Arco metade do seno, cosseno e tangente- demonstração geométrica

Introdução:

No estudo da trigonometria, as fórmulas de adição e subtração de arcos são essenciais, visto que facilitam o cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos. Nesse mesmo contexto, existem as fórmulas de arco metade. Nesse artigo, será apresentada uma maneira de chegar nessas fórmulas.

Demonstração:

I) Considere o triângulo isósceles ABC na figura abaixo:

Pela Lei dos Cossenos, teremos:

L²= x² + x² - 2 • x• x• cos (α)

L²= 2x² - 2x² • cos (α)

L²= 2x² • (1- cos (α)) (eq.i)

II) Traçada a altura do triângulo como na figura abaixo, teremos por trigonometria nos triângulos ABH e AHC:

sen (α/2)= BH/ AB= HC/AC= (L/2)/x= L/2x => L= 2x • sen (α/2) 

Elevando os termos ao quadrado

L²= 4x² • sen² (α/2)  (eq.ii)

III) Visto que L²=L², teremos eq.ii=eq.i. Assim:

L²=L² => 4x² • sen² (α/2)= 2x² • (1- cos (α))

Simplificando a expressão:

2 • sen² (α/2)= (1- cos (α))

sen (α/2)= ±√[(1- cos (α))/2]

IV) Para obtermos cos (α/2), substituiremos sen² (α/2)= 1 - cos² (α/2) na expressão 

2 • sen² (α/2)= (1 - cos (α)). Com isso, teremos:

2 • sen² (α/2)= (1- cos (α))

2 • (1 - cos² (α/2))= (1- cos (α))

2 - 2cos² (α/2)= 1 - cos (α) 

2 - 1  + cos (α) = 2cos² (α/2)

1 + cos (α) = 2cos² (α/2) => cos (α/2)= ±√[(1 + cos (α))/2]

cos (α/2)= ±√[(1 + cos (α))/2]

V) Para obtermos tg (α/2), basta dividirmos sen (α/2) por cos (α/2):

tg (α/2)=[sen (α/2)]/[cos (α/2)]

tg (α/2)=±√[(1- cos (α))/2]/±√[(1 + cos (α))/2]

tg (α/2)=±√[(1 - cos (α))/(1 + cos (α))]

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.  Desejo também a todos os leitores um ano de 2021 cheio de felicidades e saúde.

Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.