Teorema de Tales

Construindo o conhecimento:

Tales de Mileto foi um importante filósofo, matemático e astrônomo do período pré-socrático que viveu em meados de 650 A.C. Quando tentou calcular a altura de uma pirâmide (sem uma régua ou uma trena), desenvolveu um teorema no qual afirma que:"Num plano, a interseção entre duas retas paralelas e transversais forma segmentos de reta proporcionais". Veja:

      
Fonte:https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/

Exemplo: Determine o valor de x na figura abaixo.

Pela definição do Teorema de Tales, obtemos:

  (4x + 8)  =  (4x + 20) 

  (4x - 8)             4x

Desenvolvendo a expressão:

4x • (4x + 8)= (4x - 8) • (4x + 20)
16x² + 32x= 16x² + 80x - 32x -160
16x² + 32x= 16x² + 48x - 160
16x² - 16x² + 32x - 48x= -160
-16x= -160 ⇒ x= 10

Resposta: x=10

Aplicações no dia a dia:

Este teorema é muito prático na determinação de medidas através da proporcionalidade. Por isso, ele é utilizado na medição de distâncias inacessíveis e, consequentemente, possui grande aplicabilidade na astronomia e suas questões. Além disso, ele é essencial para problemas que envolvem semelhança de triângulos.

Dominando o conhecimento - exercícios:

Questão 1) (UFSM - 03) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede, em metros:

            

Fonte:https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-teorema-tales.htm

a) 33

b) 38

c) 43

d) 48

e) 53

Questão 2) (FUVEST-SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m?

Fonte:https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm

Questão 3) (CEFET/MG-2014) Considere a figura em que r//s//t

Fonte:https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales-exercicios/

O valor de x é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

Questão 4)(Enem - 2009)- A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16 metros
b) 3,0 metros
c) 5,4 metros
d) 5,6 metros
e) 7,04 metros

Resoluções:

Questão 1) 

I) Considerando x como a medida da barreira e aplicando o teorema de Tales, obteremos:

 (x + 30 + 2) =  56  =  7  
         30            24      3
II) Desenvolvendo esta expressão:
3(x + 32)= 30 • 7
3x + 96= 210
3x= 210 - 96
3x= 114
x= 114/3
x= 38 metros

Resposta: Item b.


Questão 2)
I) Escrevendo as medidas dos lotes como x, y, z e aplicando o Teorema de Tales.
- Medida da rua B= x + y + z= 180 m


  x  =  y  =  z  =     x + y + z     =  180  = 2
 40    30    20     40 + 30 + 20       90

II) A partir do valor desta proporção, descobre-se x, y, z.

  x  = 2 ⇒  x= 80 m
 40

  y  = 2 ⇒  y= 60 m
 30

   z   = 2 ⇒  z= 40 m
  20

Resposta: As medidas da frente dos lotes em relação à rua B são: 80, 60 e 40 metros.

Questão 3)

I) Para encontrar o valor de x, aplicaremos o Teorema de Tales. Com isso, teremos a seguinte proporção:

  (x + 2)  =  (2x + 7)  
       x           (x + 6)

Desenvolvendo com a multiplicação cruzada:

(x + 2) • (x + 6)= x • (2x +7)
x² + 8x + 12= 2x² + 7x
2x² + 7x= x² + 8x + 12
2x² - x² + 7x - 8x - 12= 0
x² - x - 12= 0

II) Resolvendo a equação do segundo grau através da fórmula de Bháskara.
∆=b² - 4ac
∆=(-1)² - 4 • 1 • (-12)
∆= 1 + 48
∆= 49

x=  1 ± √49 
          2
x=  1 ± 7 
         2

x'=  1 + 7  =  8  
          2         2
x'= 4

x"=  1 - 7  = -  6  
           2           2
x"= -3 (não serve, por ser uma medida de segmento)

Resposta: Item b. x= 4

Questão 4)
I) A rampa descrita na questão tem suas medidas representadas na seguinte figura:

Fonte:https://www.infoenem.com.br/garanta-as-melhores-apostilas-para-o-enem-2014/

II) A partir da figura e do Teorema de Tales, obtém-se a seguinte proporção:

  (x + 3,2)  =  2,2  
       3,2          0,8

Desenvolvendo:

0,8 • (x + 3,2)= 3,2 • 2,2
0,8x + 2,56= 7,04
0,8x= 7,04 - 2,56
0,8x= 4,48
x= 4,48/0,8
x= 5,6 metros

Resposta: Item d. x= 5,6 metros.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/

2-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm

3-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm

4-https://www.infoescola.com/matematica/teorema-de-tales/

5-https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-teorema-tales.htm

6-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-teorema-tales.htm
7-https://www.infoenem.com.br/garanta-as-melhores-apostilas-para-o-enem-2014/
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Desafios de matemática 3.0

Desafio 1-(ITA) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo que Â= arccos 3/5 e C = arcsen 2/√5 , então a área do triângulo ABC é igual a:
a) 5/2 cm²
b) 12 cm²
c) 15 cm²
d) 2√5 cm²
e)  25/2 cm²

Resolução:
I) Primeiramente, sabemos que:
Â= arccos 3/5 => cos Â= 3/5
C = arcsen 2/√5 => sen C= 2/√5

* Agora, aplicaremos a relação fundamental da trigonometria para descobrir sen  e cos C. Ambos serão importantes para a resolução da questão posteriormente.
-sen Â
sen² Â + cos² Â= 1
sen² Â= 1 - cos² Â
sen² Â= 1 - (3/5)²
sen² Â= 1 - 9/25
sen² Â= (25 - 9)/25
sen² Â= 16/25
sen Â= √(16/25)
sen Â= 4/5

- cos C
sen² C + cos² C= 1
cos² C= 1 - sen² C
cos² C= 1 - (2/√5)²
cos² C= 1 - 4/5
cos² C= (5 - 4)/5
cos² C= 1/5
cos C= √(1/5)
cos C= 1/√5


II) Aplicando a Lei dos Senos:

      5      =       c      
  sen         sen C

c= 5 • sen C  = 5 •     1      • sen C
        sen               sen Â

c= 5 •  5   •   2  =   25   
            4      √5     2√5

Racionalizando, teremos:
c=   5√5    cm
         2
III) A área deste triângulo é dada por:

A=   1    • a • c • sen (π - A -C)
        2
Por consequência da simetria do círculo trigonométrico, sen (π - A -C)= sen (A + C).

