Introdução:
Em geometria plana, o Teorema de Stewart é uma relação entre os lados de um triângulo e uma ceviana dada. Tem esse nome em homenagem ao matemático escocês Mattew Stewart, responsável por publicar o teorema no ano de 1746.
Teorema:
Seja a, b, c os lados do triângulo ABC da figura abaixo. Sendo p uma ceviana divide o lado a em dois segmentos de medidas m e n, teremos a seguinte relação:
b² • n + c² • m= a • (p² + m • n)
Demonstração:
Aplicando a lei dos cossenos nos dois triângulos formados pelo segmento CD na figura abaixo, teremos:
b²= p² + m² -2pm cos θ (eq.I)
c²=p² + n² - 2pn cos (180° - θ) (eq.II)
Lembrando que cos (180° - θ)= -cos θ, teremos em eq.II:
c²=p² + n² + 2pn cos θ
Isolando cos θ em ambas as equações, teremos:
b²= p² + m² -2pm • cos θ =>cos θ= (p² + m² - b²)/2pm
c²=p² + n² + 2pn • cos θ => cos θ= (c² - p² - n²)/2pn
Visto que as duas expressões representam cos θ, teremos:
(p² + m² - b²)/2pm= (c² - p² - n²)/2pn
Simplificando:
(p² + m² - b²)/m=(c² - p² - n²)/n
n • (p² + m² - b²)= m • (c² - p² - n²)
n • p² + n • m² - n • b²= m •c² - m • p² - m • n²
n• p² + n • m² + m • p² + m • n²= m • c² + b² • n
p² • (m + n) + mn • (m + n)= m • c² + b² • n
Pela figura, a=m +n. Substituindo
p² • a+ mn • a= m • c² + b² • n
a • (p² + mn)= c² • m + b² • n
c² • m + b² • n= a • (p² + mn) (c.q.d)
Este teorema pode também ser provado pelo Teorema de Pitágoras.
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.
