + cos² (x)= 1
tg (x)= sen (x)/ cos (x)
sec (x)= 1/cos (x)
cossec (x)= 1/ sen (x)
cotg (x)=  cos (x)/sen (x)

Estas relações são ditas fundamentais porque nos permite determinar outras razões trigonométricas a partir de uma razão já conhecida. Para que tudo se torne mais claro, utilizaremos o seguinte exemplo:

Exemplo: Considere que sen (x)= 1/3, com π/2 < x < π, determine o valor de cotg (x).
I) Visto que já temos o valor de sen (x), utilizaremos a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos (x).

 sen² (x) + cos² (x)= 1
 (1/3)^2 + cos² (x)= 1
 1/9 + cos² (x)= 1
 cos² (x)= 1 - 1/9
 cos² (x)= 8/9
cos (x)= √8/9
cos (x)=2√2/3
cos (x)=  2√2 
                 3

II) Sabendo que cotg (x)= cos (x)/sen (x),  temos:
cotg (x)=   cos (x) =   2√2 
                  sen (x)        3     
                                     1   
                                     3
cotg (x)=    2√2  • 3
                     3

cotg (x)= 2√2

Resposta:cotg (x)= 2√2

Aviso:

Quem estiver lendo esta postagem no computador, verá que ela teve problemas no alinhamento das frações com os denominadores. Este problema não existe para os que estão lendo esse artigo no celular, por isso, sugiro aos leitores que leiam esse artigo somente pelo celular.   

 Relações decorrentes:

Elas são assim conhecidas por serem desenvolvidas a partir das relações fundamentais. Tais relações também são muito importantes para a trigonometria. Vejamos como determiná-las:
                                             

*Primeira relação decorrente:
Considere a relação sen² (x) + cos² (x)= 1.Vejamos o que acontece se dividirmos tudo por
cos² (x).

sen² (x) + cos² (x)= 1

sen² (x) + cos² (x)= 1
          cos² (x)

sen² (x)   +  cos² (x) =       1       
cos² (x)        cos² (x)    cos² (x)             

Com isso, temos:

tg² (x) + 1= sec² (x)

*Segunda relação decorrente:
Considere a relação sen² (x) + cos² (x)= 1.Vejamos o que acontece se dividirmos tudo por
sen² (x).

sen² (x) + cos² (x)= 1

sen² (x) + cos² (x)= 1
          sen² (x)

sen² (x)   +  cos² (x) =       1       
sen² (x)        sen² (x)    sen² (x)         

Com isso, temos:

 1 + cotg² (x)= cossec² (x)
               ou
cotg² (x)= cossec² (x) - 1

Exercícios:

Questão 1)  (Ufscar) Sendo
sen (a) + cos (a)= 1/5, determine sen (a) e cos (a)

Questão 2) (Vunesp)  A expressão  cos^2 (θ)/1 - sen (θ), com sen (θ)≠ 1, é igual a:
a) sen (θ)
b) sen (θ) + 1
c) tg (θ) • cos (θ) 
d) 1
e) sen (θ)/ sec (θ)

Questão 3) (Câmara FJC - FIP 2009) Se sen (x)= 3/5, com 0 ≤ x ≤ π/2, então o valor de cotg (x) é:
a) 1/2
b) 4/3
c) 4/5
d) 1
e) 3/4

 Questão 4) (Fei) Se cotg (x) + tg (x)= 3, então sen (2x) é igual a:
a) 1/3
b) 3/2
c) 3
d) 2/3
e) Nenhuma das anteriores

Resoluções:

Questão 1)(Ufscar)
I) A partir da equação fundamental da trigonometria e a equação dada, desenvolvemos o seguinte sistema:
{sen² (a) + cos² (a)= 1
{ sen (a) + cos (a)= 1/5= 0,2

II) Isolando cos a na segunda equação e substituindo este termo na primeira, temos:
cos (a)= 0,2 - sen (a)

sen²(a) + cos² (a)= 1
sen² (a) + (0,2 - sen (a))²= 1
sen^2 (a) +0,04 - 0,4sen (a) +sen² (a)= 1
2sen² (a) - 0,4sen (a) + 0,04 - 1= 0
2sen² (a) - 0,4sen (a) - 0,96= 0

