quinta-feira, 4 de outubro de 2018

Tira-dúvidas: Sistemas de equação e de equações fracionárias

O que são sistemas de equações?

São um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para solucioná-las é necessário encontrar os valores que satisfaçam as duas equações. 
Um sistema de equações do primeiro grau é um sistema cujo o maior expoente das variáveis seja igual a 1.
Para encontrar os valores que que satisfaçam as equações, existem diversos métodos, mas somente serão citados os mais utilizados.
O par ordenado do sistema (x,y) sempre é a resposta do sistema.
Toda equação de primeiro grau em um sistema é escrita na forma: ax+by=c

Método de substituição

É um método no qual se  escolhe uma das equações e isola uma das variáveis para substituí-la na outra equação.

Exemplo:

 {x+y=60
 {5x-y=210

Isolando x na primeira equação temos que:

x+y=60
x=60-y

Substituindo na segunda equação:

5x-y=210
5(60-y)-y=210
300-5y-y=210
-5y-y=210-300
-6y=-90 

Multiplicando a equação por (-1)

-6y=-90(-1)
6y=90
y=90
     6

y=15


Agora que o valor de y foi determinado, pode-se substituir o valor de y em uma das equações.

x=60-y
x=60-15
x=45

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (45, 15). V={(45, 15)}

Método de adição:

Consiste na adição das duas equações de modo que a soma de uma das incógnitas se anule, permitindo a determinação da outra. Para que isso seja possível, precisamos multiplicar as equações ou apenas uma delas para que a soma de uma das variáveis seja zero.

Exemplo:

  {x+y=20
  {3x+4y=72

Multiplicando a primeira equação por (-3) temos que:

    {x+y=20 (-3)
    {3x+4y=72

Somando as duas equações, determinamos o valor de y
     {-3x-3y=-60
  +
     {3x+4y=72
               y=12

Como determinamos o valor de y, podemos substituí-lo em outra equação para determinar x.

    x+y=20
    x+12=20
     x=20-12
     x=8

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado (8, 12). V={(8, 12)}

Sistema de equações fracionárias:

Sistema de equações fracionárias é aquele que possui frações algébricas, ou seja, possui variáveis no denominador. Para resolvê-las necessário simplificar as equações fracionárias para depois resolver as equações, pois assim, as operações com o sistema serão fáceis. Pode-se usar qualquer método para resolver as equações fracionárias.
Como o denominador de nenhuma equação pode ser zero, pois nenhum número pode ser dividido pelo mesmo, certas equações apresentarão restrições no conjunto universo de seus denominadores.

Exemplo:

{a+b=7
{   1   = 1         
{b-3     a-2            
   

Simplificando a segunda equação por meio do produto entre elas, já que é uma proporção, temos que:

1 (a-2)= 1 (b-3)
a-2=b-3
a-b= -3 +2
a-b= -1

Com a segunda equação simplificada, o sistema é:

{a+b=7
{a-b=-1

Usando o método de soma, temos que:

   {a+b=7
+
   {a-b=-1
     2a=6
        a=3

Substituindo o valor de a em uma das equações temos que:

  a+b=7
  3+b=7
   b=7-3
   b=4

Resposta: a=3; b=4

Dominando o conhecimento - Exercícios:

Questão 1) Solucione o sistema:

 {x+y=4
 {2x-3y=3

Questão 2) Solucione o sistema:

 {2x =y + 4
 { 3    2
 {x+y=48

Questão 3) Solucione o sistema:

{x+y=7
{  4  =6
{x-2   y

Questão 4) Solucione o sistema
{x + y= 7
{x - y= 5

Questão 5) Na compra de duas cadernetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro cadernetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caderneta e um caderno.              

Questão 6) Em um estacionamento, havia carros e motocicletas num total de 43 e 150 rodas. Calcule o número de carros e motos.                                         

Resolução:


Questão 1) 
{x+y=4
 {2x-3y=3

Isolando x na primeira equação temos que:

x+y=4
x=4-y

Substituindo na segunda equação:

2(4-y)-3y=3
8-2y-3y=3
-5y=3-8
-5y=-5

Multiplicando a equação por (-1)

-5y=-5 (-1)
5y=5
y=5
    5

y=1


Agora que o valor de y foi determinado, pode-se substituir o valor de y em uma das equações.

x=4-y
x=4-1
x=3

Resposta: O Par ordenado que satisfaz o sistema é (3,1).

