a) 5/2 cm²
b) 12 cm²
c) 15 cm²
d) 2√5 cm²
e) 25/2 cm²
Resolução:
I) Primeiramente, sabemos que:
Â= arccos 3/5 => cos Â= 3/5
C = arcsen 2/√5 => sen C= 2/√5
* Agora, aplicaremos a relação fundamental da trigonometria para descobrir sen  e cos C. Ambos serão importantes para a resolução da questão posteriormente.
-sen Â
sen² Â + cos² Â= 1
sen² Â= 1 - cos² Â
sen² Â= 1 - (3/5)²
sen² Â= 1 - 9/25
sen² Â= (25 - 9)/25
sen² Â= 16/25
sen Â= √(16/25)
sen Â= 4/5
- cos C
sen² C + cos² C= 1
cos² C= 1 - sen² C
cos² C= 1 - (2/√5)²
cos² C= 1 - 4/5
cos² C= (5 - 4)/5
cos² C= 1/5
cos C= √(1/5)
cos C= 1/√5
II) Aplicando a Lei dos Senos:
5 = c
sen  sen C
c= 5 • sen C = 5 • 1 • sen C
sen  sen Â
c= 5 • 5 • 2 = 25
4 √5 2√5
Racionalizando, teremos:
c= 5√5 cm
2
III) A área deste triângulo é dada por:
A= 1 • a • c • sen (π - A -C)
2
Por consequência da simetria do círculo trigonométrico, sen (π - A -C)= sen (A + C).
A= 1 • a • c • sen (A + C)
2
A= 1 • 5 • 5√5 • sen (A + C)
2 2
A= 25√5 • sen (A + C)
4
sen (A + C)= sen A • cos C + sen C • cos A
sen (A + C)= 4 • 1 + 2 • 3 = 10
5 √5 √5 5 5√5
sen (A + C)= 2
√5
A= 25√5 • 2
4 √5
A= 25 cm²
2
A= 25/2 cm²
Resposta: Item e.
Desafio 2-(ITA) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:
a) (1 + √5)/2
b)(-1 + √5)/2
c)√(-1 + √5)/2
d)(-1 + ³√5)/2
e)√[(1 + √5)/2]
I) De acordo com a questão, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. Tendo conhecimento disso e da aplicação do Teorema de Pitágoras em um cone, teremos o seguinte desenvolvimento:
- Teorema de Pitágoras em um cone circular reto:
g²= h² + R² => h² = g² - R²
h² = g² - R² (equação 1)
-Relação mencionada na questão
h= √(R • g)
- Elevando os membros desta igualdade ao quadrado, teremos:
h²=[√(R • g)]²
h²= R • g ( Equação 2)
- Substituindo a equação 1 na equação 2, teremos a seguinte igualdade:
h²= R • g
g² - R²= Rg
g² - Rg - R²= 0
II) Agora, resolveremos esta equação do segundo grau de modo a determinar o valor da geratriz do cone em função do raio de sua base.
g² - Rg - R²= 0
∆=b² - 4ac
∆= (-R)² - 4 • 1 • (-R²)
∆=R² + 4R²
∆= 5R²
g= (-b ± √∆)/2a
g= (R ± √5R²)/2
g= R[(1 ± √5)/2]
g'=R[(1 + √5)/2]
g"= R[(1 - √5)/2] (não serve, pois a geratriz não pode ter medida negativa)
III) Tendo em vista que a questão pede a razão entre a altura e o raio do cone, a resposta será:
(h/R)= [√(Rg)/R]
- Elevando os membros desta igualdade ao quadrado, teremos:
(h/R)²=[√(Rg)/R]²
(h/R)²= Rg/R²
(h/R)²= g/R
-Como a relação geratriz-raio já nos é conhecida, nós iremos utilizá-la para descobrir a resposta:
(h/R)²= R[(1 + √5)/2]/R
(h/R)²= [(1 + √5)/2]
(h/R)= √[(1 + √5)/2]
Resposta:(h/R)= Item e.
Desafio 3-(AFA) Se as dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto retangular são dadas pelas raízes da equação 24x³ − 26x² + 9x − 1 = 0, então o comprimento da diagonal é igual a:
a) 7/12 cm
b) 9/24 cm
c) 24/12 cm
d)√61/12 cm
e) 73/12 cm
Resolução:
I) Primeiramente, vamos determinar quais são os coeficientes desta equação:
24x³ − 26x² + 9x − 1 = 0
coeficientes:
a= 24
b= -26
c= 9
d= -1
II) Feito isso, iremos utilizar duas relações entre as raízes desta equação cúbica.]
Raízes da equação => r, s, t
* Soma das raízes- primeira relação
r + s + t= -b/a
r + s + t= -(-26)/24
r + s + t= 26/24
r + s + t= 13/12
* Segunda relação
r • s + s • t + r • t= c/a
r • s + s • t + r • t= 9/24
r • s + s • t + r • t= 3/8
III) Sabendo a fórmula da diagonal de um paralelepípedo e as duas relações entre as raízes da equação mencionadas anteriormente, encontraremos a resposta.
-Diagonal do paralelepípedo
d²= r² + s² + t²
* Agora, adicionaremos 2(x' • x" + x" • x''' + x' • x"') nos dois membros da equação para facilitar os cálculos.
d² + 2 (r • s + s • t + r • t)= r² + s² + t² + 2 (r • s + s • t + r • t')
d² + 2 (r • s + s • t + r • t)= (r + s + t)²
d² + 2 • (3/8)= (13/12)²
d² + 3/4= 169/144
* Multiplicando ambos os lados da equação por 144
144 • (d² + 3/4)= (169/144) • 144
144d² + 108= 169
144d²= 169 - 108
144d²= 61
d²= 61/144 => d=√61/12
Resposta: Item d
Referências:
1-http://ganuff.weebly.com/uploads/1/9/2/5/19255685/polinmios_e_relaes_de_girard.pdf
2-https://rumoaoita.com/wp-content/uploads/2017/03/geometria_plana_geometria_plana_no_vestibular_do_ita_ita.pdf
3-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/412/matematica_geometria_espacial_cones_exercicios.pdf
4- http://pir2.forumeiros.com/t52709-afa-2000
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