(dividindo ambos os membros por 2)

sen² (a) - 0,2sen (a) - 0,48= 0

III) Fazendo sen (a)= x
x² - 0,2x - 0,48= 0

IV) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para resolver esta equação:
∆= b² - 4ac
∆= (-0,2)^2 - 4 • 1 • (-0,48)
∆= 0,4 + 1,92
∆= 1,96

x= -b ± √∆
        2a
x= 0,2 ± √1,96
         2 • 1

x= 0,2 ± 1,4  
           2

x'= (0,2 + 1,4)/2  = 0,8= 4/5  
    

x"= (0,2 - 1,4)/2= -1,2/2= -0,6= -3/5                                           
                                 

V) Retornando a substituição:
sen (a)= 4/5 => cos a= 1/5 -4/5= -3/5
           ou
sen (a)= -3/5=> cos a= 1/5 - (-3/5)= 4/5

Resposta: Sen (a)= 4/5 e cos (a)= -3/5  ou sen (a)= -3/5  e cos (a)= 4/5.

Questão 2) (Vunesp)      
I) Para resolver esta questão, devemos lembrar da relação fundamental da trigonometria que nos garante:

sen² (θ) + cos² (θ)= 1
cos^2 (θ)= 1 - sen^2 (θ)

II) A partir disso, devemos 
uir o valor de cos^2 (x) na expressão cos^2 (θ)/1 - sen (θ)

 cos² (θ)  = 1 - sen² (θ)  
1 - sen (θ)    1 - sen (θ)

III)Temos que concordar que
1 - sen^2 (θ) pode ser escrito como 
1^2 - sen^2 (θ). Com isso, podemos visualizar um produto notável conhecido como "produto da soma pela diferença". De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:

1 - sen² (θ)= (1 + sen (θ)) • (1 - sen (θ))

Substituindo essa igualdade na expressão, temos:

 cos² (θ)  = 1 - sen² (θ)      
1 - sen (θ)   1 - sen (θ)

1 - sen² (θ)  = (1 + sen (θ)) • (1 - sen (θ))
 1 - sen (θ)                 1- sen (θ)

  cos² (θ)   =   1 + sen (θ)
1 - sen (θ)  

Resposta: Item b 

Questão 3) 
I) Visto que já temos o valor de sen (x), utilizaremos a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos (x).

 sen² (x) + cos² (x)= 1
 (3/5)^2 + cos² (x)= 1
(0,6)^2 + cos² (x)= 1
 0,36 + cos² (x)= 1
cos² (x)= 1 - 0,36
cos² (x)= 0,64
cos (x)= √0,64
cos (x)= 0,8= 4/5

II) Sabendo que cotg (x)= cos (x)/sen (x),  temos:
cotg (x)=   cos (x) =   4  
                  sen (x)      5       
                                   3      
                                   5
cotg (x)=  4    •   5  
                 5        3

cotg (x)= 4/3 

Resposta:Item b 

Questão 4)
I) Lembrando-se de duas importantes relações trigonométricas 
(tg (x)= sen (x)/cos (x)) e
(cotg (x)= cos (x)/sen (x)), temos:

cotg (x) + tg (x)= 3

  cos (x)   + sen (x)  = 3
 sen (x)      cos (x)

Reduzindo toda a equação temos:

cos² (x) + sen² (x)= 3sen (x) • cos (x)                     sen (x) • cos (x)

cos² (x) + sen² (x)= 3sen (x) • cos (x) 

II) Utilizando a relação fundamental da trigonometria.

1= 3 • sen (x) • cos (x) 

sen (x) • cos (x) =  1/3

III) Lembrando-se de que 
sen (2x)=  2 • sen (x) • cos (x), multiplicaremos ambos os membros por 2.

(sen (x) • cos (x) =  1/3) •  2
2 •sen (x) • cos (x)= 2/3
sen (2x)= 2/3

Resposta: Item d 

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado. 

Referências:

1-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/relacoes-trigonometricas-fundamentais.htm
2-https://alunosonline.uol.com.br/matematica/funcoes-relacoes-fundamentais-trigonometria.html
3-https://sabermatematica.com.br/exercicios-resolvidos-equacoes-trigonometricas.html
4-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/393/matematica_trigonometria_equacoes_trigonometricas.pdf
5-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-relacoes-trigonometricas-fundamentais.htm