Tira-dúvidas: Sistemas de equação e de equações fracionárias

O que são sistemas de equações?

São um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para solucioná-las é necessário encontrar os valores que satisfaçam as duas equações.

Um sistema de equações do primeiro grau é um sistema cujo o maior expoente das variáveis seja igual a 1.

Para encontrar os valores que que satisfaçam as equações, existem diversos métodos, mas somente serão citados os mais utilizados.

O par ordenado do sistema (x,y) sempre é a resposta do sistema.

Toda equação de primeiro grau em um sistema é escrita na forma: ax+by=c

Método de substituição

É um método no qual se escolhe uma das equações e isola uma das variáveis para substituí-la na outra equação.

Exemplo:

{x+y=60

{5x-y=210

Isolando x na primeira equação temos que:

x+y=60

x=60-y

Substituindo na segunda equação:

5x-y=210
5(60-y)-y=210

300-5y-y=210

-5y-y=210-300

-6y=-90

Multiplicando a equação por (-1)

-6y=-90(-1)

6y=90

y=90

y=15

Agora que o valor de y foi determinado, pode-se substituir o valor de y em uma das equações.

x=60-y

x=60-15

x=45

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (45, 15). V={(45, 15)}

Método de adição:

Consiste na adição das duas equações de modo que a soma de uma das incógnitas se anule, permitindo a determinação da outra. Para que isso seja possível, precisamos multiplicar as equações ou apenas uma delas para que a soma de uma das variáveis seja zero.

Exemplo:

{x+y=20

{3x+4y=72

Multiplicando a primeira equação por (-3) temos que:

{x+y=20 (-3)

{3x+4y=72

Somando as duas equações, determinamos o valor de y

{-3x-3y=-60

{3x+4y=72

y=12

Como determinamos o valor de y, podemos substituí-lo em outra equação para determinar x.

x+y=20

x+12=20

x=20-12

x=8

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (8, 12). V={(8, 12)}

Sistema de equações fracionárias:

Sistema de equações fracionárias é aquele que possui frações algébricas, ou seja, possui variáveis no denominador. Para resolvê-las necessário simplificar as equações fracionárias para depois resolver as equações, pois assim, as operações com o sistema serão fáceis. Pode-se usar qualquer método para resolver as equações fracionárias.

Como o denominador de nenhuma equação pode ser zero, pois nenhum número pode ser dividido pelo mesmo, certas equações apresentarão restrições no conjunto universo de seus denominadores.

Exemplo:

{a+b=7

{ 1 = 1

{b-3 a-2

Simplificando a segunda equação por meio do produto entre elas, já que é uma proporção, temos que:

1 (a-2)= 1 (b-3)

a-2=b-3

a-b= -3 +2

a-b= -1

Com a segunda equação simplificada, o sistema é:

{a+b=7

{a-b=-1

Usando o método de soma, temos que:

{a+b=7

{a-b=-1

2a=6

a=3

Substituindo o valor de a em uma das equações temos que:

a+b=7

3+b=7

b=7-3

b=4

Resposta: a=3; b=4

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Solucione o sistema:

{x+y=4

{2x-3y=3

Questão 2) Solucione o sistema:

{2x =y + 4

{ 3 2

{x+y=48

Questão 3) Solucione o sistema:

{x+y=7

{ 4 =6

{x-2 y

Questão 4) Solucione o sistema
{x + y= 7
{x - y= 5

Questão 5) Na compra de duas cadernetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro cadernetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caderneta e um caderno.

Questão 6) Em um estacionamento, havia carros e motocicletas num total de 43 e 150 rodas. Calcule o número de carros e motos.

Resolução:

Questão 1)

{x+y=4

{2x-3y=3

Isolando x na primeira equação temos que:

x+y=4

x=4-y

Substituindo na segunda equação:

2(4-y)-3y=3

8-2y-3y=3

-5y=3-8

-5y=-5

Multiplicando a equação por (-1)

-5y=-5 (-1)

5y=5

y=5

y=1

Agora que o valor de y foi determinado, pode-se substituir o valor de y em uma das equações.

x=4-y

x=4-1

x=3

Resposta: O Par ordenado que satisfaz o sistema é (3,1).