A=   1    • a • c • sen (A + C)
        2

A=   1    • 5 •    5√5    • sen (A + C)
        2                 2

A=    25√5    • sen (A + C)
            4

sen (A + C)= sen A • cos C + sen C • cos A

sen (A + C)=   4   •   1   +    2   •   3  =    10   
                        5      √5       √5       5       5√5
sen (A + C)=   2  
                       √5

A=    25√5    •    2  
            4            √5

A=  25   cm²
        2

A= 25/2 cm²

Resposta: Item e.

Desafio 2-(ITA) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:
a) (1 + √5)/2
b)(-1 + √5)/2
c)√(-1 + √5)/2
d)(-1 +  ³√5)/2
e)√[(1 + √5)/2]

Resolução:
I) De acordo com a questão, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. Tendo conhecimento disso e da aplicação do Teorema de Pitágoras em um cone, teremos o seguinte desenvolvimento:

- Teorema de Pitágoras em um cone circular reto:
g²= h² + R² => h² = g² - R²
h² = g² - R² (equação 1)

-Relação mencionada na questão

h= √(R • g)

- Elevando os membros desta igualdade ao quadrado, teremos:

h²=[√(R • g)]²
h²= R • g ( Equação 2)

- Substituindo a equação 1 na equação 2, teremos a seguinte igualdade:
h²= R • g
g² - R²= Rg
g² - Rg - R²= 0

II) Agora, resolveremos esta equação do segundo grau de modo a determinar o valor da geratriz do cone em função do raio de sua base.
g² - Rg - R²= 0
∆=b² - 4ac
∆= (-R)² - 4 • 1 • (-R²)
∆=R² + 4R²
∆= 5R²

g= (-b ± √∆)/2a
g= (R ± √5R²)/2
g= R[(1 ± √5)/2]
g'=R[(1 + √5)/2]
g"= R[(1 - √5)/2] (não serve, pois a geratriz não pode ter medida negativa)

III) Tendo em vista que a questão pede a razão entre a altura e o raio do cone, a resposta será:

(h/R)= [√(Rg)/R]

- Elevando os membros desta igualdade ao quadrado, teremos:

(h/R)²=[√(Rg)/R]²
(h/R)²= Rg/R²
(h/R)²= g/R
-Como a relação geratriz-raio já nos é conhecida, nós iremos utilizá-la para descobrir a resposta:
(h/R)²= R[(1 + √5)/2]/R
(h/R)²= [(1 + √5)/2]
(h/R)= √[(1 + √5)/2]

Resposta:(h/R)= Item e.

Desafio 3-(AFA) Se as dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto retangular são dadas pelas raízes da equação 24x³ − 26x² + 9x − 1 = 0, então o comprimento da diagonal é igual a:
a) 7/12 cm
b) 9/24 cm
c) 24/12 cm
d)√61/12 cm
e) 73/12 cm

Resolução:
I) Primeiramente, vamos determinar quais são os coeficientes desta equação:
 24x³ − 26x² + 9x − 1 = 0

coeficientes:
a= 24
b= -26
c= 9
d= -1

II) Feito isso, iremos utilizar duas relações entre as raízes desta equação cúbica.]
Raízes da equação => r, s, t
* Soma das raízes- primeira relação

r + s + t= -b/a
r + s + t= -(-26)/24
r + s + t= 26/24
r + s + t= 13/12

* Segunda relação

r • s + s • t + r • t= c/a
r • s + s • t + r • t= 9/24
r • s + s • t + r • t= 3/8

III) Sabendo a fórmula da diagonal de um paralelepípedo e as duas relações entre as raízes da equação mencionadas anteriormente, encontraremos a resposta.

-Diagonal do paralelepípedo
d²= r² + s² + t²

* Agora, adicionaremos 2(x' • x" + x" • x''' + x' • x"') nos dois membros da equação para facilitar os cálculos.

d²  + 2 (r • s + s • t + r • t)= r² + s² + t² + 2 (r • s + s • t + r • t')
d²  + 2 (r • s + s • t + r • t)= (r + s + t)²
d² + 2 • (3/8)= (13/12)²
d² + 3/4= 169/144

* Multiplicando ambos os lados da equação por 144

144 • (d² + 3/4)= (169/144) • 144
144d² + 108= 169
144d²= 169 - 108
144d²= 61
d²= 61/144 => d=√61/12

Resposta: Item d



Referências:
1-http://ganuff.weebly.com/uploads/1/9/2/5/19255685/polinmios_e_relaes_de_girard.pdf
2-https://rumoaoita.com/wp-content/uploads/2017/03/geometria_plana_geometria_plana_no_vestibular_do_ita_ita.pdf
3-http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/412/matematica_geometria_espacial_cones_exercicios.pdf
4- http://pir2.forumeiros.com/t52709-afa-2000