Questão 2)

I)
 {2x =y + 4
 { 3    2
 {x+y=48


II)Igualando os denominadores da primeira equação, temos:

4x=3y+24
       6

4x=3y+24

4x-3y=24

III) {4x-3y=24
    {x+y=48

IV) Multiplicando-se a segunda equação por (3):
{4x-3y=24
 {x+y=48 (3)

V) Somando-se as duas equações determinaremos x:

 {4x-3y=24
  {3x+3y= 144
     7x=168
        x= 168
               7
         x=24

VI)Substituindo o valor de x na equação x+y=48, temos:

           24+y=48
           y=48-24
           y=24

Resposta: O par ordenado do siatema é (24, 24).


Questão 3)

{x+y=7
{  4  =6
{x-2   y

I) A segunda equação será simplificada para facilitar as contas

6(x-2)=4y
6x-12=4y
6x-4y=12 

II) Configurando o sistema:

{x+y=7
{6x-4y=12

III) Multiplicando a primeira equação por (4) temos:

 {x+y=7 (4)
{6x-4y=12

IV) Somando as duas equações, determinamos x

 {4x+4y=28
+
 {6x-4y=12
   10x=40
       x=40
           10

         x=4

V) Substituindo o valor de x na primeira equação do sistema ( x+y=7), obteremos o valor de y.

            4+y=7
             y=7-4
              y=3

Resposta: O Par ordenado que satisfaz o sistema é (4, 3). V={(4, 3)}.

 Questão 4)
{x + y= 7
{x - y= 5
I) Determinaremos o valor de x ao somarmos as duas equações.
  {x + y= 7
+
  {x - y= 5 
    2x= 12
       x= 12 
              2
         x= 6

II) Agora que o valor de x é conhecido, Determinaremos o valor de y substituindo o valor de x na primeira equação:
x + y= 7
* Sendo x= 6
6 + y= 7
y= 7 - 6
y= 1

Resposta: O Par ordenado que satisfaz o sistema é (6,1).

Questão 5) 
I) Analisando o problema, desenvolvemos os seguintes sistemas:
{2x + y= 13
{4x + 3y= 32

Onde
x: Preço de uma caderneta
y: Preço de um caderno

II) Agora, determinamos o valor de y na primeira equação para substituí-lo na segunda igualdade:
{2x + y= 13
{4x + 3y= 32

2x + y= 13
y= 13 - 2x

4x  + 3(13 - 2x)= 32
4x + 39 - 6x= 32
-6x + 4x= 32 - 39
-2x= -7
x=  7  
      2
x= 3,50

III) Agora que o valor de x é conhecido, basta substituí-lo em uma das equações para determinar o valor de y:

y= 13 - 2x
y= 13 - 2 • 3,5
y= 13 - 7
y= 6

 Resposta: Uma caderneta custa R$ 3,50 e um caderno custa R$ 6,00. 

Questão 6) 

I) Analisando o problema, desenvolvemos os seguinte sistema:
{x + y= 43
{4x + 2y=150

Onde
x: número de motocicletas
y:número de carros

II) Agora, determinamos o valor de y na primeira equação para substituí-lo na segunda igualdade:
{x + y= 43
{4x + 2y=150

x + y= 43
y= 43 - x

4x + 2(43 - x)= 150
4x + 86 - 2x= 150
4x - 2x=150 - 86
2x=64
x=  64  
       2
x= 32 carros

III) Agora que o valor de x é conhecido, basta substituí-lo em uma das equações para determinar o valor de y:

y= 43 - x
y= 43 - 32
y=11  motocicletas

Resposta: Haviam 32 carros e 11 motocicletas no estacionamento.                        


Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Essa postagem está fora do planejamento oficial do meu blog, porque está numa área de tira-dúvidas na qual tiro dúvidas de quais quer conteúdos de exatas. Quem não compreendeu algo da minha aula, comente.

Referências


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