Questão 2)

{2x =y + 4

{ 3 2

{x+y=48

II)Igualando os denominadores da primeira equação, temos:

4x=3y+24

4x-3y=24

III) {4x-3y=24

{x+y=48

IV) Multiplicando-se a segunda equação por (3):

{4x-3y=24

{x+y=48 (3)

V) Somando-se as duas equações determinaremos x:

{4x-3y=24

{3x+3y= 144

7x=168

x= 168

x=24

VI)Substituindo o valor de x na equação x+y=48, temos:

24+y=48

y=48-24

y=24

Resposta: O par ordenado do siatema é (24, 24).

Questão 3)

{x+y=7

{ 4 =6

{x-2 y

I) A segunda equação será simplificada para facilitar as contas

6(x-2)=4y

6x-12=4y

6x-4y=12

II) Configurando o sistema:

{x+y=7

{6x-4y=12

III) Multiplicando a primeira equação por (4) temos:

{x+y=7 (4)

{6x-4y=12

IV) Somando as duas equações, determinamos x

{4x+4y=28

{6x-4y=12

10x=40

x=40

x=4

V) Substituindo o valor de x na primeira equação do sistema ( x+y=7), obteremos o valor de y.

4+y=7

y=7-4

y=3

Resposta: O Par ordenado que satisfaz o sistema é (4, 3). V={(4, 3)}.

Questão 4)
{x + y= 7
{x - y= 5
I) Determinaremos o valor de x ao somarmos as duas equações.
{x + y= 7
+
{x - y= 5
2x= 12
x= 12
2
x= 6

II) Agora que o valor de x é conhecido, Determinaremos o valor de y substituindo o valor de x na primeira equação:
x + y= 7
* Sendo x= 6
6 + y= 7
y= 7 - 6
y= 1

Resposta: O Par ordenado que satisfaz o sistema é (6,1).

Questão 5)
I) Analisando o problema, desenvolvemos os seguintes sistemas:
{2x + y= 13
{4x + 3y= 32

Onde
x: Preço de uma caderneta
y: Preço de um caderno

II) Agora, determinamos o valor de y na primeira equação para substituí-lo na segunda igualdade:
{2x + y= 13
{4x + 3y= 32

2x + y= 13
y= 13 - 2x

4x + 3(13 - 2x)= 32
4x + 39 - 6x= 32
-6x + 4x= 32 - 39
-2x= -7
x= 7
      2
x= 3,50

III) Agora que o valor de x é conhecido, basta substituí-lo em uma das equações para determinar o valor de y:

y= 13 - 2x
y= 13 - 2 • 3,5
y= 13 - 7
y= 6

Resposta: Uma caderneta custa R$ 3,50 e um caderno custa R$ 6,00.

Questão 6)

I) Analisando o problema, desenvolvemos os seguinte sistema:
{x + y= 43
{4x + 2y=150

Onde
x: número de motocicletas
y:número de carros

II) Agora, determinamos o valor de y na primeira equação para substituí-lo na segunda igualdade:
{x + y= 43
{4x + 2y=150

x + y= 43
y= 43 - x

4x + 2(43 - x)= 150
4x + 86 - 2x= 150
4x - 2x=150 - 86
2x=64
x= 64
       2
x= 32 carros

III) Agora que o valor de x é conhecido, basta substituí-lo em uma das equações para determinar o valor de y:

y= 43 - x
y= 43 - 32
y=11 motocicletas

Resposta: Haviam 32 carros e 11 motocicletas no estacionamento.

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Essa postagem está fora do planejamento oficial do meu blog, porque está numa área de tira-dúvidas na qual tiro dúvidas de quais quer conteúdos de exatas. Quem não compreendeu algo da minha aula, comente.

Referências

1-https://brainly.com.br/tarefa/7654986

2-https://brainly.com.br/tarefa/3207816

3-https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-sistema-duas-equacoes.htm

4-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-equacao.htm

5-https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v4.php

6-https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v.php

7-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-fracionaria.htm
8-https://doutormatematico.blogspot.com/2012/03/operacoes-com-monomios-8-ano.html
8-https://ensinodematemtica.blogspot.com/2011/05/sistemas-de-equacoes-do-1-grau.html?m=1

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quinta-feira, 4 de outubro de 2018