Equações biquadradas

O que é?

Equações biquadradas são equações quárticas (de quarto grau) incompletas com a seguinte lei de formação:
ax⁴ + bx² + c=0, com a≠0. Para resolvê - las, devemos transformá-las em uma equação do segundo grau substituindo sua variável.
Importante ressaltar que os expoentes destas equações são sempre pares. Para facilitar a compreensão deste conteúdo, utilizaremos um exemplo.

Exemplo 1) Resolva a equação
x⁴ - 5x²+ 4=0
I) Primeiramente, devemos substituir x^2 por qualquer letra, para que a equação se torne quadrática.

y=x²

x⁴ - 5x² + 4=0 => y² - 5y + 4=0

II) Agora que a equação se tornou quadrática, basta aplicar a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de y:

y² - 5y + 4=0

Coeficientes da equação
a=1
b= -5
c= 4

∆=b² - 4ac
∆= (-5)² - 4 • 1 • 4
∆=25 - 16
∆= 9

y= -b ± √∆
2a

y=-(-5) ± √9
2 • 1

y= 5 ± 3
2

y'= 5 + 3
2

y'= 8
2

y'= 4

y"= 5 - 3
2

y"= 2
2

y"= 1

II) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= ± √y

x'= ± √1
x'= ± 1

x''= ± √4
x"= ± 2

Resposta: V= {(-1, -2, 1, 2)}

Resoluções de equações do tipo

ax^2n + bx^n + c=0

O método de resolução destas equações é o mesmo para equações biquadradas, devemos substituir a variável x^n por y e tornar a equação quadrática de modo que seja escrita na seguinte forma:

ay^2 + by + c=0.

* Observação: x^n= y => x= n√y

Exemplo) Resolva a equação
x^6 + 117 x^3 - 1000= 0

I) Substituindo x^3 por y, desenvolvemos a seguinte equação:

x^6 + 117 x^3 - 1000= 0 => y^2 + 117y - 1000=0

II) Agora aplicaremos a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de y

y² + 117y - 1000=0

a=1

b=117

c= -1000

∆=b² - 4ac

∆=117^2 - 4 • 1 • (-1000)

∆=13869 + 4000

∆=17869

y= -b ± √∆

y= -(117) ± √17869

2 • 1
y= -117 ± 133
2

y'=133- 117
2

y'= 16
2

y'= 8

y"= -117 - 133
2

y"=- 250
2

y"= -125

II) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= 3√y

x'= 3√8

x'=2

x''= 3√-125
x''= -5

Resposta: V={(-5, 2)}

Dominando o conhecimento:

Questão 1) (FACESP) O conjunto solução, no campo real, da equação
z⁴ - 13z² + 36= 0 é:

a)S={-3, -2, 0, 2, 3}

b)S={-3, -2 ,2, 3}

c)S={-2, -3}

d)S={0, 2, 3}

e)S= {2, 3}

Questão 2) (FAAP - SP) Em IR, resolver x⁴ - 3x² - 4= 0

Questão 3) (Cesgranrio) O produto das raízes positivas da equação
x⁴ - 11x² + 18= 0
a) 2√3
b) 3√2
c) 4√3
d) 4√2
e) 5√3

Questão 4) Calcule as raízes da seguinte equação 4x⁴- 9x² + 2=0

Questão 5) Determine o valor de x para x^10 - 33x^5 + 32=0

Questão 6) Resolva a equação 3x^2 • (x² – 5) = 5 – x².

Resoluções:

Questão 1)

I) Primeiramente, devemos substituir z^2 por qualquer letra, para que a equação se torne quadrática.

z²= x

z⁴ - 13z² + 36= 0 => x²- 13x + 36= 0

II) Agora que a equação se tornou quadrática, basta aplicar a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de x:

x² - 13x + 36= 0

Coeficientes da equação:

a=1

b= -13

c= 36

∆=b² - 4ac

∆= (-13)² - 4 • 1 • 36

∆= 169 - 144

∆= 25

x= -b ± √∆

x= -(-13) ± √25

2 • 1

x= 13 ± 5

x'= 13 + 5

x'= 18

x'= 9

x"= 13 - 5

x"= 8

x"= 4

III) Agora devemos obter os valores de z, que correspondem as raízes da equação.

z= ±√x

z'= ±√9

z'= ± 3

z''= ±√4

z"= ± 2

Reposta:Item b. S={(-3, -2, 2, 3)}

Questão 2)

I) Primeiramente, devemos substituir x^2, para que possamos reescrever a equação.

