Introdução:
No estudo da trigonometria, as fórmulas de adição e subtração de arcos são essenciais, visto que facilitam o cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos. Nesse mesmo contexto, existem as fórmulas de arco metade. Nesse artigo, será apresentada uma maneira de chegar nessas fórmulas.
Demonstração:
I) Considere o triângulo isósceles ABC na figura abaixo:
Pela Lei dos Cossenos, teremos:
L²= x² + x² - 2 • x• x• cos (α)
L²= 2x² - 2x² • cos (α)
L²= 2x² • (1- cos (α)) (eq.i)
II) Traçada a altura do triângulo como na figura abaixo, teremos por trigonometria nos triângulos ABH e AHC:
sen (α/2)= BH/ AB= HC/AC= (L/2)/x= L/2x => L= 2x • sen (α/2)
Elevando os termos ao quadrado
L²= 4x² • sen² (α/2) (eq.ii)
III) Visto que L²=L², teremos eq.ii=eq.i. Assim:
L²=L² => 4x² • sen² (α/2)= 2x² • (1- cos (α))
Simplificando a expressão:
2 • sen² (α/2)= (1- cos (α))
sen (α/2)= ±√[(1- cos (α))/2]
IV) Para obtermos cos (α/2), substituiremos sen² (α/2)= 1 - cos² (α/2) na expressão
2 • sen² (α/2)= (1 - cos (α)). Com isso, teremos:
2 • sen² (α/2)= (1- cos (α))
2 • (1 - cos² (α/2))= (1- cos (α))
2 - 2cos² (α/2)= 1 - cos (α)
2 - 1 + cos (α) = 2cos² (α/2)
1 + cos (α) = 2cos² (α/2) => cos (α/2)= ±√[(1 + cos (α))/2]
cos (α/2)= ±√[(1 + cos (α))/2]
V) Para obtermos tg (α/2), basta dividirmos sen (α/2) por cos (α/2):
tg (α/2)=[sen (α/2)]/[cos (α/2)]
tg (α/2)=±√[(1- cos (α))/2]/±√[(1 + cos (α))/2]
tg (α/2)=±√[(1 - cos (α))/(1 + cos (α))]
Agradecimentos:
Agradeço a todos que prestigiaram o meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens. Desejo também a todos os leitores um ano de 2021 cheio de felicidades e saúde.
Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado, principalmente em meio a esta situação da pandemia.