x²= y

x⁴ - 3x² - 4= 0 => y² - 3y - 4= 0

II) Agora que a equação se tornou quadrática, basta aplicar a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de y:

y² - 3y - 4= 0

Coeficientes da equação:

a=1

b= -3

c= -4

∆=b² - 4ac

∆= (-3)² - 4 • 1 • (-4)

∆= 9 + 16

∆= 25

y= -b ± √∆

y= -(-3) ± √25

2 • 1

y= 3 ± 5

y'= 3 + 5

y'= 8

y'= 4

y"= 3 - 5

y"= - 2

y"= -1

III) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= ±√x

x'= ±√4

x'= ± 2

x''= ±√-1 => não existe nos números reais

Resposta: S={(-2, 2)}

Questão 3)

I) Primeiramente, devemos substituir x², para que possamos reescrever a equação.

x²= y

x⁴ - 11x² + 18= 0 => y² - 11y + 18= 0

II) Agora que a equação se tornou quadrática, basta aplicar a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de y:

y² - 11y + 18= 0

Coeficientes da equação:

a=1

b= -11

c= 18

∆=b² - 4ac

∆= (-11)² - 4 • 1 • 18

∆= 121 - 72

∆= 49

y= -b ± √∆

y= -(-11) ± √49

2 • 1

y= 11 ± 7

y'= 11 + 7

y'= 18

y'= 9

y"= 11 - 7

y"= 4

y"= 2

III) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= ±√y

x'= ±√9

x'= ± 3

x''= ±√2

IV) Como a questão exige o produto das duas raízes, iremos calculá-lo:

x' • x"= 3 • √2= 3√2

Reposta: Item b. 3√2

Questão 4)

* Como calcular as raízes da equação significa encontrar os valores que a satisfazem, iremos solucionar para encontrarmos as suas raízes.

I) Primeiramente, devemos substituir x², para que possamos reescrever a equação.

x²= y

4x⁴ - 9x² + 2=0 => 4y² - 9y + 2=0

II) Agora que a equação se tornou quadrática, basta aplicar a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de y:

4y² - 9y + 2=0

Coeficientes da equação:

a=4

b= -9

c= 2

∆=b² - 4ac

∆= (-9)² - 4 • 4 • 2

∆= 81 - 32

∆= 49

y= -b ± √∆

y= -(-9) ± √49

2 • 4

y= 9 ± 7

y'= 9 + 7

y'= 16

y'= 2

y"= 9 - 7

y"= 2

y"= 1

III) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= ±√x

x'= ±√1/4

x'= ± 1/2

x''= ±√2

Resposta:S={ x ∈ IR| x= ± 1/2 ou x= ±√2 }

Questão 5)

I) Primeiramente, devemos substituir x^2, para que possamos reescrever a equação.

x^5= y

x^10 - 33x^5 + 32=0 => y^2 - 33y + 32=0

II) Agora que a equação se tornou quadrática, basta aplicar a fórmula de Bhaskara para obtermos os valores de y:

y^2 - 33y + 32=0

Coeficientes da equação:

a=1

b= -33

c= 32

∆=b^2 - 4ac

∆= (-33)^2 - 4 • 1 • 32

∆= 1089 - 128

∆= 961

y= -b ± √∆

y= -(-33) ± √961

2 • 1

y= 33 ± 31

y'= 33 + 31

y'= 64

y'= 32

y"= 33 - 31

y"= 2

y"= 1

III) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= 5√y

x'= 5√32

x'= 2

x''= 5√1
x"=1

Resposta: S={2, 1}.

Questão 6)
I) Primeiramente, desenvolveremos ambos os membros da equação.

3x² • (x² – 5) = 5 – x ²
3x⁴ - 15x²= 5 - x²
3x⁴ - 15x² + x² - 5= 0
3x⁴ - 14x² - 5= 0

II) Agora, devemos substituir x^2, para que possamos reescrever a equação.

y=x²
3x⁴ - 14x² - 5= 0
3(x²)²- 14x² - 5= 0
3y² - 14y - 5= 0

Coeficientes da equação:

a=3

b= -14

c= -5

∆=b² - 4ac

∆= (-14)² - 4 • 3 •(-5)

∆= 196 + 60

∆= 256

y= -b ± √∆
2a

y= -(-14) ± √256
2 • 3
y= 14 ± 16

6
y'= (14 + 16)/6= 5
y"= (14 - 16)/6= -2/6= -1/3

III) Agora devemos obter os valores de x, que correspondem as raízes da equação.

x= ±√y

x'= ±√5

x''= ±√-1/3 ∉ IR (não existe raiz quadrada de números negativos nos reais!)

Resposta: S={±√5}

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.